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出版者:Springer

作者:Krommer, Arnold R.; Krommer, Arnold R.; Ueberhuber, Christoph W.

出品人:

页数:349

译者:

出版时间:1994-10-27

价格:USD 74.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540584100

丛书系列:

图书标签:

• 数值积分
• 数值分析
• 计算数学
• 科学计算
• 数学方法
• 算法
• 工程数学
• 高等数学
• 数值方法
• 积分计算

《计算中的无限》 想象一下，你站在一片连绵起伏的山峦之中，想要精确地测量出这片土地的总面积。你无法直接测量，因为山峦的形状是如此复杂，每一寸土地都充满了细微的起伏和变化。这时候，你该如何下手？你可能会想到，将这片土地切割成无数个小块，然后近似地计算每一个小块的面积，最后将它们加起来。这个简单的想法，便是我们今天将要探讨的核心——“计算中的无限”。 当我们面对那些无法用简单的几何图形描述的曲线、曲面，或者需要计算的物理量，比如一个不规则形状物体的体积，一段复杂曲线的长度，或者一个变化着的物理过程的总能量时，我们常常会陷入一种“测量困境”。精确的解析方法，往往显得束手无策。这时候，“计算中的无限”便应运而生，它提供了一系列强大的工具和思想，帮助我们跨越测量和计算的鸿沟，逼近真实的答案。 这本书，并非一本单纯的数学公式堆砌，而是一次探索计算思想演进的旅程，一次理解如何将连续的、无限的、复杂的概念转化为离散的、有限的、可操作的数值计算的历程。它将带领读者走进一个充满智慧的领域，在这个领域里，我们学会如何“化繁为简”，如何“以有限逼近无限”，并最终获得对现实世界深刻的理解。 为何我们需要“计算中的无限”？ 从古希腊时期阿基米德用“穷竭法”来计算圆的面积，到中世纪数学家们对级数的研究，人类对“逼近”的概念从未停止过探索。而现代科学和工程技术的飞速发展，更是对计算能力提出了前所未有的要求。 科学研究的基石： 物理学中，从牛顿力学描述的连续运动到量子力学中复杂的波函数，大量的物理现象都无法用简单的解析表达式直接求解。天体物理学中模拟星系演化，流体力学中预测天气变化，量子化学中计算分子性质，无一不依赖于强大的数值计算方法。 工程设计的利器： 航空航天工程中设计飞机的外形以减小空气阻力，土木工程中分析桥梁的受力情况，电子工程中设计集成电路的性能，生物医学工程中模拟人体器官的工作原理，这些复杂的工程设计，都离不开精确的数值模拟。 金融市场的驱动力： 在金融领域，风险评估、期权定价、投资组合优化等许多关键决策，都需要基于复杂的数学模型和大量的数值计算。 人工智能的底层支撑： 现代人工智能，特别是深度学习，其核心的训练过程，本质上就是一种大规模的数值优化问题，其效率和准确性，都与底层的数值计算方法息息相关。 “计算中的无限”将带我们领略哪些精彩？ 这本书将以一种循序渐进的方式，带领读者深入理解“计算中的无限”的各个方面。 第一部分：从基本概念到核心思想 函数与离散化： 我们首先会回顾函数的基本概念，理解连续函数与离散数据之间的关系。为何我们将连续的曲线“点化”，将连续的时间“分步”，这种“离散化”的思想是如何实现对连续世界的初步近似的。 误差的艺术： 在用有限的计算逼近无限的真实时，误差是不可避免的。我们将探讨不同类型的误差，如截断误差、舍入误差，以及它们如何影响计算结果的准确性。更重要的是，我们将学习如何度量和控制误差，理解“误差的艺术”并非回避误差，而是与之共舞。 级数的力量： 级数是连接连续与离散的重要桥梁。我们将回顾泰勒级数等基本级数展开，理解如何将复杂的函数用简单的多项式来逼近，以及这种逼近的条件和局限性。 第二部分：数值积分的核心技术 定积分的数值逼近： 这是本书的核心内容之一。我们将深入探讨各种经典的数值积分方法： 矩形法 (Rectangle Rule): 最基础的思路，将积分区间分割成若干个小矩形，简单直观，但误差较大。我们将分析其原理，并探讨如何通过改进来提升精度。 梯形法 (Trapezoidal Rule): 将每个小区间用梯形代替，相较于矩形法，精度有所提升。我们将详细推导其公式，并分析其误差项。 辛普森法 (Simpson's Rule): 利用抛物线来逼近曲线，精度比梯形法更高。我们将介绍不同阶数的辛普森法，并理解其在数值计算中的重要地位。 高斯积分法 (Gaussian Quadrature): 这是一种更为高级的数值积分方法，它通过巧妙地选择积分节点和权重，能在相同的节点数下获得更高的精度。我们将探索其背后的数学原理，并理解它在实际应用中的优势。 多重积分的计算： 当我们需要计算体积、面积等更高维度的积分时，我们将学习如何将一维数值积分的方法推广到二维、三维甚至更高维度，并讨论维数灾难带来的挑战。 第三部分：理论与实践的结合 算法的效率与收敛性： 介绍数值算法的“效率”（计算量）和“收敛性”（随着计算逼近真实的能力），理解一个好的数值算法如何在精度和计算成本之间找到平衡。 收敛速度的分析： 深入理解不同数值积分方法的收敛速度，以及如何根据具体问题选择最适合的方法。 实际应用案例分析： 通过具体的工程、科学或金融领域的案例，展示数值积分方法是如何被应用于解决实际问题的。例如，计算不规则区域的面积，模拟弹道轨迹，或者估算复杂金融产品的价值。 软件工具与编程实现： 虽然本书侧重于理论和方法，但也会提及一些常用的数值计算软件库（如Python的SciPy库），以及如何将这些数值方法转化为可执行的代码。 谁将受益于这本书？ 无论您是： 正在学习数学、物理、工程、计算机科学或其他相关专业的学生： 本书将为您提供扎实的数值计算基础，帮助您理解和应用所学知识。 希望提升自身计算能力的科研人员： 本书将为您提供一套系统的方法论，帮助您解决研究中遇到的数值计算难题。 对如何将复杂现实问题转化为可计算模型感兴趣的工程师： 本书将为您打开一扇窗，让您看到计算的力量如何赋能工程设计和创新。 任何对数字世界充满好奇的读者： 本书将以一种通俗易懂的方式，揭示隐藏在科学计算背后的智慧，让您领略数学的魅力。 《计算中的无限》 是一次对人类智慧的致敬，一次对探索未知边界的追求。它不仅仅是关于公式和算法，更是关于一种解决问题的思维方式，一种将抽象概念具象化，将无限世界转化为有限计算的艺术。通过这本书，您将不再畏惧那些复杂的曲线和不可测量的区域，而是能够自信地运用计算的工具，去探索和理解我们所处的世界。准备好踏上这段精彩的计算之旅吧，让我们一起在“计算中的无限”中，发现无限的可能。

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阅读体验中，我必须指出，作者在算法效率和复杂性分析上的处理，展现了其深厚的功底。他不仅仅是给出算法的步骤，更深入地探讨了时间复杂度和空间复杂度的渐近行为，并且对不同迭代方法的收敛速度进行了细致的比较。例如，在讨论迭代求解大型稀疏线性系统时，作者没有简单地推崇某一特定方法，而是系统性地对比了共轭梯度法、GMRES以及预处理技术对收敛率的实质性影响。更值得称赞的是，他对“病态”问题的敏感度极高，专门辟出一章来讨论条件数对数值稳定性的决定性作用，并提出了针对性的预处理策略。这种对计算资源敏感度的关注，表明作者的视野超越了纯粹的数学证明，直达高性能计算的实际需求。对于任何一个希望优化程序运行效率的工程师或计算科学家来说，书中提供的这些关于“为什么”和“如何优化”的深入见解，是无价之宝。这部分内容足以让一本普通的数值分析教材，升级为一份高级的数值优化参考指南。

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我尝试着去理解作者在探讨高维空间插值算法时的逻辑推导，发现其论述过程的严谨性几乎达到了吹毛求疵的地步。作者似乎对每一个前提假设都进行了极其详尽的铺垫，生怕读者在任何一个环节产生歧义。例如，在介绍有限元方法时，他不仅详细阐述了形函数的构建过程，还对不同阶数形函数在边界条件下的光滑性要求做了近乎“百科全书式”的梳理。这种详尽的风格，对于初学者来说，无疑是一剂强效的定心丸，因为它几乎消除了所有可能导致学习停滞的知识断层。然而，对于那些已经有一定基础，希望快速掌握核心算法精髓的研究人员而言，这种事无巨细的讲解方式，反而略显拖沓。在某些章节，我会感觉到信息密度不够集中，需要花费额外的精力去筛选出真正关键的定理和证明步骤。不过，反过来看，这种“保姆式”的教学方法，保证了知识传递的全面性，它更像是一份为严谨学术讨论准备的“标准参考文档”，而不是一本追求速度的“速成手册”。它强迫读者慢下来，去品味每一个数学符号背后的深层含义。

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这本书的装帧设计实在让人眼前一亮，封面采用了深邃的钴蓝色，搭配烫金的字体，透露出一种古典而又不失现代感的专业气息。纸张的质感也相当不错，厚实且略带纹理，翻阅时能感受到那种沉甸甸的知识分量。我特别喜欢它内页的排版，字体清晰易读，行距和字间距的把握恰到好处，即便是长时间阅读那些复杂的数学公式，眼睛也不会感到过度疲劳。书中的插图和图表制作得极为精美，线条流畅，色彩运用得当，极大地辅助了抽象概念的可视化理解。比如，关于误差分析的那些几何解释图，做得非常直观，让原本晦涩难懂的部分瞬间变得清晰明了。从物理层面来说，这本书的装订质量也堪称一流，无论如何翻折，书脊都保持着良好的弹性，预示着它能够经受住反复查阅的考验。这种对细节的关注，体现了出版方对专业书籍应有态度的尊重，让人在接触它的第一时间就对其内容质量产生了极高的期待。第一印象的建立，往往是决定读者是否愿意深入探索的关键一步，而这本图书在这方面无疑是做到了极致，成功地在众多学术著作中脱颖而出，拥有了一种独特的“高级感”。

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这本书的索引和附录设计，体现了编辑团队极高的专业素养和对读者需求的深刻理解。通常情况下，学术著作的索引常常是敷衍了事，仅列出关键词和页码，但此书的索引极其详尽，很多次要但重要的概念，比如某个特定积分公式的命名来源或者某个小定理的引用，都能被准确地检索到。而最让我惊喜的是附录部分，它不仅包含了常用数学常数的精确值列表，还提供了针对C++和MATLAB环境下实现关键算法的伪代码范例。这些伪代码简洁明了，结构清晰，直接可以作为快速原型开发的模板。虽然它们并非完整的可执行代码，但对于理解数据结构如何映射到实际计算过程至关重要。此外，附录中对符号惯例的统一解释，也极大地减少了跨章节阅读时需要频繁回溯的麻烦。这种对检索便利性和实践辅助性的双重重视，使得本书不仅仅是一本“读完就束之高阁”的书，而更像是一本随时放在手边、需要频繁参考的“工具手册”。它的实用性，在很大程度上是通过这些精心设计的辅助结构得以升华的。

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这本书在案例分析部分的运用可以说是独具匠心，远远超出了我预想中传统数值方法书籍的范畴。它没有仅仅停留在理论公式的罗列上，而是巧妙地嵌入了许多现实世界中亟待解决的工程问题。我印象特别深刻的是关于非线性偏微分方程求解的那一组案例，作者没有采用那种标准的、教科书式的“方盒子”模型，而是引入了复杂流体力学边界下的热传导问题。通过对这些真实场景的剖析，读者能够清晰地看到，理论上的“最优算法”在实际应用中会因为数值稳定性、计算资源的限制而做出怎样的取舍和调整。这种“理论指导实践，实践反哺理论”的良性循环，极大地提升了本书的实用价值。我甚至发现，书中提供的某些求解流程，已经可以作为解决我目前工作中某个具体难题的起点。它不再仅仅是一门抽象的学科，而是一套活生生的、可操作的工具箱。这种将数学工具与工程实践紧密耦合的处理方式，是许多同类书籍所欠缺的，也正是我认为本书价值所在的核心要素之一。

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