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出版者:人民教育出版社

作者:李承环

出品人:

页数:204

译者:

出版时间:2006-9

价格:16.10元

装帧:

isbn号码:9787107199127

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• 线性代数
• 矩阵
• 向量
• 行列式
• 特征值
• 特征向量
• 线性方程组
• 向量空间
• 数学
• 高等数学

宇宙的结构与编织：一本探索数学美学与应用深度的著作 本书并非聚焦于线性代数的经典代数框架，而是将读者的目光引向一个更广阔、更具哲学思辨色彩的数学领域——拓扑学、微分几何以及高维空间的数据形态学。这是一次关于“结构”与“形变”的深度探索，旨在揭示隐藏在物质世界和抽象概念之下的基本几何规律。 第一部分：空间的本质与连续性的奥秘 本卷深入探讨了拓扑学的基石，我们将其视为对“空间”最本质的理解，即不依赖于距离和角度，只关心连通性、孔洞数量以及连续形变下保持不变的属性。 第一章：从欧几里得到拓扑的范式转移 我们首先回顾了古典几何的局限性——它过度依赖于精确的度量。随后，我们引入了拓扑学的核心概念：同胚（Homeomorphism）。通过著名的“甜甜圈与咖啡杯”的类比，我们确立了拓扑学关注的焦点：哪些特征在拉伸、扭曲甚至揉捏（但不能撕裂或粘贴）的过程中得以保留？ 连续映射与开集定义： 详细阐述了拓扑空间的基础定义，着重于开集如何决定空间的内在结构，这远比欧氏空间中的 $epsilon-delta$ 定义更具普适性。 紧致性与连通性： 这两个核心性质是理解空间复杂性的关键。我们分析了紧致性在处理无限集合时的重要性，以及连通分支如何揭示一个整体结构内部的分割方式。 第二章：流形——光滑世界的几何蓝图 拓扑学为我们提供了离散的结构视角，而微分几何则为我们引入了“平滑变化”的概念，使得我们可以用微积分的工具来研究非欧几里得空间。 局部欧氏性与图册构造： 流形是局部看起来像欧氏空间的空间。我们详细构建了二维球面、圆环面等经典流形的图册（Atlas）和坐标卡（Chart），这是连接抽象拓扑与具体计算的桥梁。 切空间与切丛： 理解一个流形上某一点的运动方向，需要引入切空间（Tangent Space）的概念。切空间是流形在局部最接近的线性结构，它是我们应用向量分析工具的起点。 第二部分：曲率、张量与时空的几何描述 本部分将理论的焦点从纯粹的结构转向了对物理世界中“弯曲”现象的精确量化。 第三章：度量与测地线——弯曲空间中的最短路径 在流形上，我们必须定义如何测量距离和角度，这需要引入黎曼度量张量（Riemannian Metric Tensor）。 度量张量的作用： 讨论了如何通过度量张量来定义内积，从而在任何曲面上计算向量的长度和夹角。 测地线的变分原理： 测地线是弯曲空间中的“直线”，它们是通过能量最小化或路径长度泛函的变分法导出的。我们深入分析了测地线方程的推导过程，它描述了物体在没有外力作用下如何在弯曲路径上运动。 第四章：曲率的几何解释与代数表达 曲率是衡量空间偏离平坦程度的核心量度。我们从两个不同的角度审视曲率：直观的“截面曲率”和抽象的“黎曼曲率张量”。 高斯绝妙定理（Theorema Egregium）： 这一定理揭示了曲率是一个内蕴（Intrinsic）的性质，仅依赖于流形本身，与我们如何将其嵌入高维空间无关。我们详述了如何通过计算第二基本形式来确定曲面的主曲率。 黎曼曲率张量： 这是曲率的完整代数表述。它描述了平行移动一个向量绕行一小圈后，该向量相对于初始方向产生的“旋转”。我们探讨了曲率张量的对称性，以及里奇曲率（Ricci Curvature）在描述物质对时空影响中的核心地位。 第三部分：高维结构与数据形态学 在现代科学，尤其是数据科学中，我们遇到的“空间”往往具有成百上千个维度。本部分将几何学的严谨性应用于抽象的数据结构。 第五章：纤维丛与向量丛——结构化的信息载体 在许多物理理论和复杂数据模型中，每个点（或每组数据）都携带着额外的结构信息。丛（Bundle）的概念提供了一种描述这种结构化堆叠的方式。 主丛与总空间： 我们解释了纤维丛如何描述在一个基础空间（如流形）的每一点上附加了一个纤维（如一个向量空间或一个拓扑空间）。切丛就是最典型的向量丛。 联络（Connection）与平行移动： 联络的概念允许我们在不同的纤维之间进行有意义的比较和“移动”，这在广义相对论（描述时空中的平移）和微分拓扑中至关重要。 第六章：拓扑数据分析（TDA）的几何洞察 本书的收尾部分将视角转向当代应用。我们不再将数据视为离散的点集，而是将其视为高维空间中的一个点云（Point Cloud），并尝试利用拓扑工具来发现其内在的“形状”。 持久同调（Persistent Homology）： 这是TDA的核心。我们展示了如何构建过滤的单纯复形（Filtered Simplicial Complex），并通过追踪“生命周期”来识别数据集中真实存在的拓扑特征（洞、环、空腔），区分它们与噪声。 Betti数与拓扑特征向量： Betti数是描述空间中连通分量、环路和空腔数量的拓扑不变量。我们探讨了如何利用持久同调计算出的条形图（Barcode）来量化复杂数据集的几何复杂性，从而揭示隐藏在海量数据背后的结构形态。 结语：整体论的视野 本书旨在提供一个宏大的、贯穿几何学、拓扑学与现代应用分析的视角。我们关注的不是解方程组的技巧，而是理解空间如何组织信息，曲率如何定义相互作用，以及结构如何独立于细节而存在。这是一部为那些渴望超越经典代数框架，深入探究宇宙和信息背后几何逻辑的读者而作的深层思考之书。

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这本书的文字风格非常吸引我，它没有那种枯燥乏味的学术腔调，而是用一种引人入胜的叙事方式来阐述复杂的数学概念。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采用的类比和实例，这使得那些抽象的数学对象变得生动具体，易于理解。例如，在讲解向量空间时，作者并没有直接跳到公理定义，而是先从物理空间中的向量入手，再逐步推广到更一般的向量空间，这种循序渐进的教学方法极大地降低了学习门槛。而且，书中对于线性方程组的求解，不仅仅停留在高斯消元法，还涉及到了矩阵的LU分解、QR分解等更高级的方法，这让我看到了线性代数在数值计算领域的巨大应用价值。我了解到，这些分解方法在科学计算、工程模拟、图像处理等领域都有着至关重要的作用。这本书的编排也非常合理，每一章的理论讲解之后，都会配以大量的例题和练习题，而且例题的难度循序渐进，覆盖了从基础到进阶的各个方面。我喜欢做题，通过动手实践来巩固和深化对知识的理解，而这本书提供的这些练习题，无疑为我提供了一个绝佳的平台。我甚至可以在阅读过程中，根据题目来反思和检验自己对概念的掌握程度，这种互动式的学习体验让我感到非常充实和愉悦。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种学习方法的引导。

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这本书在概念的引入上，采用了非常巧妙的策略。它并不急于给出正式的定义，而是先通过一些生动的例子来激发读者的思考，然后再逐步引导读者去归纳和总结出抽象的数学概念。我尤其喜欢作者在讲解过程中，所提出的那些引导性的问题。这些问题能够促使我去积极思考，去探索概念背后的逻辑，而不是被动地接受知识。例如，在讲解线性变换的性质时，作者会问：“如果我们将一个向量进行两次线性变换，那么这个复合变换是否也是一个线性变换？为什么？”这样的问题，不仅能够加深我对线性变换的理解，更能培养我的逻辑推理能力。而且，书中对于每一个新概念的引入，都会与之前的知识点建立联系，这使得整个学习过程更加连贯和系统。我感觉，这不仅仅是一本教材，更是一本能够引导我掌握科学思维方法的书籍。

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我一直认为，学习数学的最终目的，是为了更好地理解和改造世界。而线性代数，作为现代数学的基石之一，其在各个领域的应用之广泛，早已超出了我的想象。这本书在这方面做得尤为出色，它不仅详细讲解了线性代数的基本理论，更着重于展现这些理论如何被应用于现实世界。我特别被书中关于机器学习和数据科学的部分所吸引。我知道，在当今人工智能蓬勃发展的时代，线性代数是构建各种算法，如神经网络、支持向量机等不可或缺的工具。我希望这本书能够深入浅出地揭示线性代数在这些前沿科技中的具体应用，让我能够真正理解“代码背后”的数学原理。此外，书中关于图论和网络分析的内容也让我眼前一亮。我知道，很多现实世界中的关系，都可以用图来表示，而线性代数则为分析这些图的结构和性质提供了强大的数学工具。例如，社交网络的分析、交通网络的优化等，都离不开线性代数的支撑。这本书的价值，不仅仅在于传授知识，更在于激发学习者将数学应用于解决实际问题的热情。我希望通过阅读这本书，能够获得一种“用数学看世界”的能力。

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这本书的封面设计着实是简洁大气，一本以“线性代数”为名的著作，却能给我带来一种超越数学本身的视觉享受。我一直对数学领域中的抽象概念抱有浓厚的兴趣，而线性代数，在我看来，就是其中最能体现数学之美的学科之一。这本书的出现，恰好满足了我对深度探索的渴望。我并非数学科班出身，但对于逻辑的严谨和结构的清晰有着极高的要求。从拿到这本书的那一刻起，我就被它那种沉甸甸的质感所吸引，仿佛预示着其中蕴含的知识分量。我仔细翻阅了目录，里面详尽的章节安排，从向量空间、线性变换到特征值与特征向量，每一个标题都像是在召唤我去揭开数学宇宙的神秘面纱。我尤其期待书中对于矩阵运算的讲解，我知道矩阵是线性代数的核心，它既是数据的载体，也是变换的工具。我希望这本书能以一种我能够理解的方式，将这些复杂的概念一一剖析，并且能够展现出它们在实际应用中的强大力量。我之前接触过一些关于线性代数的入门书籍，但总觉得它们流于表面，缺乏深入的洞察。我渴望一本能够真正让我“懂”线性代数的书，而这本书，从它的命名和作者的声誉来看，似乎给了我这样的信心。我迫不及待地想要开始我的阅读之旅，去感受线性代数那严谨而又充满创造力的世界，去探索那些隐藏在数字与符号背后的深刻意义。这本书不仅仅是一本教材，更像是一扇通往全新认知世界的门。

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这本书的语言非常清晰流畅，即使是那些非常抽象的概念，在作者的笔下也变得易于理解。我尤其喜欢作者在引入新概念时所做的铺垫和解释，这使得我对即将接触到的知识有了一个初步的认识，不会感到突兀。例如，在讲解线性映射时，作者先从一些直观的例子入手，比如二维平面上的旋转、缩放等，然后才给出一般的定义。这种由具体到抽象的过渡，非常有利于理解。而且，书中的公式和符号使用非常规范，不会出现歧义，这让我阅读起来非常顺畅。我本身对数学的表达方式比较敏感，一本好的数学书籍，其公式的书写就如同优美的诗歌一样，具有内在的逻辑美。这本书在这方面做得非常出色。我特别注意到，作者在讲解过程中，经常会引用一些历史典故和数学家的故事，这为原本可能枯燥的数学理论增添了不少人文色彩，也让我对数学的发展历程有了更深的了解。读这本书，就像是在与一位博学而又风趣的老师对话，他不仅传授知识，更能点燃你对数学的热情。

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这本书的数学证明部分，做得非常出色。作者在给出每一个定理的证明时，都力求清晰、简洁、完整。我喜欢作者在证明过程中，对于每一步推理的详细解释，这让我能够清楚地理解证明的每一步是如何进行的，以及每一步的依据是什么。而且，我注意到，作者在证明一个定理时，会提供不止一种方法。例如，有时会用代数方法，有时会用几何方法，有时甚至会用构造性方法。这种多样化的证明方式，不仅让我能够从不同的角度去理解定理，更能培养我的数学思维的灵活性。我深知，数学证明是数学的灵魂，一本好的数学书籍，其证明部分一定要经得起推敲。这本书在这方面做得非常扎实，它让我能够真正感受到数学的严谨和优美。

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这本书的内容深度和广度都令我非常满意。它不仅仅涵盖了线性代数的基础知识，还涉及到了许多更高级的课题，如张量分析、微分几何等。虽然这些内容可能超出了初学者的范畴，但作者的讲解非常清晰，即使是对于非专业人士，也能够从中获得启发。我尤其欣赏书中对于不同数学分支之间联系的探讨。线性代数作为一门基础学科，与微积分、概率论、复变函数等都有着密切的联系。这本书能够将这些联系一一呈现，让我看到了数学作为一个整体的宏伟图景。我了解到，许多看似独立的数学概念，其实都可以在线性代数的框架下得到统一的解释。这种发现，让我感到无比兴奋。这本书不仅让我学到了线性代数的知识，更重要的是，它培养了我对数学研究的兴趣，让我渴望去探索更多更深的数学领域。

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这本书给我带来的最深刻的感受，是它对数学内在逻辑的揭示。作者并非仅仅满足于传授知识点，而是更注重于引导读者去理解这些知识点背后的逻辑联系。我尤其欣赏书中对于“为什么”的强调。例如，在介绍矩阵乘法时，作者会深入讲解为什么矩阵乘法的定义会是那样，以及这种定义如何与线性变换的复合相对应。这种对“为什么”的追问，能够让我真正理解数学概念的本质，而不是停留在表面的操作层面。我了解到，许多数学概念的定义，并非随意而为，而是经过了长期的发展和演变，是为了解决特定的问题而产生的。这本书能够将这些历史的痕迹和逻辑的演进过程展现出来，让我能够更深入地理解数学的魅力。我感觉，这不仅仅是一本学习线性代数的书，更是一本能够培养我对数学产生持久兴趣的书。

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这本书的严谨性给我留下了深刻的印象。作者在定义每一个数学概念时，都力求精确和完备，并且在证明每一个定理时，都遵循严格的逻辑推理过程。我喜欢这种一丝不苟的治学态度，它让我能够真正理解数学的内在逻辑，而不仅仅是记住一些公式和方法。书中对于抽象代数概念的引入，如群、环、域等，虽然篇幅不多，但却为理解线性代数提供了更宏观的视角。我了解到，线性代数可以看作是向量空间上的线性变换的理论，而向量空间本身就是抽象代数中一个重要的结构。这种联系，让我对数学的整体框架有了更深的认识。我特别欣赏作者在讲解过程中，对于不同证明方法的比较和分析。例如，在证明某个定理时，可能会有代数证明、几何证明等多种方式，作者会逐一呈现，并分析它们的优缺点，这不仅拓宽了我的思路，也让我对数学的理解更加透彻。这本书不是那种“填鸭式”的教学，它鼓励读者主动思考，主动探索，去发现数学的奥秘。我感觉，这不仅仅是一本教材，更是一本能够引导我成为一个更具批判性思维的读者的指南。

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这本书的排版设计非常人性化，让我能够轻松地找到我想要的信息。书中的章节划分清晰，每一章都配有引言和总结，这使得我在阅读前能够对本章内容有一个整体的把握，在阅读后也能够对所学知识进行回顾和梳理。我特别喜欢书中对重要概念和定理的醒目标注，以及对关键公式的突出显示。这些设计细节，极大地提高了我的阅读效率，也让我能够更好地记住重要的内容。而且，书中的插图和图表也运用得恰到好处，它们能够形象地展示数学概念，帮助我理解抽象的几何意义。例如，在讲解向量在空间中的表示时，书中的三维坐标系图解，就比单纯的文字描述要直观得多。这本书不仅仅是知识的容器，更是一个精心设计的学习工具。我感觉，作者在编写这本书时，一定花费了大量的精力去考虑如何让读者能够最有效地学习。

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