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出版者:高等教育出版社

作者:[苏]A.г.库洛什

出品人:

页数:0

译者:曾肯成

出版时间:1987

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群的初探：理解对称性的基本语言 这本书并非一本冗长的理论著作，而是旨在带领读者踏入一个迷人且至关重要的数学领域——群论。我们将从最基础的概念入手，剥离抽象的数学外衣，去感受群所蕴含的深刻思想。本书并非要深入探讨群论的所有细枝末节，而是聚焦于那些最能体现群论精髓，并且能够为进一步学习打下坚实基础的方面。 何为群？对称性的语言 在日常生活中，我们常常遇到“对称”这个词。例如，一个正方形可以通过旋转一定角度依然保持原样，这便是其对称性的一种体现。群论，正是用一套严谨的数学语言来描述和研究这种“对称性”。本书的第一部分，将着力于解释“群”这一核心概念。我们会通过一系列直观的例子，如整数加法、集合的置换等，来理解群的四大公理：封闭性、结合律、存在单位元以及存在逆元。理解这四大公理，就像掌握了进入群论殿堂的钥匙。我们将避免晦涩的证明，而是通过对具体例子中操作的深入分析，让读者体会到这些公理如何自然地从对称性的概念中衍生出来。 从操作到结构：群的骨架 一旦我们理解了群的基本定义，接下来的重点便是探索群所展现出的各种“结构”。本书将介绍一些最基本但却至关重要的群结构概念，例如“子群”。子群就好比一个大群中的“小型对称集合”，它自身也遵循群的规则。我们将通过例子来展示如何识别子群，并理解它们在大群中的作用。 此外，我们还会初步接触到“陪集”的概念。陪集可以看作是将群中的元素按照某种方式进行“分组”，这些分组方式揭示了群内部更深层次的组织结构。这部分内容虽然稍显抽象，但通过精心设计的图示和实例，我们将努力使其变得易于理解。 运算与映射：群的动态 群不仅仅是静态的结构，它还包含着动态的“运算”和“映射”。本书将介绍“同态”和“同构”这两个核心概念。同态就好比是在不同群之间建立一种“相似性”的桥梁，它能够将一个群中的运算规则“映射”到另一个群中。而同构则是同态中更为严格的一种，它意味着两个群在结构上是完全一致的，只是元素的“名字”可能不同。通过比较不同群的同态和同构关系，我们可以更深刻地理解它们之间的内在联系和区别。 元素的行为：阶与周期性 在群的语境下，我们可以讨论元素的“阶”。元素的阶是指将该元素与其自身进行运算多少次才能得到单位元。这个概念揭示了群中元素“重复”的规律，类似于周期性现象。理解元素的阶，能够帮助我们预测和分析群的结构特点。例如，有限群中元素的阶与其大小之间存在着密切的关系。 有限群的世界：对称的舞蹈 尽管群论适用于无限的结构，但本书将重点关注“有限群”，因为它们更容易被我们所理解和可视化。我们将深入探讨一些基本的有限群，比如对称群（表示几何图形的对称性）和循环群（由单一元素通过重复运算生成）。通过对这些基本有限群的分析，读者可以初步领略到有限群的多样性和丰富性。 群论的应用：无处不在的对称 本书的最后一章节，将尝试简要地触及群论在数学和科学其他领域中的一些广泛应用。虽然我们不会深入讲解具体的应用细节，但旨在让读者感受到群论并非孤立的数学分支，而是具有强大的解释和建模能力。例如，在物理学中，群论是理解粒子对称性和基本相互作用不可或缺的工具；在化学中，它被用来描述分子的对称性；在密码学中，群论的概念也扮演着重要的角色。这些简要的介绍，将激发读者对群论更广泛潜力的认识。 本书的特点： 直观的引入： 从对称性的直观感受出发，逐步过渡到抽象的群论概念。 例证丰富： 大量运用具体、易懂的例子来解释抽象的定义和定理。 强调理解： 侧重于概念的理解，而非繁琐的证明过程。 循序渐进： 内容安排由浅入深，适合初学者。 聚焦核心： 选取群论中最基本、最核心的概念进行讲解。 本书的目标是为那些对数学充满好奇，希望理解“对称性”这一深刻思想的读者提供一个清晰、易懂的入门指引。它不是一部百科全书式的著作，而是一次精心设计的探索之旅，旨在让读者在轻松愉快的氛围中，领略群论的魅力。

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这本书的排版和装帧实在令人眼前一亮，触感温润的封面纸张，内页印刷的字迹清晰锐利，装订工艺也透着一股匠心。我特别喜欢它在处理复杂概念时的图示设计，那些几何图形和线条的运用，简直就是一场视觉盛宴，仿佛数学的抽象世界被赋予了具象的生命力。作者似乎深谙读者的阅读疲劳，章节之间的留白处理得恰到好处，让人在深入思考一个难题后，能有一个喘息的空间，这对于沉浸式阅读厚重理论书籍来说，无疑是一种莫大的关怀。初翻时，那些密集的符号和公式仿佛让人望而生畏，但随着阅读的深入，我发现作者巧妙地运用了色彩编码和字体变化来引导读者的注意力，这种潜移默化的教学引导方式，使得原本枯燥的数学推导过程，也变得赏心悦目起来。总而言之，这是一本在物理呈现上就超越了普通教材水准的精品，拿在手中，便能感受到一种对知识的尊重与热爱。

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这本书的理论深度和广度，坦白地说，远超出了我原本的预期。我原本以为这会是一本侧重于基础概念介绍的入门读物，但很快我发现自己低估了它的雄心。作者在对基础概念进行扎实巩固的同时，穿插了大量的现代研究进展和前沿应用案例。那些关于拓扑结构和代数系统相互作用的论述，尤其令人拍案叫绝，它不再是孤立的理论堆砌，而是在展示一个宏大而统一的数学图景。我惊喜地发现，作者对历史背景的梳理也极为到位，每当一个重要概念出现时，总能清晰地勾勒出它诞生的时代背景和社会需求，这使得这些抽象的工具不再是冰冷的符号，而是解决实际问题的有力武器。这种宏观视野与微观细节的完美结合，让这本书的价值瞬间拔高到了一个全新的层次，它不仅是学习工具，更是一份思想的地图。

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阅读体验上，这本书的叙事逻辑简直是教科书级别的流畅。它没有急于抛出那些高深的定理，而是从一个非常接地气的数学问题出发，层层递进地构建起整个理论框架。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采用的类比手法，那种从具体到抽象的过渡是如此自然，仿佛我只是跟随一位经验丰富的向导，在广阔的数学森林中探险，而不是被生硬地扔进了一个布满陷阱的迷宫。例如，在讲解某个结构性质时，作者引用了历史上几个著名数学家的几次失败尝试作为反面教材，这种“走过弯路”的叙述方式，不仅让人记住了正确的路径，更体会到了数学发现的艰辛与不易，极大地增强了知识的粘性。书中的例题选择也十分精妙，它们既有足够的挑战性，又不至于让人望而却步，每解完一个例子，都会有一种豁然开朗的成就感，让人迫不及待地想翻到下一页。

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我对这本书的实用价值和对不同背景读者的友好程度感到非常满意。尽管内容涉及高深理论，但作者在关键处设置了大量的“自检点”和“概念回顾”，这些小结帮助我及时巩固所学，避免了知识点遗漏导致的后续理解障碍。更值得称赞的是，书后附带的习题集，其设计梯度非常人性化，从简单的概念验证到需要综合运用多个定理的复杂证明题，层次分明，让人可以根据自己的掌握程度进行选择性训练。我尝试做了几道高难度习题，发现书中的解答部分不仅给出了最终结果，更详细地剖析了解题思路和可能的陷阱，这种教学示范远胜于简单的答案罗列。对于那些希望通过自学掌握这门学科的读者来说，这本著作无疑是极其可靠和耐心的伙伴，它提供了完整的知识体系，并且全程提供高质量的指导和支持。

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如果让我用一个词来形容这本书对我的影响，那就是“重塑”。在此之前，我对某些数学分支的理解是零碎且片面的，总觉得它们像一个个独立的岛屿。然而，这本书像一座坚固的桥梁，将这些知识点有机地连接起来，让我看到了它们之间深刻而美妙的内在联系。作者在论证过程中展现出的那种严谨到极致的逻辑链条，迫使我必须放慢速度，逐字逐句地去审视每一个假设和推导，这极大地锻炼了我的批判性思维和逻辑构建能力。我发现自己开始在日常思考中不自觉地运用书中学到的结构化分析方法去拆解问题，这已经超越了单纯的数学学习范畴。这本书不只是教你“是什么”，更重要的是教你“如何像一个数学家那样去思考”——那种对精确性的执着和对事物本质的探究欲望，是它留给我最宝贵的财富。

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