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出版者:Dover Publications

作者:Ian Anderson

出品人:

页数:272

译者:

出版时间:2011-11-2

价格:USD 19.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486422572

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《组合数学基础：有限集结构与计数原理》 引言 数学的宏大殿堂中，组合数学以其独特的魅力，编织着离散世界的精妙图景。它研究的是“多少”的问题，但其深度和广度远超简单的计数。从排列组合的基本规则，到更复杂的图论、编码理论和概率论的应用，组合数学为我们理解和构建各种系统提供了强大的工具。本书《组合数学基础：有限集结构与计数原理》旨在为读者提供一个坚实的基础，深入探讨有限集的组合属性，以及如何系统地进行计数。我们相信，通过理解这些核心概念，读者将能够更好地应对各种数学挑战，并在计算机科学、统计学、运筹学乃至更广泛的科学领域中找到组合数学的身影。 第一章：有限集的基本概念与计数 本章是组合数学的基石，我们将从最基本的概念出发，建立对有限集及其元素操作的深刻理解。 集合的定义与表示： 我们将学习如何精确地定义一个集合，以及使用各种表示法，如列举法、描述法和维恩图，来清晰地表达集合的构成。理解集合的元素、空集、全集以及子集的概念至关重要。 集合运算： 并集、交集、差集和补集等基本集合运算是组合分析的有力工具。我们将详细阐述这些运算的性质，并展示它们在解决实际问题中的应用，例如通过维恩图来可视化集合之间的关系。 计数的基本原理： 加法原理： 当一个事件可以由若干个互斥的选项完成时，总的选项数等于各选项数之和。我们将通过实例来理解其普适性，例如计算某班级中喜欢数学或喜欢物理的学生总数。 乘法原理： 当一个事件由一系列独立的选择组成时，总的事件数等于各选择数的乘积。我们将通过衣物搭配、行程规划等生动场景来阐释这一原理，并探讨其在构建复杂结构中的强大力量。 鸽巢原理： 这个看似简单但威力无穷的原理指出，如果将 n+1 个物品放入 n 个盒子中，那么至少有一个盒子包含多于一个物品。我们将从基本形式出发，逐步介绍其推广形式，并展示它在证明存在性问题和解决某些计数难题上的妙用。例如，如何证明在一个群体中，至少有两个人生日相同。 第二章：排列与组合 在掌握了基本计数原理后，本章将进入组合数学的核心领域：排列和组合。这两个概念是解决大量计数问题的关键。 排列（Permutations）： 定义与性质： 排列是指从给定集合中选择若干元素，并考虑其顺序的安排。我们将区分有重复和无重复的排列。 不重复排列： 从 n 个不同元素中取出 k 个进行排列，其方法数为 $P(n, k) = frac{n!}{(n-k)!}$。我们将通过实例，如字母排序、奖牌顺序等，来理解其计算方法和应用场景。 重复排列： 当允许元素重复出现时，从 n 个不同元素中取出 k 个进行排列，其方法数为 $n^k$。我们将分析其与多项式展开等概念的联系。 循环排列： 考虑元素在圆形排列中的情况，我们将推导出其计算公式，并讨论其与线性排列的区别。 组合（Combinations）： 定义与性质： 组合是指从给定集合中选择若干元素，而不考虑其顺序的安排。 不重复组合： 从 n 个不同元素中取出 k 个进行组合，其方法数为 $C(n, k) = inom{n}{k} = frac{n!}{k!(n-k)!}$。我们将深入理解二项式系数的含义，并通过抽样、分组等实际问题来练习其应用。 重复组合： 当允许元素重复出现时，从 n 种不同元素中取出 k 个进行组合，其方法数为 $C(n+k-1, k) = inom{n+k-1}{k}$。我们将探讨其与“星星和隔板”模型的联系，以及在分配物品等问题中的应用。 排列与组合的联系： 我们将分析排列和组合之间的关系，例如 $P(n, k) = k! inom{n}{k}$，并理解如何根据问题需求选择恰当的计数方法。 第三章：二项式定理与多项式定理 本章将深入探讨二项式定理及其推广，揭示了代数表达式展开与组合数之间的深刻联系。 二项式定理： $(x+y)^n = sum_{k=0}^{n} inom{n}{k} x^{n-k} y^k$。我们将详细推导二项式定理，并分析其中各项的组合意义。 二项式系数的性质： 对称性： $inom{n}{k} = inom{n}{n-k}$ 帕斯卡恒等式： $inom{n}{k} + inom{n}{k+1} = inom{n+1}{k+1}$，及其与帕斯卡三角形的对应关系。 其他恒等式： 如 $sum_{k=0}^{n} inom{n}{k} = 2^n$，以及 Vandermonde 恒等式 $sum_{k=0}^{r} inom{m}{k}inom{n}{r-k} = inom{m+n}{r}$。我们将证明这些恒等式，并展示它们在简化计算和解决组合问题中的应用。 多项式定理： $(x_1 + x_2 + dots + x_m)^n = sum_{k_1 + k_2 + dots + k_m = n, k_i ge 0} inom{n}{k_1, k_2, dots, k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2} dots x_m^{k_m}$。我们将介绍多项式系数的计算方法 $inom{n}{k_1, k_2, dots, k_m} = frac{n!}{k_1! k_2! dots k_m!}$，并探讨其在组合计数问题中的推广应用，例如分配不同物品到不同盒子的问题。 组合恒等式的证明技巧： 通过本章的学习，读者将掌握使用组合解释、代数方法和数学归纳法等多种技巧来证明组合恒等式。 第四章：容斥原理 容斥原理是解决涉及“至少”、“至多”或“没有”等条件的计数问题的强大工具，能够有效地处理集合的交集和并集问题。 基本容斥原理： 对于两个集合 A 和 B， $|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B|$。我们将从这个简单的公式出发，理解容斥的基本思想。 推广的容斥原理： 对于 n 个集合 $A_1, A_2, dots, A_n$，我们将推导其并集的公式，该公式涉及所有子集交集的基数的交替和。 $|cup_{i=1}^n A_i| = sum |A_i| - sum |A_i cap A_j| + sum |A_i cap A_j cap A_k| - dots + (-1)^{n-1} |cap_{i=1}^n A_i|$。 应用实例： 错排问题（Derangements）： 计算所有元素都不在其原位置的排列数。我们将通过容斥原理推导出错排公式 $D_n = n! sum_{k=0}^n frac{(-1)^k}{k!}$，并探讨其在“帽子问题”等经典问题中的应用。 数的整除问题： 使用容斥原理计算在一定范围内不被某些数整除的数的个数。 集合覆盖问题： 解决如何用最少的集合来覆盖所有元素的计数问题。 第五章：生成函数 生成函数是一种强大的抽象工具，它将复杂的组合计数问题转化为多项式代数的运算，从而提供了一种系统性的求解方法。 普通生成函数（Ordinary Generating Functions, OGF）： 对于一个序列 $a_0, a_1, a_2, dots$，其普通生成函数定义为 $G(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + dots = sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$。 基本生成函数： 我们将学习一些基本序列的生成函数，例如常数序列、等差序列、几何级数 $1/(1-x) = sum_{n=0}^{infty} x^n$ 等。 生成函数的运算： 掌握加法、乘法、求导、积分等运算如何对应于序列的运算，例如乘法对应于卷积。 应用： 计数问题： 使用生成函数求解诸如整数分拆、物体分配等计数问题。例如，求解将 n 个相同的物品放入 k 个不同的盒子中的方案数，其生成函数为 $(1+x+x^2+dots)^k = (1-x)^{-k}$。 证明组合恒等式： 通过比较生成函数展开式中的系数，可以方便地证明许多组合恒等式。 指数生成函数（Exponential Generating Functions, EGF）： 对于一个序列 $a_0, a_1, a_2, dots$，其指数生成函数定义为 $E(x) = a_0 + a_1 frac{x^1}{1!} + a_2 frac{x^2}{2!} + dots = sum_{n=0}^{infty} a_n frac{x^n}{n!}$。 应用： 指数生成函数特别适用于处理带有顺序的计数问题，例如排列、有向图的计数等。我们将展示如何使用指数生成函数求解具有特定属性的排列问题。 第六章：图论初步及其组合应用 图论作为组合数学的重要分支，提供了一个抽象框架来研究对象之间的关系，并在许多领域有着广泛的应用。 图的基本概念： 图的定义： 由顶点（节点）和边（连接顶点对）组成的集合。我们将区分有向图和无向图，以及简单图和多重图。 图的表示： 邻接矩阵、邻接表等。 图的度： 顶点的度、握手引理。 连通性： 连通分量： 对于无向图，将其分解为互不相连的最大子图。 强连通分量： 对于有向图，定义其强连通性。 通路与回路： 欧拉通路与欧拉回路： 经过图中每条边恰好一次的通路或回路。我们将介绍欧拉定理，并分析其判断条件。 哈密顿通路与哈密顿回路： 经过图中每个顶点恰好一次的通路或回路。我们将探讨其存在的复杂性。 树（Trees）： 定义与性质： 无环连通图。我们将介绍树的多种等价定义，并学习其基本性质，如 n 个顶点的树有 n-1 条边。 生成树： 图的一个子图，它是一棵树，并且包含图的所有顶点。我们将介绍最小生成树的概念及其应用（如普里姆算法和克鲁斯卡尔算法）。 组合学中的图论应用： 图的着色问题： 为图的顶点分配颜色，使得相邻顶点颜色不同，并讨论最小着色数。 二分图： 顶点集可以划分为两个不相交的子集，使得所有边都连接这两个子集中的顶点。我们将介绍二分图的匹配问题及其霍尔定理。 网络流： 研究在有向图中从源点到汇点的流量问题，以及最大流最小割定理。 结论 《组合数学基础：有限集结构与计数原理》希望能够为读者打开一扇通往离散世界的大门。通过对基本概念的梳理、核心原理的深入讲解以及丰富应用的展示，我们力求使读者不仅掌握组合数学的知识，更能培养其分析和解决问题的能力。无论是理论研究还是实际应用，组合数学都将是您不可或缺的强大工具。我们鼓励读者在学习过程中积极思考，动手实践，将所学知识融会贯通，最终成为驾驭离散结构的大师。

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这本书的价值，我体会最深的是它在“构造性证明”和“非构造性存在性证明”之间的平衡艺术。作者没有满足于简单地证明某些对象的存在，而是花费了大量篇幅去探讨如何实际地“找到”这些对象，例如在Schur函数与对称群表示论的联系上，书中给出的构造过程清晰得令人信服。这种对“如何做”的执着，体现了作者深厚的数学功底和教学热情。书中对Sperner定理的讨论，特别是不同证明路径的对比，为读者提供了多维度的视角来理解同一个结论。如果说这本书有什么地方可以改进，我希望作者能在每章末尾增加一些更具挑战性的、开放性的研究方向性问题，而不仅仅是标准的应用题。当前章节末尾的练习题虽然能巩固知识，但缺乏引导读者进行原创性思考的“钩子”。总而言之，这是一部份量十足的著作，它迫使你思考，并最终让你在解决那些复杂问题后，感受到一种近乎宗教般的顿悟。

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这本书的书体排版相当考究，黑白分明，公式的编号和引用处理得井井有条，这在查阅特定定理时非常方便。我特别喜欢书中对生成函数那一部分的处理方式。作者似乎有一种魔力，能将原本看来复杂无章的级数操作，通过巧妙的代数变换，转化为清晰明了的计数工具。书中通过多个实际的例子，展示了如何利用生成函数的幂级数展开来求解复杂的递归关系，这部分内容对我解决实际工程中的调度问题提供了关键性的启发。如果说有什么遗憾，那就是在某些涉及到图论或拓扑学交叉领域的例子时，作者对背景知识的介绍相对简略，这使得初次接触这些领域知识的读者可能会感到有些吃力，需要额外参考其他书籍来补充背景。总的来说，它更像是一本“案头常备”的参考手册，适合在需要深入研究特定计数技术时随时翻阅。

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这本《有限集组合学》的封面设计得非常朴素，几乎没有任何多余的装饰，只有深沉的蓝色背景和醒目的白色书名。初次拿到手上时，我以为这是一本非常枯燥的教科书，但翻开目录才发现，它涵盖的范围比我想象的要广阔得多。书中对于排列、组合的基础概念讲解得相当透彻，特别是对于一些抽象的定理，作者总是能用非常直观的例子来辅助说明，这对于我这种非数学专业出身的读者来说，无疑是一大福音。我尤其欣赏作者在介绍鸽笼原理及其变体时所展现的细腻之处，那种层层递进的逻辑推导，让人在不知不觉中领悟到数学的美感。不过，我个人觉得，书中在早期对基础概念的铺垫上略显冗长，可能对于已经掌握这些知识的读者来说，会略感不耐烦。整体而言，它更像是一部严谨的学术工具书，而非一本轻松的读物，但其内容的深度和广度，绝对值得每一个对离散数学领域有兴趣的人细细品味。

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阅读《有限集组合学》的过程，更像是在攀登一座逻辑的悬崖。作者的写作风格极其凝练，几乎没有一句废话，所有的论证都直指核心，充满了数学家特有的冷峻与精确。这本书对于集合论基础的预设要求很高，它直接跳过了大部分的“预热”环节，一上来就探讨了关于偏序集上的极大元、最小元以及反链的复杂结构。特别是关于Dilworth定理的证明部分，作者采用了一种非常精妙的对偶构造法，其优雅程度令人拍案叫绝。但这种“精英化”的写作方式也意味着，这本书对读者的数学成熟度要求极高。我个人认为，对于初学者来说，直接面对这本书可能会感到窒息，因为它要求读者已经具备很强的抽象思维能力和对数学证明的敏感性。它不是一本用来培养兴趣的入门读物，而是一部用来深化理解和拓展视野的进阶之作，非常适合已经有一定组合学基础的研究人员。

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我花了大约一个月的时间来攻读这本书，感觉就像进行了一场数学马拉松。这本书的叙事风格非常独特，它不像许多现代数学书籍那样追求极致的简洁和抽象，而是保持了一种古典的、注重构造性的论证方式。书中对于容斥原理的阐述达到了令人惊叹的深度，它不仅给出了公式，更深入挖掘了其背后的哲学思想，使得每一个公式似乎都有了生命力。书中穿插了大量的历史背景和著名数学家的思考过程，这一点让阅读过程不再是单纯的知识灌输，而更像是一场与前辈智者的对话。然而，这种详尽也带来了阅读上的挑战。有些章节的数学推导篇幅过长，逻辑链条环环相扣，稍微走神就容易跟不上思路，需要反复回溯。对我来说，这本书最大的价值在于它提供了一个坚实的理论框架，让我得以从全新的角度审视以往接触过的组合问题。它要求读者付出相当的专注度，但回报也是巨大的。

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