数学1(必修) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:北京师范大学出版社

作者:严士健

出品人:

页数:139

译者:

出版时间:2011-5

价格:8.80元

装帧:平装

isbn号码:9787303070596

丛书系列:普通高中课程标准实验教科书·北师大版

图书标签:

• 高中数学
• 考高分必备
• 数学
• 高中数学
• 必修
• 教材
• 基础数学
• 函数
• 数列
• 三角函数
• 立体几何
• 解析几何

《逻辑的基石：形式系统与证明论入门》 简介： 本书旨在深入浅出地引导读者探索数学与哲学交汇处的迷人领域——形式系统与证明论。在现代科学和逻辑学发展中，理解事物如何被精确地定义、推导和验证，是构建严谨知识体系的基石。本书将从最基本的概念出发，逐步构建起一套能够分析和理解各种形式语言的工具，并在此基础上，深入探讨证明的本质、结构以及其在不同数学分支中的应用。 第一部分：形式语言的构建——精确表达的艺术 在日常交流中，我们依赖模糊的自然语言来传递信息。然而，一旦涉及严密的推理，这种模糊性就成为巨大的障碍。形式系统应运而生，它提供了一种无歧义、精确的语言，使得逻辑推理过程可以被清晰地表达和操作。 符号与词汇： 我们将从最基础的构成单元——符号开始。这些符号本身可以没有特定含义，但它们是构建更复杂结构的基石。我们将学习如何定义一套符号集，涵盖命题逻辑中的连接词（如“非”、“与”、“或”、“蕴含”、“等价”），以及谓词逻辑中的量词（“存在”、“任意”）。每一种符号的引入都将伴随着其精确的定义，确保其在任何上下文中都具有唯一且确定的含义。 语法规则与良构公式： 符号的堆砌并非随意。形式语言拥有严格的语法规则，类似于自然语言的语法，但其规则更加严谨和完备。我们将学习如何定义“良构公式”（well-formed formula, WFF），即符合语法规则的符号串。例如，在命题逻辑中，“P → Q”是一个良构公式，但“→ PQ”则不是。我们将通过递归的定义方式，清晰地阐述构成良构公式的条件，让读者掌握识别和构建有效逻辑表达的能力。 模型论基础：真值与解释： 形式语言的意义在于其能够被解释，并且其表达的命题可以被赋予真值。本书将介绍模型论的基本思想，即如何为形式语言提供一个“模型”或“解释”。在一个给定的模型中，每一个符号和每一个公式都将被赋予一个明确的意义。我们将学习如何通过真值表（对于命题逻辑）或解释模型（对于谓词逻辑）来判断一个公式的真假。这部分内容将揭示逻辑表达的语义层面，理解“真”与“假”在形式系统中的判定标准。 命题逻辑：连接命题的威力： 命题逻辑是形式系统中最简单的形式之一，它关注的是由简单命题通过逻辑连接词组合而成的复杂命题的真值关系。我们将深入学习命题逻辑的推理规则，例如如何从一组已知命题推导出新的命题。我们将探讨“重言式”（tautology）、“矛盾式”（contradiction）和“可满足式”（satisfiable formula）等概念，理解逻辑恒真、逻辑恒假以及存在满足情况的命题。 谓词逻辑：量词与个体： 命题逻辑只能处理整体的命题，而无法分析命题的内部结构。谓词逻辑在此基础上引入了“谓词”和“个体”，使得我们可以描述事物的属性以及个体之间的关系，并且可以通过量词来表达普遍性或存在性。我们将学习如何将自然语言中的语句转化为谓词逻辑的公式，例如“所有人都会死”可以表示为 ∀x (Human(x) → Dies(x))。这部分内容将极大地扩展我们表达和推理的范围。 第二部分：证明的艺术——逻辑推理的严谨性 如果说形式语言是表达思想的工具，那么证明就是运用这些工具进行严谨推理的过程。证明论研究的是如何从一组公理或已知事实出发，通过一系列有效的推理步骤，最终得出我们想要证明的结论。 形式证明系统：规则与推导： 为了保证证明的客观性和可重复性，我们需要一套形式化的证明系统。本书将介绍几种经典的证明系统，例如自然演绎（Natural Deduction）和公理系统（Axiomatic Systems）。自然演绎允许我们基于一组直观的推理规则（如引入和消除规则）来进行证明，而公理系统则依赖于一组基本公理和少量的推理规则（如假言三段论）。我们将详细解析这些规则，并提供大量的例子来展示如何进行形式证明。 证明的性质：有效性与健全性： 一个形式证明的关键在于其“有效性”（validity）。一个证明是有效的，当且仅当它能够从其前提（公理或已证明的命题）必然地导出结论。这意味着，如果前提为真，那么结论一定为真。此外，我们还会探讨证明系统的“健全性”（soundness），即证明系统推出的所有命题都必然为真。一个健全且能够证明所有真命题的系统被称为“完备的”（complete）。 推理规则详解： 我们将深入剖析各种关键的推理规则，理解它们如何工作以及为何有效。例如，在命题逻辑中，我们将学习“肯定前件”（Modus Ponens）规则：如果 P 为真，且 P → Q 为真，那么 Q 必然为真。在谓词逻辑中，我们将学习“全称实例化”（Universal Instantiation）规则：如果 ∀x P(x) 为真，那么对于任何特定的个体 a，P(a) 也为真。通过对这些规则的深入理解和应用，读者将能够构建复杂的逻辑推导。 证明的技术与策略： 形式证明并非总是直观的，它需要技巧和策略。我们将介绍一些常用的证明技巧，例如： 直接证明： 从前提直接推导出结论。 反证法（Reductio ad Absurdum）： 假设结论为假，然后推导出矛盾，从而证明结论为真。 数学归纳法： 一种强大的证明工具，尤其适用于证明关于自然数的命题。它通过证明基础情况和归纳步骤来确立命题的普遍真实性。 构造性证明： 证明一个对象存在，并同时给出构造该对象的方法。 证明的价值与应用： 形式证明不仅仅是抽象的逻辑游戏，它们是构建数学理论的基石。本书将展示证明如何在不同的数学领域发挥作用： 数论： 证明素数定理，证明丢番图方程的解的存在性。 集合论： 证明集合论公理的相容性（虽然证明完备性是无望的）。 代数： 证明群的性质，证明域的结构。 计算机科学： 证明算法的正确性，形式化验证硬件和软件。 第三部分：超越基础——形式系统与数学证明的深度探索 在掌握了形式语言和证明论的基础后，本书将带领读者进一步探索更高级的主题，以及形式系统在整个数学体系中的深远意义。 哥德尔不完备定理的启示： 哥德尔不完备定理是20世纪最重大的数学成就之一，它深刻地揭示了任何足够强大的形式系统（能够包含基本算术）都必然存在无法在其内部证明的真命题。我们将浅析这些定理的核心思想，理解其对数学基础的冲击，以及对我们认知能力边界的思考。 逻辑学的不同分支： 除了命题逻辑和谓词逻辑，逻辑学还有许多其他重要的分支，例如模态逻辑（研究必然性、可能性）、时态逻辑（研究时间）、道义逻辑（研究义务、允许）等。我们将简要介绍这些逻辑系统的基本思想，展示逻辑学在应对更广泛的推理场景中的灵活性。 形式系统在现代数学中的角色： 从集合论的公理化，到范畴论的抽象化，形式系统无处不在。它们为数学研究提供了统一的语言和严格的标准，是现代数学得以蓬勃发展的重要支撑。本书将强调形式系统在数学研究中的实际应用，以及它们如何帮助数学家清晰地沟通思想、验证猜想。 哲学意义与认识论的思考： 逻辑与证明的探索，最终会引向对我们认知和知识本质的思考。形式系统如何捕捉和编码人类的推理能力？数学真理是否依赖于形式系统？证明的确定性是否能带来绝对的知识？本书将引导读者进行更深层次的哲学反思。 目标读者： 本书适合所有对数学、逻辑学、哲学感兴趣的读者。无论您是高中生、大学生，还是希望深入理解数学基础的研究者，亦或是对严谨推理充满好奇的普通读者，本书都将为您提供一份坚实的理论基础和广阔的视野。 阅读本书，您将收获： 严谨的逻辑思维能力： 学习如何清晰地表达思想，如何进行有条理的推理，如何识别逻辑谬误。 对数学深刻的理解： 掌握数学证明的本质，理解数学理论的构建过程。 分析复杂问题的工具： 学习如何将现实世界的问题抽象化，并运用逻辑工具进行分析。 哲学思考的启迪： 触及认识论、科学哲学等领域的深刻问题。 《逻辑的基石：形式系统与证明论入门》 不仅仅是一本教材，更是一次通往逻辑世界深处的思想之旅。它将为您打开一扇全新的窗户，让您得以窥见理性思维的精妙之处，并为您在知识的海洋中航行提供最坚实的罗盘。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格，可以说是一种非常“精确而又不失温度”的沟通方式。它既保持了数学学科应有的严谨性，对术语的定义一丝不苟，又在解释复杂概念时，仿佛有一位耐心细致的导师在你耳边轻声讲解。我发现它在处理那些容易产生歧义的表达时，总是会给出非常明确的界定和反例。比如在讲到“充分条件”和“必要条件”时，很多教材会用很绕的逻辑来解释，但这本书直接用了“下雨”和“地面湿滑”这两个例子，并且用流程图的方式清晰地展示了两者在逻辑链条上的位置关系，这种直观性是文字描述难以达到的。我感觉作者是真正站在初学者的角度去构思内容，深知哪些地方最容易卡壳，并在那些关键点上做了加固处理。这种“预判式教学”的能力，让我在自学过程中少走了很多弯路，真正实现了高效吸收知识。

评分☆☆☆☆☆

我是一个非常注重“实战演练”的学习者，如果光看理论不动手，我学什么都记不住。这本书在习题部分的安排上，简直是教科书级别的典范。它没有把所有习题都堆在章节末尾，而是巧妙地将“基础巩固”、“深入理解”和“拓展应用”这三类练习穿插在知识点讲解之后。基础巩固的部分，题型非常标准，确保你掌握了刚刚学到的那个公式的直接用法；而“深入理解”的部分，就开始要求你进行两步甚至三步的逻辑跳跃，这极大地锻炼了我的思维敏捷度。最让我印象深刻的是“拓展应用”——它引入了一些实际工程或经济学中的小案例，比如如何计算复利增长，或者用三角函数来测量不可及的距离。这些题目让我第一次真切地感受到了，我学的这些抽象的东西，真的是可以解决实际问题的。完成这些拓展题后，那种成就感是无与伦比的，它让我从“我必须学数学”转变为“我想用数学来解决问题”。

评分☆☆☆☆☆

从内容深度和覆盖范围来看，《数学1(必修)》的平衡做得相当到位，它成功地避免了“贪多嚼不烂”的陷阱。它聚焦于那些对后续高等数学学习至关重要的核心模块，比如代数基础的巩固、基础函数的深入分析以及简单的解析几何入门。我特别赞赏它对“函数图像”这部分的讲解，没有仅仅停留在描绘曲线的步骤上，而是深入探讨了图像的“形变”——平移、伸缩、对称等变换如何直接对应于函数表达式的符号变化。这种将“看图”和“看式子”紧密结合的教学法，彻底打通了我的视觉和符号理解之间的通道。很多以前模糊的概念，比如“奇偶性”和“周期性”，在结合了图像的对称和重复特性之后，变得无比清晰和直观。这本书的价值在于，它为你搭建了一个坚实的地基，确保你在未来攀登更宏伟的数学建筑时，不会因为基础不牢而产生动摇。它给的不是捷径，而是最可靠的通行证。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我本来以为大学预科的数学书都会是那种枯燥乏味的砖头，但是《数学1(必修)》的排版和插图简直是惊喜。色彩运用得非常克制但有效，不是那种花里胡哨的幼儿园风格，而是用不同的颜色区块来区分不同的知识点和重点总结，这对于长时间阅读来说，极大地减轻了视觉疲劳。更让我感到惊喜的是，书中的历史小插曲部分，那些关于微积分先驱们的故事，简直太引人入胜了！我记得有一段讲到牛顿和莱布尼茨争论的轶事，一下子就让那些冰冷的公式活了起来，原来这些伟大的发现背后也有这么多曲折和人性。这种“软性”内容和硬核数学知识的穿插，让学习过程变得像在读一本有趣的传记，而不是应付考试的工具书。每次翻开它，我都能找到一些新的乐趣点，这对于一个本来对数学不太感冒的学生来说，是极其宝贵的动力。我甚至开始期待接下来的章节了，想看看作者还会用什么样的方式把枯燥的知识点变得如此有血有肉。

评分☆☆☆☆☆

天呐，这本《数学1(必修)》简直是打开了我对数学世界的新大门！我之前对数学总是有点畏惧，觉得那些公式和定理离我太遥远，但这本书的编排方式真的太贴心了。它不是那种冷冰冰的理论堆砌，而是非常注重基础概念的建立和理解。比如，在讲到函数的概念时，作者没有直接抛出复杂的定义，而是通过非常生动的日常生活例子，比如“买东西的花费”和“影子的长度变化”，让我一下子就抓住了核心——函数就是一种规律性的依赖关系。而且，课本里的例题设计得也很有层次感，从最简单的识别到稍微复杂一点的计算，每一步都有清晰的解析，完全不会让人感到困惑。我特别欣赏它在引导思考方面的设计，很多小小的“思考题”其实都在潜移默化地培养我的逻辑推理能力。读完第一章后，我感觉自己对“变化”有了更深层次的认识，这不仅仅是数学上的变化，更像是看待世界的一种新视角。这本书让我体会到了，数学并不是用来难倒人的工具，而是描述世界运行机制的精妙语言。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆