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出版者:高等教育

作者:张国勇

出品人:

页数:168

译者:

出版时间:2007-7

价格:16.00元

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isbn号码:9787040219906

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探寻计算的奥秘：高等工程数学基础与应用 本书聚焦于现代工程技术领域对数学工具的深度需求，构建了一套兼具理论严谨性与实际应用导向的数学知识体系。 针对理工科高年级学生、工程技术人员以及相关领域研究人员，本书旨在夯实其在微积分、线性代数、概率论与数理统计等核心学科上的深厚基础，并着重阐释这些抽象概念如何在实际工程问题中转化为可操作的解决方案。 本书摒弃了传统教材中过于侧重理论推导而忽视实际背景的弊端，而是将每一个数学分支的引入都与具体的工程场景紧密结合，例如结构力学中的微分方程求解、信号处理中的傅里叶分析、质量控制中的统计过程控制等。 --- 第一部分：多变量微积分的深化与应用 (Calculus of Several Variables Revisited) 本部分是数学分析在二维及三维空间中的自然延伸，重点在于理解和应用多变量函数的性质。 1. 空间几何与向量代数的回顾与拓展： 首先，对空间坐标系（直角坐标系、柱坐标系、球坐标系）进行系统的回顾，强调坐标变换的几何意义和矩阵表示。随后，深入探讨向量场、标量场和矢量场的概念。重点分析了梯度（Gradient）、散度（Divergence）和旋度（Curl）这三大向量算子的物理意义，例如梯度指示了函数增长最快的方向，散度描述了场源或汇的密度，而旋度则衡量了场的旋转趋势。这些概念是流体力学、电磁场理论等领域分析的基础。 2. 多重积分的精确计算与物理意义： 本书详细解析了定积分在计算面积、体积、质量、质心、转动惯量等物理量中的应用。随后，将积分推广至二重积分和三重积分。特别强调了雅可比行列式（Jacobian Determinant）在坐标变换中的核心作用，包括如何利用极坐标系、柱坐标系和球坐标系简化积分区域和被积函数。在应用层面，本书通过实例展示了如何使用三重积分计算不均匀密度物体的总质量和惯性矩。 3. 线积分与面积分：场论的基石： 线积分和面积分是连接场论与积分计算的桥梁。 线积分（Line Integrals）： 讨论了第一类线积分（与曲线长度相关）和第二类线积分（如功的计算）。重点阐述了保守场的概念，即路径无关性，并将其与势函数（Potential Function）的存在性联系起来。 面积分（Surface Integrals）： 介绍了曲面上的通量计算。面积分是理解电磁学中高斯定律、流体力学中流量分析的关键。 4. 微积分基本定理的升华：格林、斯托克斯与高斯公式： 这是多变量微积分的最高成就，也是连接不同维度积分的统一框架。 格林公式（Green's Theorem）： 将平面闭合曲线上的线积分与曲面上的二重积分联系起来。 斯托克斯公式（Stokes' Theorem）： 将曲面上的面积分（通量）与该曲面边界曲线上的线积分联系起来，是旋度概念的积分表达。 高斯散度定理（Gauss' Divergence Theorem）： 将封闭曲面上的面积分（总通量）与曲面所包围的三维区域上的三重积分（散度积分）联系起来，是分析源汇分布的强大工具。本书对这些定理的证明思路进行了清晰的梳理，并配以大量涉及流体运动和电磁场分布的实例。 --- 第二部分：常微分方程的求解与建模 (Ordinary Differential Equations - ODEs) 本部分专注于描述动态系统随时间或空间变化的数学模型——常微分方程。 1. 一阶 ODE 的解析方法与稳定性分析： 除了对可分离变量、齐次方程、精确方程等基础类型的系统复习外，本书着重介绍了一阶线性非齐次方程的常数变易法。更重要的是，引入了相平面分析（Phase Plane Analysis）的概念，用于定性研究不含时间项（自燃系统）的非线性一阶方程的解的长期行为和稳定性，例如捕食者-猎物模型（Lotka-Volterra）。 2. 高阶线性常微分方程与常系数方程： 详细讲解了二阶及以上常系数线性常微分方程的求解，包括特征方程的根的各种情况（实根、重根、复根）。重点在于待定系数法与拉普拉斯变换法的应用。拉普拉斯变换作为一种强大的代数工具，能够系统地处理含有不连续激励（如阶跃函数、冲击函数）的初值问题，这在控制系统和电路分析中至关重要。 3. 系统微分方程与矩阵法： 将多个相互耦合的一阶微分方程组视为一个整体进行处理。核心在于利用线性代数中的特征值和特征向量，将系数矩阵对角化，从而将复杂的耦合系统解耦为若干独立的简单一阶方程。这直接为理解和设计反馈控制系统提供了数学基础。 4. 定性分析与级数解法： 对于难以解析求解的非线性或变系数方程，本书引入了幂级数解法，特别是围绕常点和正则奇点展开的Frobenius方法。此外，将线性ODE的解表示为无穷级数，是理解特殊函数（如贝塞尔函数、勒让德多项式）起源的重要途径。 --- 第三部分：概率论与数理统计的工程实践 (Probability and Statistical Inference) 本部分是理解随机现象、数据分析和风险评估的理论基础。 1. 随机变量与随机过程的基础： 深入探讨离散型和连续型随机变量的概率分布，重点分析了工程中常见的分布，如泊松分布（描述事件发生频率）、指数分布（描述事件间隔时间）、正态分布（中心极限定理的基础）以及卡方分布、t分布和F分布（用于统计推断）。随机过程部分初步介绍了马尔可夫链的概念及其在状态转移分析中的应用。 2. 统计推断的核心：参数估计： 强调了从样本数据推断总体特征的重要性。详细讲解了矩估计法（Method of Moments）和极大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE），并比较了这两种估计量的优缺点。随后，重点讲解了置信区间的构建，即如何量化估计的不确定性。 3. 假设检验的严谨性： 假设检验是科学决策的数学框架。本书系统阐述了零假设与备择假设的设定、检验统计量的选择、P值（P-value）的意义，以及I类错误和II类错误的权衡。具体介绍了均值检验（t检验）、方差检验（卡方检验）和方差分析（ANOVA）在工程质量控制和实验设计中的应用。 4. 线性回归与相关性分析： 回归分析是量化变量间关系的标准方法。本书深入探讨了简单线性回归和多元线性回归模型，包括最小二乘法的推导、回归系数的统计显著性检验（t检验和F检验），以及模型拟合优度的评估（决定系数 $R^2$）。这为数据驱动的预测和建模提供了坚实的工具。 --- 总结与展望 本书的编写遵循“数学工具服务于工程问题”的核心宗旨。读者在学完此书后，不仅能够熟练运用微积分和线性代数解决涉及连续变化和多维空间的问题，更能掌握利用微分方程描述动态过程，并借助概率统计工具对数据进行科学推理和风险评估的能力。本书内容是对高等数学（通常指上册内容）的自然深化，特别侧重于那些在现代工程学科（如控制工程、材料科学、计算机图形学及数据科学）中不可或缺的高级数学工具集。

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我得说，这本书的语言风格非常“接地气”，没有过多晦涩难懂的学术术语堆砌，而是用一种比较口语化、易于理解的方式来阐述数学原理。这对于我这种数学基础相对薄弱的学生来说，简直是福音。很多教科书上的定义和解释总是让人读起来像绕口令，但这本书的作者似乎很懂得如何站在读者的角度去思考，用最直白的语言把“为什么”和“怎么做”讲清楚。比如在讲解概率与统计部分时，作者通过一些生动的比喻，让抽象的概率模型瞬间变得形象起来。当然，如果能在一些关键概念的定义旁，增加一些简短的总结性的“黑体字”强调，对于快速回顾和记忆知识点会更加方便快捷。总体而言，阅读过程中的体验是非常流畅且愉快的，学习的压力感减轻了不少。

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这本书的配套资源体系构建得非常完善，这大大提升了我的自主学习效率。我指的是它似乎在设计之初就考虑到了线上线下的资源联动。比如，书中的一些复杂证明或动态演示，如果能通过扫描二维码链接到相应的网络资源，那就太棒了。这不仅能增强学习的互动性，也能让知识点以更丰富多彩的形式呈现出来。我在学习某些几何空间关系时，就特别希望能有一个三维动态演示来辅助理解。虽然书本本身的讲解已经非常详尽，但作为辅助工具，这种多媒体的整合无疑是现代教育的趋势。总而言之，这本书在内容编排和理论深度上都达到了优秀水准，它不仅仅是一本教材，更像是一位耐心的、知识渊博的引路人，陪伴我走过高职数学的学习旅程。

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这本书的内容组织逻辑性极强，从基础概念的引入到复杂定理的推导，过渡得非常自然平滑。我特别欣赏作者在处理那些抽象的微积分概念时所采用的循序渐进的讲解方式。初学者可能一开始会觉得有些吃力，但只要跟着书中的步骤一步步深入，你会发现作者已经为你铺设好了一条清晰的思维路径。每节课后都有适量的练习题，这些习题设计得很有梯度，从简单的计算巩固到需要综合运用知识点的应用题，覆盖面很广。我个人觉得，如果能对一些特别容易出错的知识点设置“易错点警示”或者“常见误区解析”的板块，相信对提升解题准确率会有显著帮助。即便如此，这本书依然是我目前接触到的高职数学教材中，结构最严谨、讲解最到位的一本，是系统学习的有力支撑。

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这本书的封面设计很有特色，色彩搭配和字体选择都给人一种沉稳又不失活力的感觉，让人很有翻开阅读的欲望。我拿到手后，首先注意到的就是它的装帧质量，纸张的厚度和触感都相当不错，即便是经常翻阅也不会轻易损坏，这点对于像我这样喜欢做笔记的学生来说非常重要。内页的排版也做得十分考究，图文并茂的设计让复杂的数学概念更容易被理解，特别是那些公式和定理的呈现方式，清晰明了，减少了阅读时的疲劳感。不过，我感觉在某些章节的例题部分，如果能增加一些与实际生产生活紧密结合的案例，那就更完美了。毕竟我们学习高职数学，最终目的还是为了更好地服务于未来的职业技能，理论联系实际的深度可以再挖掘一下。整体来看，这本书在视觉呈现和物理质量上都达到了很高的水准，为后续的学习打下了良好的基础。

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这本书的深度和广度拿捏得恰到好处，它既能满足高职教育对基础知识的严格要求，又在某些选修或深入探讨的部分提供了拓展空间。我注意到，它并没有满足于仅仅停留在公式的罗列和计算，而是试图引导读者去思考数学工具在实际工程或经济领域中的应用价值。这种“知其然，更要知其所以然”的教学理念贯穿始终，让人在学习代数、几何等内容时，不再感到枯燥乏味，而是充满了探索的乐趣。对于那些希望未来能在专业领域有更进一步发展的同学来说，这本书提供的理论基础是相当扎实的。唯一的建议是，如果能在每章的开头加入一个“本章导引”，简要说明本章知识点在整个课程体系中的地位以及它们将如何被应用于后续章节，那么学习者对知识点的宏观把握会更加到位。

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