微积分简明教程（下） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:广东华南理工大学

作者:潘吉勋

出品人:

页数:198

译者:

出版时间:2007-8

价格:13.00元

装帧:

isbn号码:9787562326564

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 高等数学
• 数学教材
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• 导数

现代高等代数：从基础到前沿 内容概述 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代高等代数知识体系。内容覆盖了群论、环论、域论以及线性代数的高级主题，并兼顾了代数拓扑和代数几何的初步概念，力求在理论的严谨性与应用的广泛性之间取得平衡。全书结构清晰，逻辑递进自然，适合作为数学、物理、计算机科学等专业本科高年级及研究生阶段的教材或参考书。 第一部分：群论基础与结构 本部分是全书的基石，系统介绍了抽象代数中最核心的概念——群。 第一章：群的基本概念与例子 详细阐述了群的四条公理，并引入了丰富的例子，如对称群 $S_n$、二面体群 $D_n$、循环群 $mathbb{Z}_n$ 和加法群 $mathbb{R}^n$ 上的线性变换群。重点讨论了子群、陪集（左陪集与右陪集）的性质，以及左陪集与右陪集的等价性条件。 第二章：正规子群与商群 定义了正规子群的严格概念及其等价条件，例如与所有内积运算的可交换性。深入探讨了商群的构造及其性质，证明了商群是一个良定义群的重要定理。详细分析了最基本的商群，如 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ 和 $mathbb{R}/mathbb{Z}$。 第三章：群同态与同构 引入群的映射概念，严格定义了群同态、同构、内同态和自同构。核心内容是同态基本定理（第一同构定理），并利用它来证明了许多结构上的等价性。讨论了核（Kernel）与像（Image）作为特定子群的性质。 第四章：群的作用与应用 本章聚焦于群在集合上的作用。定义了群作用的性质，如轨道和稳定子。着重讲解了施泰纳定理（Sylow Theorems）的三大定理，这是有限群结构分析的利器。运用 Sylow 定理对特定阶数的群（如阶为 $p^a q^b$ 的群）的结构进行了分类讨论，并以此分析了非交换群（如二面体群和四元数群）的内部结构。 第五章：生成元、关系与群表示 介绍了用生成元和关系式来描述群（如自由群）的方法。随后，转向群的线性表示论。定义了表示、等价表示和可约表示。讲解了马施克定理（Maschke's Theorem）在半单群上的应用，并介绍了如何通过特征标理论来区分不同的表示。 第二部分：环论的深化与推广 在建立起群论的坚实基础后，本部分将研究更具内在代数结构的环。 第六章：环的基本结构与例子 定义了交换环与非交换环，单位元、零因子等概念。重点研究了特殊的环结构，如整环（Integral Domain）和域（Field）。讨论了多项式环 $R[x]$ 的性质，特别是当 $R$ 是一个域时。 第七章：理想与商环 将群论中的正规子群概念推广到环的理想（Ideals）。区分了左理想、右理想和双边理想。定义了商环的构造，并阐述了环同态基本定理。特别关注了最大理想与素理想的区别及其在构造域中的作用。 第八章：主理想域、欧几里得整环与唯一分解整环 本章是环论的核心分类部分。详细研究了这些具有特殊算术性质的环： 1. 欧几里得整环 (ED)：定义了欧几里得函数，并证明 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$ 属于此类。 2. 唯一分解整环 (UFD)：定义了不可约元素与素元素，并证明了 ED 蕴含 UFD。 3. 主理想域 (PID)：定义了由单个元素生成的理想，并证明了 PID 蕴含 UFD。深入分析了 PID 的性质，如其在有理数域上的多项式环结构。 第九章：域的扩张 本章从代数角度探讨域的“扩展”。定义了域扩张的次数，引入了代数元与超越元。重点分析了有限域（Galois Fields）的存在性与唯一性，特别是构造 $mathbb{F}_{p^n}$ 的方法。 第三部分：线性代数的高级视角 本部分将线性代数提升到更抽象的代数结构层次，使读者能够从模和向量空间的角度理解线性变换。 第十章：模论基础 将向量空间的概念自然地推广到模（Modules）——即在任意环 $R$ 上的“向量空间”。讨论了子模、商模、模同态。重点分析了自由模、挠模的概念，并阐述了阿廷-坦纳定理（Artin-Tate theorem）在模理论中的应用。 第十一章：结构定理与标准分解 本章致力于对特定类型的模进行结构分解，这是研究有限生成阿贝尔群和线性算子的关键。详细推导和应用了 有限生成阿贝尔群的结构定理。随后，将此方法推广到线性代数，引入了 初等因子理论 和 有理标准型 (Rational Canonical Form)。 第十二章：张量积与双线性形式 严格定义了张量积 $otimes$ 及其通用性质，证明了其存在的唯一性。应用张量积来处理多线性映射，并构造了张量代数、对称代数和反对称代数。本章还包括对二次型和双线性形式的分析，介绍其合同和正交分解。 第四部分：域论的深度与应用 本部分是连接抽象代数与几何和数论的桥梁。 第十三章：伽罗瓦群与域扩张 引入了伽罗瓦理论的奠基概念：正规扩张、可分扩张。定义了伽罗瓦群 $ ext{Gal}(L/K)$。核心是 伽罗瓦基本定理，它建立了域扩张塔与伽罗瓦群子群之间的精确对偶关系。 第十四章：可解性与不可约性 运用伽罗瓦理论分析了著名的数学难题：五次及以上方程的根式解问题。通过判断域扩张的伽罗瓦群是否为可解群，来判定多项式方程是否可用根式求解。同时，讨论了使用伽罗瓦理论来证明尺规作图问题的不可解性。 第十五章：有限域的进一步结构 深入探讨有限域的内部结构，证明了所有有限域的乘法群都是循环群。讨论了有限域上的代数和数论应用，例如椭圆曲线理论的代数基础。 第五部分：前沿交叉领域简介 本部分简要介绍代数理论在其他数学分支中的映射，为读者未来的研究方向提供指引。 第十六章：代数拓扑的代数视角 简要介绍同调代数的基础思想，包括链复形、链映射和同调群的概念。阐述了如何利用模理论的工具（如内射分解和投射分解）来定义导出函子，为同调代数的精确性和应用打下基础。 第十七章：代数几何的代数语言 从阿芬空间（Affine Space）出发，引入代数集和理想之间的关系。阐述了希尔伯特零点定理的初步形式，展示了环论中的素理想如何对应于几何空间中的“点”。简要介绍了概形理论的必要性。 附录 附录 A: 经典线性代数的复习与补充（特征值分解、若尔当标准型）。 附录 B: 范畴论的初步介绍（函子、自然变换）。 附录 C: 常见代数结构群的阶与结构列表。 本书结构严谨，从最基础的群公理出发，逐步过渡到复杂的结构理论和前沿交叉领域，确保读者能够对现代代数有一个既深刻又全面的理解。

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作为一名对数学应用有较高要求的读者，我特别关注书中对理论的物理或工程意义的阐释。这本书在这方面的表现，可以说是超出了我的预期。它在介绍向量微积分时，将旋度（Curl）和散度（Divergence）不仅仅定义为纯粹的数学算子，而是紧密地联系到了流体运动中的“旋转”与“扩散”的概念。作者通过对电磁场中高斯定律和安培定律的简要回顾（无需读者有深厚的物理背景），巧妙地将这些偏微分方程的积分形式展示出来，让读者清晰地看到，我们求解的那些复杂的线积分、面积分，其背后驱动力是物理世界的客观规律。这种跨学科的融合，极大地增强了我学习这部分内容的内在动力。它不再是纯粹的抽象运算，而是理解世界的强大工具。这种教学上的洞察力，让这本书从众多微积分教材中脱颖而出，因为它成功地回答了我们学习这些工具的终极目的。

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这本书的收尾部分，即对无穷级数和幂级数展开的讨论，处理得尤为细腻，体现了作者深厚的学术功底和对教学艺术的把握。通常，在讲完级数收敛性后，教材就会戛然而止，留下很多应用层面的悬念。但这本书不同，它花了不少篇幅来探讨函数展开的唯一性、泰勒级数在逼近复杂函数时的误差估计，以及傅里叶级数这一重要工具的初步概念。这种“点到为止，但留下充足思考空间”的处理方式，让我感觉自己不是被迫结束学习，而是被邀请进入下一个更广阔的数学领域。它成功地激发了一种持续探索的欲望。阅读完最后几页，我非但没有因学完一个阶段性目标而感到疲惫，反而有一种意犹未尽、迫不及待想看看更高阶微积分的冲动。这本书不仅教会了我知识，更重要的是，它重塑了我对数学学习的期待和态度。

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这本书，坦白说，是我近期阅读体验中相当令人振奋的一部。它的开篇并没有像很多教材那样堆砌复杂的理论定义，而是选择了一种更为直观的切入点，仿佛一位经验丰富的向导，带着读者走入数学的深处。作者在处理像多变量函数导数、隐函数定理这类被视为“硬骨头”的内容时，展现出了惊人的驾驭能力。他没有满足于给出冰冷的公式，而是通过精妙的几何直觉和现实世界的类比，将抽象的概念具象化。我印象特别深的是关于梯度和方向导数的部分，书中对“山坡上升最快方向”的阐述，简洁到让人拍案叫绝。这使得即便是初次接触这些概念的读者，也能迅速建立起坚实的直观理解，而不是被密密麻麻的符号吓倒。更难能可贵的是，作者在章节的过渡上处理得非常流畅，前后知识点之间的衔接自然而紧密，读起来有一种步步为营、水到渠成的感觉，这对于需要长时间保持专注力的数学学习来说，是极大的加分项。整体而言，它成功地将“难啃”的微积分高阶主题，变成了一场富有启发性的智力探险。

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我必须承认，我一开始对“简明”这个词持保留态度的，毕竟微积分的下半部分涉及的内容本就繁复，如何做到“简明”而不失深度，是一个巨大的挑战。但阅读过程中，我发现这种“简明”并非是内容的删减，而是一种高度提炼后的清晰度。作者似乎有一种化繁为简的魔力，他能迅速抓住问题的核心矛盾，并用最少、最恰当的语言去阐述。例如，在讲解Stieltjes积分或者更高级的Green定理、Stokes定理时，很多教材会先铺陈大量的背景知识，让人感到拖沓。而这本书则像是直奔主题，先给出核心思想和直观图像，等你理解了“骨架”，再慢慢添上“血肉”。这种“先搭框架，后填细节”的叙事结构，极大地提高了我的学习效率。它不像一本教科书，更像是一位顶尖教授为你准备的“速成笔记”，但这个笔记的质量是世界级的，它尊重读者的智力，不浪费一分一秒在无谓的赘述上。

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这本书的排版和装帧设计，透露出一种低调的专业主义。纸张的选择很舒服，不像一些廉价教材那样反光刺眼，长时间阅读眼睛不容易疲劳。但真正让我眼前一亮的，是它对例题和习题的编排。通常情况下，教材的例题往往是机械的演示，习题则是冷酷的检验。然而，这本书的作者显然在这方面下了大功夫。例题的选择兼顾了理论的严谨性和应用的广泛性，从物理学中的振动问题到经济学中的边际分析，都有所涉猎，让读者明白这些公式并非空中楼阁。而习题部分，难度梯度设置得极为精妙——前几组是基础巩固，旨在强化对基本运算和定义的掌握；中间部分开始引入需要综合运用多条定理的“混合题”；而最后的几道挑战题，往往需要读者跳出固有的思维框架，进行真正的数学思考。这种层层递进的设计，极大地激发了我解决问题的欲望，而不是仅仅应付考试。读完一个章节，我感觉自己不仅仅是学会了“如何算”，更是理解了“为什么要这么算”。

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