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出版者:Springer

作者:Bela Bollobas

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1990-03-21

价格:USD 54.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387903996

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• Math
• GraphTheory
• 图论
• 离散数学
• 数学
• 算法
• 计算机科学
• 网络分析
• 组合数学
• 数学建模
• 数据结构
• 理论计算机科学

《图论》 这是一本探索离散数学核心概念之一——图论——的深度著作。 图论是一门研究点（称为“顶点”或“节点”）和连接这些点线的集合（称为“边”或“弧”）的数学分支。它提供了一种强大的工具来建模和分析各种现实世界的问题，从交通网络、社交关系到计算机科学中的算法设计。本书将带领读者深入理解图的基本概念，并逐步揭示其丰富的理论内涵和广泛的应用。 本书首先奠定了坚实的理论基础。 我们将从最基本的图的定义开始，探讨无向图、有向图、多重图、简单图等不同类型的图。接着，我们将深入研究图的表示方法，包括邻接矩阵和邻接表，理解它们在存储和操作图时的优劣。路径和连通性是图论中的核心概念。本书将详细阐述路径的定义，不同类型的路径（如简单路径、回路），以及连通分量的概念，帮助读者理解图的整体结构和组件之间的联系。 度数（degree）是图的一个基本属性。 我们将分析顶点的度数，以及握手定理（Handshaking Lemma）的深刻含义——所有顶点的度数之和等于边数的两倍。这一定理不仅在理论上很重要，也为理解图的结构提供了基础。接下来，我们将转向图的遍历问题。深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种最基本的图遍历算法，本书将详细讲解它们的原理、实现方式以及在不同场景下的应用，例如查找连通分量、判断图的连通性等。 割点（articulation points）和桥（bridges）是图的连通性中的关键概念。 我们将学习如何识别这些在移除后会增加图的连通分量数量的顶点和边。这些概念在网络可靠性分析和故障检测中具有重要意义。本书还将探讨双连通图（biconnected graphs），即任意移除一个顶点都不会破坏图的连通性的图。 遍历整个图而不重复经过任意一条边（或经过所有边一次）是图论中一个经典的问题。 欧拉图（Eulerian graphs）和汉密尔顿图（Hamiltonian graphs）是本书的重点内容。我们将深入研究欧拉路径（Eulerian path）和欧拉回路（Eulerian circuit）的存在条件，以及著名的柯尼斯堡七桥问题（Seven Bridges of Königsberg）如何催生了欧拉图的研究。汉密尔顿路径（Hamiltonian path）和汉密尔顿回路（Hamiltonian circuit）是另一个同样重要但更具挑战性的概念。我们将探讨判断图是否包含汉密尔顿回路的必要条件和一些启发式算法，并理解其在旅行商问题（Traveling Salesperson Problem, TSP）等 NP-hard 问题中的关联。 树（trees）是图论中一个特别重要且结构良好的子类。 我们将详细介绍树的定义、性质以及不同类型的树，例如生成树（spanning trees）。生成树是连接图中所有顶点的最小连通子图，在网络设计和优化中具有核心作用。本书将介绍两种重要的生成树算法：普利姆算法（Prim's Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm），它们能够高效地找到带权无向图的最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST），在通信网络、电路设计等领域有着广泛应用。 图的着色（graph coloring）是另一个重要的研究方向。 我们将学习图的顶点着色问题，以及着色数（chromatic number）的概念——用最少颜色为图的顶点着色，使得任意两个相邻顶点颜色不同。我们将探讨四色定理（Four Color Theorem）的历史和意义，并介绍图着色在资源分配、调度问题、寄存器分配等实际问题中的应用。 最大匹配（maximum matching）是图论中关于边之间关系的另一个重要问题。 我们将研究匹配的定义，以及如何在二分图（bipartite graphs）中找到最大匹配。霍尔定理（Hall's Marriage Theorem）为判断二分图中是否存在完美匹配提供了重要的理论依据。本书还将介绍如何利用网络流（network flow）的概念来解决匹配问题。 网络流（network flow）是图论与优化相结合的一个强大工具。 我们将研究流网络（flow networks）的概念，包括源（source）、汇（sink）、容量（capacity）和流（flow）。最大流最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem）是网络流理论的核心，它建立了网络中的最大流与最小割（cut）之间的对偶关系。本书将介绍福特-福尔克森算法（Ford-Fulkerson Algorithm）及其改进算法（如 Edmonds-Karp Algorithm），用于求解最大流问题，并展示其在交通流量、通信带宽分配、生产调度等问题中的应用。 平面图（planar graphs）是那些可以绘制在平面上而不存在边交叉的图。 我们将学习平面图的性质，以及欧拉公式（Euler's Formula）——对于连通平面图，顶点数 V、边数 E 和面数 F 满足 V - E + F = 2。我们将探讨平面图的着色问题，以及库拉托夫斯基定理（Kuratowski's Theorem）用来刻画平面图的方法。 本书的重点不仅仅在于理论的介绍，更在于引导读者理解如何将图论的思想应用于解决实际问题。 在介绍每种图论概念和算法时，我们都将穿插丰富的实例，例如： 社交网络分析： 如何用图来表示人与人之间的关系，以及分析社交网络中的影响力、社区结构等。 交通和物流： 如何用图来建模道路网络、航空路线，以及利用最短路径算法、最小生成树算法优化路线和运输。 计算机科学： 图论在数据结构（如链表、树、图）、算法设计（如搜索、排序、路径查找）、编译器（如寄存器分配）、数据库（如关系模型）等领域有着广泛的应用。 生物学： 如何用图来表示基因调控网络、蛋白质相互作用网络。 物理学： 例如晶格结构、统计力学中的相图分析。 组合优化： 许多 NP-hard 问题，如旅行商问题、背包问题，都可以用图论的框架来描述和研究。 本书内容结构严谨，循序渐进。 从基础概念出发，逐步深入到更复杂的理论和算法，并始终贯穿实际应用的视角。语言力求清晰易懂，配以大量的图例和数学证明，帮助读者透彻理解图论的精髓。通过本书的学习，读者将能够： 建立坚实的图论基础： 掌握图论的基本定义、性质和术语。 理解重要的图论算法： 熟练掌握图的遍历、最短路径、最小生成树、最大流等经典算法。 学会将现实问题建模为图： 培养利用图论解决实际问题的能力。 提升抽象思维和逻辑推理能力： 图论的学习过程本身就是一种对抽象思维和逻辑推理的训练。 为进一步深入学习打下基础： 为后续学习离散数学、算法设计、计算理论等相关领域做好准备。 本书适合对象： 计算机科学、数学、工程学等专业的本科生和研究生。 对图论及其应用感兴趣的科研人员和工程师。 希望拓展数学视野，学习一种强大建模工具的读者。 准备参加各类算法竞赛和数学竞赛的选手。 这是一次关于抽象结构的探索之旅，也是一次关于连接与优化的实用指南。 《图论》将带领您领略数学之美，解锁解决复杂问题的钥匙。

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说实话，刚翻开前几页的时候，我有点担心这本书的学术腔调会不会太重。那种上来就抛出定义和公理，不给任何铺垫的写法，对初学者来说简直是灾难。幸运的是，作者似乎意识到了这一点，在介绍基本概念时，穿插了一些历史背景的介绍和一些简单图的视觉化示例。这多少缓解了理论带来的压迫感。我特别喜欢那种“循序渐进”的教学方式，就像是有一个经验丰富的老师在旁边耐心引导你。比如，在讲解欧拉路径和哈密顿回路时，如果能结合一些实际的“邮递员问题”或者“旅行商问题”的背景来阐述其重要性，而不是单纯地停留在“存在性证明”上，效果会好很多。此外，本书的术语表和索引做得怎么样，也是我非常看重的。一本好的参考书，其检索效率至关重要，我不想为了找一个定义而翻遍整本书。从目前的观感来看，排版清晰，术语似乎也保持了一致性，这为后续深入学习打下了良好的基础。

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我对这本书的期望值其实挺高的，毕竟图论在现代计算机科学中的应用越来越广泛，从社交网络分析到路线规划，无处不在。我希望这本书不仅仅停留在理论的层面，而是能提供一些前沿的应用案例或者至少是深入的讨论。翻到中间部分，我注意到了一些关于NP完全性问题的探讨，这部分内容我觉得是衡量一本图论教材深度和广度的重要标志。如果能把这些复杂问题的直觉解释和严谨的数学证明结合得好，那就太棒了。我尤其留意了关于图着色和最大流最小割的章节，这些都是我在解决实际问题时经常需要回顾的基础。一个好的教材，应该能让读者在遇到具体问题时，可以快速地定位到相关的理论工具，并知道如何应用。如果这本书能提供足够的习题，并且习题的难度梯度设计合理，能够引导读者从简单的概念验证逐步走向复杂的模型构建，那么它的实用价值就会大大提升。目前来看，内容覆盖面很广，但具体的例题数量和深度还需要进一步的检验，毕竟“做中学”对于理工科学习来说至关重要。

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这本书的装帧设计走的是一种非常内敛、偏学术的风格，没有那些花哨的彩色插图，主要依靠黑白线条和符号来构建整个理论体系。对于资深研究人员来说，这种“去装饰化”的风格也许是高效的，但对于需要建立直观理解的初学者来说，可能会稍显枯燥。我一直在思考，如何才能更好地“看到”图的结构？图论的魅力很大程度上在于它的几何直观性，如何将抽象的代数表示和具象的图形结构有效链接起来，是衡量一本教材水平的关键。我希望这本书在讲解那些结构复杂的定理（比如Kuratowski定理）时，能提供更精妙的图示解析，而不是仅仅依赖文字的描述。如果能提供一些可交互的在线资源链接，比如动态演示图的构造过程，那就更完美了。不过，作为一本纸质书，我们只能期待作者的文字功底足够深厚，能够构建出足够有力的心智模型。总的来说，它的重量感和厚度暗示着这是一部可以陪伴我度过相当长一段时间的学习伙伴。

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从侧重点来看，这本书似乎更偏向于纯粹的数学理论推导，而非偏向于应用算法实现。我个人对算法的兴趣略大于纯数学证明，所以我在阅读时会特别关注那些涉及到算法复杂度和具体实现细节的部分。比如，在讲到最小生成树时，是否会详细对比普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法的时间复杂度，以及在不同类型的图上各自的适用场景。如果能对算法的每一步骤进行清晰的伪代码描述，那就更符合我的需求了。很多时候，一本理论书的价值，体现在它如何引导读者将理论转化为可操作的步骤。我注意到书中似乎对图的代数表示，比如邻接矩阵和关联矩阵的讨论篇幅不小，这表明作者对图的数学基础非常重视。这对我来说既是机遇也是挑战，意味着我需要回顾一些线代的基础知识才能更好地吸收这部分内容。总的来说，它看起来像是一部非常严谨、面向理论基础扎实的读者的经典之作，而不是一本面向快速入门应用的速查手册。

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这本书的封面设计倒是挺吸引人的，那种深邃的蓝色背景上点缀着几条交织的线条，让人联想到复杂的网络结构，确实挺贴合“图论”这个主题。拿到手里掂了掂，分量感十足，看得出来内容应该相当扎实。我之前对这个领域了解不多，只是在一些算法课程中零星接触过，所以这次是抱着“恶补”的心态来的。打开目录看了一眼，章节划分得挺清晰的，从最基础的图的定义、子图、连通性讲起，一直到更高级的匹配、流和平面图理论，知识体系搭建得很完整。不过，光看目录还是有点抽象，实际阅读起来，我更关注它在讲解过程中会不会有足够多的实际例子来辅助理解。毕竟理论性的东西，如果不能和实际应用场景联系起来，光是啃那些公式和定义，很容易就让人感到枯燥乏味，甚至会产生抵触情绪。希望作者在阐述定理和算法时，能用一种更加平易近人的方式，而不是一味堆砌晦涩的数学符号。这本书的排版看起来还算舒服，字体大小适中，行距也比较合理，这对于长时间阅读来说是个加分项。总的来说，初步印象是专业性很强，希望接下来的阅读体验能对得起它这沉甸甸的分量。

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