具体描述
This is the first Supplementary volume to Kluwer's highly acclaimed "Encyclopaedia of Mathematics". This additional volume contains nearly 600 new entries written by experts and covers developments and topics not included in the already published 10-volume set. These entries have been arranged alphabetically throughout. A detailed index is included in the book. This Supplementary volume enhances the existing 10-volume set. Together, these eleven volumes represent the most authoritative, comprehensive up-to-date "Encyclopaedia of Mathematics" available.
《数学百科全书：第一增补卷》内容综述 一部对现代数学前沿的深度探索与系统梳理 《数学百科全书：第一增补卷》并非对核心“数学百科全书”内容的简单重复或低阶概括，而是一部立足于二十世纪末至二十一世纪初数学重大进展的独立且深入的参考性著作。它肩负着将新兴领域、突破性理论以及传统分支的最新发展纳入现有知识体系的使命。本书的结构和内容选择，旨在为研究人员、高年级学生以及需要掌握跨学科知识的专业人士提供一个全面、权威且高度结构化的资源。 本书的编辑理念侧重于“动态性”和“连接性”。数学学科的发展是持续不断的，本增补卷正是对这种动态性的及时响应。它不满足于对既有概念的重述，而是聚焦于那些在过去几十年间定义了数学新面貌的领域。 --- 第一部分：代数与几何的交汇与拓宽 本部分着重于代数结构在现代几何和拓扑学中的深化应用，以及新的代数对象的研究。 1. 范畴论的新进展与高阶范畴 范畴论作为现代数学的“通用语言”，在本卷中得到了显著扩展。重点讨论了高阶范畴论（Higher Category Theory），特别是 $infty$-范畴（或称为“无限范畴”）在代数拓扑、莫里塔-森理论（Morita-Theilen Theory）中的应用。我们详细阐述了带强函子（Strong Homotopy Functors）的概念，并剖析了其在定义稳定同伦群时的重要性。同时，也包含了对双函子（Bifunctors）和更一般化函子性质的深入分析，特别是在代数几何中的Schapira局部化理论。 2. 算术几何的深化：动力系统与L-函数 本卷对算术几何（Arithmetic Geometry）领域进行了细致的更新。重点关注了精细化L-函数（Refined L-functions）的构造，这涉及到对Weil-Petersson度量和相关积分几何的深入研究。书中专门辟出章节讨论了p-adic Hodge理论的最新成果，特别是关于平展上同调（Étale Cohomology）的计算方法与新界限的建立。此外，关于Mordell猜想（现为Faltings定理）的现代证明视角，特别是引入了“绝对S-单元方程”的现代处理方法，也进行了详尽的论述。 3. 群论的结构极限：无限群与随机群 传统有限群论的完备性在此处让位于对无限群结构的探索。重点分析了自动群（Automatic Groups）的结构特性，以及对易群（Commutative Groups）在局部紧空间上的结构分解。更具前瞻性的是对随机群（Random Groups）的研究——即通过概率方法研究大型随机群的几何和代数性质，特别是其群的性质如何趋向于某些极限结构。 --- 第二部分：分析学与偏微分方程的前沿 分析学部分聚焦于高维空间的度量、泛函分析在物理学中的回归，以及非线性偏微分方程（PDEs）的解的正则性与存在性。 1. 度量几何与几何分析 本部分深入探讨了黎曼几何与测度论的结合点。核心内容包括卡拉比-丘流形（Calabi-Yau Manifolds）的稳定化问题，以及相关的Mirror对称性猜想（Mirror Symmetry Conjecture）的代数化进展。特别强调了广义函数的微分理论，即如何处理不光滑甚至具有奇点的微分方程（如奇异积分方程）。对低维（如二维和三维）可压缩欧拉方程的弱解的正则性问题，以及Navier-Stokes方程的能量耗散机制的最新数值和解析工具，进行了详尽的介绍。 2. 泛函分析与算子理论的拓扑视角 对Banach空间理论的更新集中在几何Banach空间的分类问题上，特别是与粗糙几何（Rough Geometry）相关的度量空间上的算子。重点介绍了非交换几何（Noncommutative Geometry）在描述量子场论模型中的进展，例如使用C-代数来替代传统拓扑空间进行分析。关于算子理论，增补卷详细梳理了超循环算子（Hypercyclic Operators）的谱性质，以及其与动力系统解的遍历性的关系。 3. 概率论与随机过程的复杂系统建模 概率论部分侧重于描述复杂系统的行为。对随机场理论（Stochastic Field Theory）的介绍不仅限于白噪声模型，而是扩展到了具有长程依赖（Long-Range Dependence）的噪声过程。特别是对高维随机微分方程（SDEs）的解的爆炸性、不变流形和平均场限制（Mean-Field Limits）的分析，提供了最新的理论工具。此外，随机几何（如随机凸体、随机图中的几何嵌入）也占据了重要篇幅。 --- 第三部分：离散数学与计算科学的交织 本部分关注于信息科学、组合结构与理论计算机科学的数学基础。 1. 组合学与图论的边界扩展 增补卷对经典组合学的最新拓展集中在极限定理（Extremal Graph Theory）的更精细化结果上，例如Ramsey数的精确界限和稀疏图的结构分解。重点阐述了拓扑组合学（Topological Combinatorics），特别是Simplicial复形与断裂集（Break Sets）的研究，以及它们在解决组合几何问题中的作用。对随机图模型的演化（如Preferential Attachment模型）的分析，也体现了对现实网络结构的数学理解。 2. 理论计算机科学中的代数方法 本部分探讨了计算复杂性理论的数学基础。详细介绍了交替式图灵机（Alternating Turing Machines）及其与复杂性类（如$mathrm{PSPACE}$）的关系。在量子计算的数学框架下，详细分析了量子信息论中度量张量和纠错码（Quantum Error-Correcting Codes）的构造，这涉及到有限域上的代数几何。关于算法的代数方法，如使用Gröbner基求解方程组在组合优化中的应用，也提供了前沿的综述。 3. 信息论与编码理论的新视角 超越经典的Shannon理论，本卷关注多用户通信和网络编码（Network Coding）的数学结构。对代数编码理论（如Reed-Solomon码的推广）的讨论，扩展到了有限域上的曲线上的点集结构。信息论部分也涵盖了差分隐私（Differential Privacy）的数学度量，特别是如何量化信息损失与模型鲁棒性之间的权衡。 --- 结语 《数学百科全书：第一增补卷》是一部高度专业化的工具书。它拒绝简化，旨在忠实地呈现二十世纪末至二十一世纪初数学研究的深度与广度。本书的每一条目都经过严格的同行审查，确保了概念定义的精确性、定理陈述的严谨性以及参考文献的权威性。它不仅记录了“已知”，更指明了“未知”的边界。
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