Algebraic Geometry and Arithmetic Curves pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Oxford University Press, USA

作者:Qing Liu

出品人:

页数:600

译者:

出版时间:2006-8-24

价格:USD 85.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780199202492

丛书系列:Oxford Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 代数几何
• 数学
• 算术曲线
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• 其余代数7
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• 数论几何
• 代数数论
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• 代数方程
• Birational Geometry
• Scheme Theory

《代数几何与算术曲线》 这本书深入探索了代数几何与数论这两个深刻而美丽的数学分支的交汇之处，特别是聚焦于算术曲线的丰富理论。我们将踏上一段引人入胜的旅程，揭示几何直觉如何在抽象的数论环境中展现出惊人的力量，反之亦然。 本书的起点是代数几何的基础概念。我们从研究多项式方程组的几何对象——簇（varieties）开始，逐步深入到交换代数的核心工具。这里，环（rings）与模（modules）的结构将成为理解几何对象的语言。我们将考察理想（ideals）与点（points）之间的对应关系，理解闭集（closed sets）与仿射空间（affine space）的拓扑结构。从射影空间（projective space）的构造到齐次坐标（homogeneous coordinates）的运用，我们将学习如何处理无“无穷远点”的代数几何。 本书将重点介绍曲线（curves）的理论，特别是光滑（smooth）和有理（rational）曲线。曲线作为一维代数簇，具有丰富的内在结构和性质。我们将探讨曲线的亏格（genus）这一关键不变量，它深刻地反映了曲线的拓扑复杂性。例如，我们将理解亏格为零的曲线（例如，光滑的有理曲线）在几何上与射影直线（projective line）的深刻联系，以及它们如何可以通过有理函数（rational functions）进行参数化。 本书的核心在于将代数几何的工具应用于数论问题，特别是与算术曲线（arithmetic curves）相关的研究。算术曲线是定义在数域（number fields）上的代数曲线，它们的点集本质上是关于域的代数结构。我们将从最简单的例子——整数上的代数曲线（即，我们通常在实数或复数上研究的曲线，但其方程系数是整数）开始，逐步过渡到更一般的数域上的情况。 数论的核心问题之一是关于丢番图方程（Diophantine equations）的解。许多丢番图方程可以被看作是在算术曲线上寻找有理点（rational points）的问题。本书将深入探讨有理点的分布特性。我们将学习例如点集是否有限，以及如何描述这些点集。 一个关键的工具是函数域（function fields）的理论。对于定义在数域上的代数曲线，我们可以关联一个函数域，其代数结构与曲线的几何结构紧密相连。这个从几何到代数的映射，以及从代数到几何的逆向思维，是理解算术曲线性质的基石。我们将学习如何运用代数函数域的理论来分析算术曲线上的点。 本书还将引入一些更高级的概念，为读者提供更广阔的视野。例如，黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch theorem）的算术版本，它将几何上的线性系统（linear systems）与数论上的代数对象联系起来。此外，我们还将初步接触到雅可比多样体（Jacobian varieties）的概念，它们是算术曲线的伴生代数簇，在其研究中有至关重要的作用。 我们也会探讨一些著名的猜想和定理，例如费马大定理（Fermat's Last Theorem）在某些特殊情况下的证明思路，以及莫德尔猜想（Mordell conjecture）的深刻含义。这些例子将生动地展示代数几何与数论的强大联系。 贯穿全书，我们注重理论的严谨性与应用的灵活性相结合。每一章节都将包含精心设计的例题和练习，帮助读者巩固所学概念，并发展解决实际问题的能力。我们期望读者在完成本书的学习后，能够对代数几何的核心思想有深刻的理解，并能够运用这些思想来分析和解决算术曲线领域的各种问题，为进一步深入研究打下坚实的基础。 这本书的目标读者是具有扎实代数基础（特别是交换代数）以及初步数论知识的研究生和高年级本科生。对于那些对纯粹数学的深刻联系充满好奇，并希望探索几何与数论交叉领域的研究者来说，这本书将是一份宝贵的资源。

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这本书的封面设计相当朴实，带着一股浓厚的学术气息，让人一眼就能看出这是一本面向专业研究人员的严肃著作。我拿起它的时候，首先吸引我的是它在代数几何和数论交叉领域的定位。最近几年，我对解析数论与代数几何的结合非常感兴趣，尤其是在椭圆曲线和模形式的理论框架下，寻找更深层次的几何解释。这本书似乎正是试图弥合这两个领域的鸿沟，用代数几何的语言来重新审视数论中的经典难题。我期待它能深入探讨阿代尔理论（Adelic methods）在曲线上的应用，或者或许是关于韦伊猜想（Weil Conjectures）在特定曲面上的推广。如果它能清晰地阐述如何利用德利涅（Deligne）的成果来理解有限域上的点计数问题，那将是非常宝贵的财富。我特别关注书中是否涵盖了关于范畴论（Category Theory）在现代几何中扮演的角色，以及更高级的概形理论（Scheme Theory）如何被用来构造更具一般性的算术对象。这本书的深度显然不是入门级别能比拟的，它要求读者对基础代数和拓扑有扎实的掌握，才能真正领略其精髓所在。

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作为一位长期关注数论应用的数学爱好者，我最看重的是理论工具能否有效地解决具体的算术问题。这本书是否提供了一种更简洁、更具洞察力的方法来解决某些经典难题，比如费马大定理的某些推广形式，或者更现代的，与L-函数极值有关的问题？我好奇作者是如何处理模空间（Moduli Spaces）的构造，特别是如何利用这些几何对象来编码数论信息。如果书中能提供关于自守形式（Automorphic Forms）与代数簇之间深刻联系的讨论，哪怕只是概念性的概述，也会极大地提升其价值。我希望它不仅仅是理论的堆砌，而是能展示出如何利用这些强大的几何工具来“计算”或至少是“理解”数论中的不变量。我注意到它可能涉及到了Arakelov几何的一些基础概念，这在连接几何与算术之间起到了桥梁的作用。如果能更深入地探讨里奇曲率（Ricci Curvature）在数论几何中的类比意义，那就更完美了。

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这本书的排版和符号系统给我留下了非常深刻的印象。在如此复杂的数学领域中，清晰的符号定义和一致的论证结构是至关重要的。我翻阅了目录和部分章节，发现作者在引入新概念时表现出了极大的耐心，尽管主题本身极其抽象。例如，在处理局部完备域上的代数结构时，符号的切换和上下文的保持显得尤为重要，这本书在这方面做得相当出色。我注意到它大量使用了高阶概形理论中的术语，这表明它并非简单地重复传统代数数论的叙事，而是试图用更现代、更抽象的工具去重构整个理论体系。对于那些习惯了经典代数几何语言的读者来说，这本书可能需要一个适应期，但一旦适应了这种“新语境”，你会发现其论证的严密性和逻辑的流畅性令人叹服。我尤其欣赏它在证明过程中的图形化提示，即使是在纯代数的语境下，也能感受到几何直觉的指引。

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从图书馆里借阅这本书的感受来看，它的装帧和纸张质量都反映了其严肃的学术地位，但更重要的是，它代表了一种思维方式的转变。它要求我们从一个纯粹的算术或分析的视角，跳脱出来，用更加整体和结构化的几何观点去审视问题。我特别期待书中对“局部到全局”原则在算术几何中的体现。例如，如何通过对每个素数 $p$ 上的约化（Reduction modulo $p$）来重建整体的算术信息，这其中一定蕴含着深刻的几何直觉。我希望能看到关于Galois表示（Galois Representations）如何通过几何对象（如椭圆曲线或Fermat-Taniyama-Shimura 猜想的几何版本）被具象化。这本书似乎在暗示，许多数论的“猜想”最终都将归结为某些几何对象的“存在性”或“完备性”问题。它不仅仅是一本教科书，更像是一份对现代数学前沿探索的宣言，邀请读者一同进入这个由结构和公理构筑的宏伟殿堂。

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这本书的结构组织方式非常考验读者的心智耐力。它不是那种可以轻松翻阅，挑选感兴趣的章节来读的读物。每一个章节似乎都建立在前一个章节的基础之上，形成了一个密不透风的逻辑链条。这对于想要系统性学习的读者来说是优点，但对于只想回顾特定技巧的读者来说，可能会感到有些繁琐。我注意到它对“算术曲面”（Arithmetic Surfaces）的探讨似乎是全书的核心之一，它试图将代数簇的概念推广到包含“无穷远”信息的对象上。这种推广无疑需要非常精密的语言和严谨的论证。我个人更偏爱那些能够提供清晰的“路线图”来引导读者穿越迷宫般证明的著作，而这本书似乎更像是直接把读者置于迷宫中央，鼓励他们自己去探索。这要求读者必须保持高度的专注，任何一个疏忽都可能导致对后续内容的理解完全脱节。

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某次讨论班讲过，但是没讲曲线部分。习题不错。

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