Elliptic Curves pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:McKean, Henry P./ Moll, Victor

出品人:

页数:298

译者:

出版时间:1999-8

价格:$ 56.50

装帧:Pap

isbn号码:9780521658171

丛书系列:

图书标签:

计算机科学
数学
Mathematics
Elliptic Curves
Number Theory
Algebraic Geometry
Cryptography
Arithmetic Geometry
Modular Forms
Diophantine Equations
Coding Theory
Algebra
Mathematics

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具体描述

The subject of elliptic curves is one of the jewels of nineteenth-century mathematics, whose masters were Abel, Gauss, Jacobi, and Legendre. This book presents an introductory account of the subject in the style of the original discoverers, with references to and comments about more recent and modern developments. It combines three of the fundamental themes of mathematics: complex function theory, geometry, and arithmetic. After an informal preparatory chapter, the book follows a historical path, beginning with the work of Abel and Gauss on elliptic integrals and elliptic functions. This is followed by chapters on theta functions, modular groups and modular functions, the quintic, the imaginary quadratic field, and on elliptic curves. The many exercises with hints scattered throughout the text give the reader a glimpse of further developments. Requiring only a first acquaintance with complex function theory, this book is an ideal introduction to the subject for graduate students and researchers in mathematics and physics.

弯曲的轨迹：现代代数几何的深度探索图书名称：现代代数几何基础图书简介：本书旨在为读者构建一座坚实的桥梁，跨越代数拓扑与经典代数几何之间的鸿沟，深入剖析现代代数几何的基石理论与核心概念。我们聚焦于由 Grothendieck 及其追随者所开创的范式转变，它彻底重塑了我们对几何对象的理解，将其从传统的复流形或代数簇的框架中解放出来，提升到了一个更具抽象性和普适性的层面——概形（Schemes）的语言。全书的叙事逻辑是循序渐进、环环相扣的。我们不会直接跳入复杂的理论构建，而是首先从一个扎实的代数基础出发，回顾和深化读者对交换代数的理解，特别是环、理想、素理想的概念。这些看似纯粹的代数结构，在本书中被赋予了深刻的几何意义。我们详细阐述了局部化（Localization）的构造及其在构造“局部视图”中的关键作用，这是理解概形理论的第一个关键步骤。随后，本书的核心部分将围绕预层（Presheaves）和层（Sheaves）的理论展开。我们将清晰地定义什么是对一个拓扑空间（或更一般地，一个预拓扑空间）的“数据附着”的自然方式。层论不仅仅是一种工具，它本身就是一种表达局部信息如何一致地组合成全局结构的语言。我们花费大量篇幅解释射影极限和逆极限在层理论中的应用，以及如何通过上同调（Cohomology）理论来度量“全局”与“局部”之间的差异。通过对相干层（Coherent Sheaves）的细致讨论，读者将掌握分析几何对象复杂性的标准方法。进入本书的第二大部分，我们将实现理论的飞跃，正式引入概形（Scheme）的概念。概形的定义是代数几何的中心支柱，它通过将环的谱（Spectrum of a Ring）与特定的层结构相结合，成功地将代数方程的解集（古典几何）推广到了更广阔的、由任意交换环定义的“空间”。我们详细讨论了素理想谱 $ ext{Spec}(R)$ 的拓扑结构，包括其Zariski 拓扑的特性，并解释了如何构造结构层 $mathcal{O}_{ ext{Spec}(R)}$。本书对概形理论的阐述遵循了现代代数几何的严格标准，包括对仿射概形和概形之间的态射（Morphisms）的完整介绍。我们清晰区分了结构态射和态射的局部性质，例如局部同构、浸入（Immersion）和覆叠（Covering）。读者将学会如何从环同态的角度理解几何形变和映射。为了使理论更具操作性，本书深入探讨了预层和层上同调在概形理论中的核心地位。我们引入了导出函子的概念，并聚焦于导出张量积和右导出函子 $ ext{R}^i f_$ 的计算。通过这些工具，我们系统地分析了相干层上同调的性质，这对于研究代数簇的几何性质至关重要。本书特别强调了完备性理论在现代几何中的作用。我们详细考察了完备化（Completion）的过程，这在处理奇点问题和局部分析时不可或缺。通过介绍形式概形和形式幂级数环的概念，我们为读者提供了分析代数对象在“邻域”内行为的有力工具。最后，本书将目光投向了代数几何的两个重要分支：射影几何和模空间理论的开端。我们构建了射影空间 $mathbb{P}^n$ 的概形结构，并讨论了拟线性（Quasi-linear）结构和分次环（Graded Rings）与射影簇之间的对偶关系。对于模空间理论，我们初步探讨了如何通过簇族的概念来参数化几何对象（如曲线或向量丛），为读者后续深入研究高阶不变量理论奠定必要的概念基础。本书的难度适中，要求读者具备扎实的抽象代数基础（群论、环论、域论），并对基本的拓扑概念有所了解。每章末均附有精心设计的习题，旨在巩固理论理解并引导读者进行深入思考。本书不仅是一本教材，更是一份深入现代代数几何核心思想的地图，适用于高年级本科生、研究生以及希望系统回顾该领域基础的数学研究人员。它旨在培养读者用代数语言精确描述几何问题的能力，是通往更高级主题，如代数K理论、算术几何或奇点理论的必经之路。