具体描述
《高级微积分：理论与应用》 作者： 约翰·哈丁，玛丽亚·桑切斯 出版社： 环球学术出版社 出版日期： 2024年秋季 --- 内容概要 《高级微积分：理论与应用》是一部旨在为数学、物理、工程及相关量化科学领域的学生和研究人员提供深入、严谨的微积分理论基础和广泛应用方法的综合性专著。本书超越了传统微积分课程的范畴，聚焦于实分析、多变量微积分的高级主题，并结合现代数学的视角，为读者构建起一座从基础概念到前沿研究的坚实桥梁。全书结构清晰，内容涵盖了从 $mathbb{R}^n$ 空间中的拓扑性质到微分形式的黎曼几何基础，辅以大量的实例和具有挑战性的习题，旨在培养读者严谨的数学思维和解决复杂问题的能力。 第一部分：实分析基础与拓扑结构 本部分为后续高级主题奠定严格的分析基础。我们首先回顾并深入探讨了实数系统（$mathbb{R}$）的完备性、序列的收敛性、连续函数的均匀收敛性，并引入了勒贝格积分的基本概念，为更广泛的积分理论做铺垫。 第1章：度量空间与拓扑基础 本书从度量空间（Metric Spaces）的概念出发，这是理解函数空间和收敛性的关键。我们将详细讨论拓扑空间的定义、开集、闭集、紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）在度量空间中的表现。特别关注了完备度量空间（Complete Metric Spaces）和巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）在求解微分方程中的应用。本章的难点在于区分点收敛、一致收敛以及在不同拓扑结构下的收敛性差异。 第2章：函数空间与等度连续性 本章深入研究函数空间，特别是连续函数空间 $C[a, b]$。我们引入了 Arzela-Ascoli 定理，这是证明函数序列存在一致收敛子序列的强大工具，对于泛函分析中的许多证明至关重要。通过对等度连续性（Equicontinuity）的细致剖析，读者将能够更深刻地理解函数序列的“平滑性”如何保证其极限函数的性质。 第3章：勒贝格积分初步 为了超越黎曼积分的局限性，本章系统地介绍了勒贝格测度（Lebesgue Measure）和勒贝格积分的构建过程。我们将区分可测函数（Measurable Functions）与普通函数，并证明诸如单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）和支配收敛定理（Dominated Convergence Theorem）等核心结果。这些定理是处理广义函数和概率论中随机变量积分的基础。 第二部分：多元微积分的严谨处理 本部分着重于将单变量微积分的强大工具推广到高维空间，并使用现代微分学的语言进行重构。 第4章：微分学在 $mathbb{R}^n$ 中的拓展 从 $mathbb{R}^n$ 上的泛函（Scalar Fields）开始，我们严格定义了偏导数、方向导数和全微分（Total Derivative）。本书强调了链式法则在高维空间中的精确表达，并引入了雅可比矩阵（Jacobian Matrix）作为线性近似的完美工具。重要的概念包括可微函数（Differentiable Functions）与连续可微函数（Continuously Differentiable Functions）的区别。 第5章：多重积分与变量变换 本章探讨了在 $mathbb{R}^n$ 上的黎曼积分，即多重积分。我们将重点研究积分的累次计算，并详细论证了在进行变量替换（如坐标系变换）时，雅可比行列式（Jacobian Determinant）所扮演的角色。从笛卡尔坐标系到柱坐标系、球坐标系的变换将被详尽分析，同时会涉及对积分次序交换（Fubini's Theorem）的严格条件讨论。 第6章：向量场与线积分/面积分 本部分转向向量微积分，定义了向量场（Vector Fields）及其在曲线（线积分）和曲面（面积分）上的积分。我们深入探讨了保守场（Conservative Fields）的概念，以及它们与势函数（Potential Functions）之间的关系。本章为后续的格林、斯托克斯和高斯定理做好了充分的分析准备。 第三部分：高级微积分的核心：微分形式与积分定理 这是本书最核心和最具挑战性的部分，它采用微分几何的语言来统一和深化所有积分定理。 第7章：微分形式与外代数 本章引入了微分形式（Differential Forms）的概念，这是连接分析、拓扑和几何的桥梁。我们将从 0-形式（函数）开始，逐步构建 1-形式（线积分的被积函数）和 2-形式（面积分的被积函数）。外积（Exterior Product）的定义和性质将被详细阐述，特别是它如何编码了“叉积”和“曲率”的概念。 第8章：外微分算子与推广的斯托克斯定理 外微分（Exterior Differentiation）算子 $d$ 是本章的核心。我们将证明 $d^2 = 0$，这一简洁的代数性质蕴含了保守场（$ ext{curl}( ext{grad} f) = 0$）和无旋场（$ ext{div}( ext{curl} mathbf{F}) = 0$）的深刻内在联系。最终，我们将系统地推导和证明广义斯托克斯定理（The Generalized Stokes' Theorem），该定理将格林定理、线积分形式的斯托克斯定理和散度定理统一在一个优雅的框架下。 第9章：积分流形与拓扑应用 最后，本章将高级微积分的概念提升到更抽象的流形（Manifolds）上。我们将探讨积分在曲面上如何自然推广，并简要介绍de Rham上同调（de Rham Cohomology）的初步思想，展示了微积分如何成为拓扑学研究的有力工具。 适用对象 本书适合已完成标准微积分I和微积分II课程（包括极限、导数、不定积分和定积分）的大学三年级及以上学生。它特别推荐给数学专业学生作为实分析或高级微积分课程的教材，同时也为物理学和工程学研究生在处理复杂场论、流体力学和电磁学问题时提供必要的数学严谨性。 本书特色 1. 分析的严格性： 每一个定理的证明都力求完整且逻辑严密，强调数学推理的精确性。 2. 几何直觉的培养： 尽管理论严谨，但始终穿插着几何解释，特别是微分形式部分，帮助读者建立高维空间的直观理解。 3. 丰富的应用实例： 许多抽象概念（如流、通量、曲率）都配有具体的物理或几何模型支撑。 4. 深度习题集： 每章末尾包含大量的概念检验题和证明题，难度梯度设计合理，有助于巩固学习。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 book.wenda123.org All Rights Reserved. 图书目录大全 版权所有