Student Study Guide with Solutions for "Vector Calculus" pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:W H Freeman & Co

作者:Pao, Karen/ Soon, Frederick/ Marsden, Jerrold E./ Tromba, Anthony J.

出品人:

页数:174

译者:

出版时间:2003-8

价格:$ 51.98

装帧:Pap

isbn号码:9780716705284

丛书系列:

图书标签:

• Vector Calculus
• Calculus
• Study Guide
• Solutions Manual
• Mathematics
• Engineering
• Physics
• College
• Textbook
• Higher Education

探索向量演算的奇妙世界 本书旨在引领读者深入探索向量演算的核心概念和应用。我们将从最基础的向量代数入手，逐步构建起对多变量函数、梯度、散度和旋度的深刻理解。无论您是初次接触这一领域，还是希望巩固和拓展现有知识，本书都将是您可靠的学习伴侣。 第一部分：向量代数与空间几何 我们将从二维和三维空间中的基本概念开始。读者将学习如何定义向量、进行向量的加减法、标量乘法，以及理解点积和叉积的几何意义和代数计算。这些基础操作是理解后续更复杂概念的基石。 向量的定义与表示：我们将详细介绍向量在不同坐标系下的表示方法，以及向量的模长和方向。 向量运算：深入讲解向量的线性运算，并通过丰富的例子展示其在几何上的应用，例如求两点间的距离、判断向量的共线性和平行性。 点积（内积）：理解点积不仅是两个向量的数值运算，更蕴含着向量间的夹角信息。我们将探讨点积在计算投影、判断向量正交性等方面的作用。 叉积（外积）：重点讲解叉积的定义、计算以及其几何意义——一个与两个原始向量都垂直的向量，其模长等于由这两个向量构成的平行四边形的面积。我们将展示叉积在判断向量的共面性、求解法向量等问题中的应用。 空间直线与平面：利用向量工具，我们将学习如何描述空间中的直线方程（点向式、参数方程、对称式）和平面方程（点法式、一般式）。重点在于理解法向量在平面方程中的核心作用，并掌握求解两条直线、直线与平面、两个平面之间夹角以及交点等问题的方法。 曲面方程：介绍常见曲面（如球面、椭球面、柱面、锥面）的向量方程和笛卡尔方程，为后续学习多元函数的可视化打下基础。 第二部分：多元函数与微分 本部分将视角从低维空间扩展到高维空间，深入研究多元函数的性质及其微分学。 多元函数的概念：定义多元函数，探讨其定义域、值域，并介绍如何通过等值面或等高线来理解其几何形态。 多元函数的极限与连续：理解多元函数在某一点的极限存在性是一个比单变量函数更复杂的问题，我们将探讨多种路径趋近法来判断极限是否存在。连续性的概念也将在多元函数框架下得到推广。 方向导数与梯度：这是向量演算中的一个关键概念。我们将详细解释方向导数如何衡量函数在特定方向上的变化率，以及梯度向量作为指向函数增长最快方向的向量，在优化问题和物理场分析中的重要性。 多元函数的偏导数：介绍偏导数的定义，以及其在描述函数沿坐标轴方向变化率时的作用。偏导数是计算梯度和进行链式法则的基础。 链式法则：推广单变量函数链式法则，讲解复合多元函数求导的规则，无论中间变量是一元还是多元，本书都将提供清晰的推导和应用示例。 高阶偏导数与泰勒公式：探讨二阶及更高阶偏导数，并介绍多元函数的泰勒展开式，它为函数在某点附近的近似提供了强大的工具，对于数值计算和理论分析都至关重要。 多元函数的极值与最优化：我们将学习如何利用偏导数找到函数的局部极值点，并通过海森矩阵（Hessian Matrix）的性质来判断极值的类型（极大值、极小值或鞍点）。此外，还将介绍拉格朗日乘子法，用于求解带有约束条件的优化问题。 第三部分：向量场与积分 本部分将进一步深化对向量场的理解，并引入向量微积分中的积分概念。 向量场：定义向量场，并解释其在物理学中广泛的应用，例如速度场、力场、电场和磁场等。我们将学习如何描述和可视化向量场。 散度（Divergence）：理解散度是衡量向量场在某一点向外“散发”的程度。我们将深入探讨其物理意义，例如描述流体的源汇情况，以及其在散度定理中的作用。 旋度（Curl）：介绍旋度，它衡量向量场在某一点的“旋转”或“涡旋”程度。我们将学习其计算方法，并理解其在流体力学和电磁学中的应用，例如描述流体的涡量。 线积分：介绍两种类型的线积分：标量函数沿曲线的积分和向量场沿曲线的积分。我们将探讨线积分在计算曲线长度、质量、功等方面的应用。 保守向量场与势函数：重点讲解保守向量场的概念，以及势函数在简化保守向量场线积分计算中的作用。我们将学习如何判断一个向量场是否为保守向量场，并求解其势函数。 面积分：介绍两种类型的面积分：标量函数在曲面上的积分和向量场穿过曲面的积分（流量）。我们将探讨面积分在计算曲面质量、曲面流量等方面的应用。 Green定理：这是一个联系平面区域上的二重积分与区域边界上的线积分的重要定理。我们将详细阐述Green定理的内容，并提供多种应用示例，例如计算面积或判断保守向量场。 Stokes定理：推广Green定理到三维空间，联系曲面上的第二类曲面积分与曲面边界上的线积分。我们将深入理解Stokes定理的几何意义，并应用于解决复杂的物理问题。 Gauss（散度）定理：这是一个联系空间区域上的三重积分与区域边界（闭合曲面）上的第二类曲面积分（流量）的重要定理。我们将详细讲解Gauss定理，并展示其在求解通量、体密度积分等问题中的威力。 通过对以上各部分的系统学习，读者将能够熟练运用向量演算的工具来分析和解决物理、工程、计算机图形学等领域中的各类问题，为进一步深入学习相关学科打下坚实的基础。

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