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出版者:Springer

作者:László Lovász

出品人:

页数:284

译者:

出版时间:2003-1-27

价格:USD 49.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387955858

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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《线性代数基础与应用》 图书简介 作者： [此处填写作者姓名，例如：张伟，李明] 出版社： [此处填写出版社名称，例如：科学出版社] 版次： 第一版 定价： [此处填写定价，例如：88.00元] --- 本书特色与定位 《线性代数基础与应用》是一本面向大学本科生，特别是理工科、计算机科学、经济管理等专业学生精心编写的线性代数教材。本书旨在系统、深入地阐述线性代数的核心理论，并着重展示其在现代科学与工程领域的广泛应用。我们力求在保证数学严谨性的同时，兼顾概念的直观性和计算的可操作性，帮助读者建立扎实的数学基础，培养运用线性代数工具解决实际问题的能力。 本书的结构设计遵循由浅入深、理论与应用紧密结合的原则。我们没有将篇幅集中于离散数学领域（如集合论、图论、数理逻辑等）的任何一个分支，而是完全聚焦于向量空间、矩阵理论、线性变换以及特征值分解等核心线性代数主题。 --- 内容详述 本书共分为十章，每章内容环环相扣，逻辑清晰： 第一章：基础回顾与数域 本章首先对初等代数中的矩阵运算进行必要的复习和拓展，为后续的向量空间理论打下计算基础。重点讨论了数域的概念，特别是实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的性质，以及域的完备性在构造理论中的重要性。本章不涉及任何关于逻辑推理、集合的基数或命题演算的内容。我们专注于矩阵的加法、乘法、转置、行列式的基础计算方法。 第二章：矩阵的初等变换与秩 本章的核心是高斯消元法和行阶梯形矩阵的构造。详细阐述了初等行变换的性质及其对矩阵的影响。引入矩阵的秩（Rank）的概念，并证明了秩的各种等价定义，包括行秩等于列秩的经典定理。本章的重点完全停留在矩阵的结构分析上，未触及图论中的连通性或组合优化问题。 第三章：线性方程组的解法 基于第二章的工具，本章系统地研究了线性方程组 $Ax=b$ 的解的存在性和解的结构。详细介绍了如何利用增广矩阵求出所有解，包括齐次方程组的零空间（Null Space）的构造。讨论了克拉默法则（Cramer's Rule）的适用范围和局限性，但不会深入到离散的计数原理。 第四章：向量空间的概念 这是本书理论体系的基石。本章严格定义了向量空间、子空间、线性组合、线性相关与线性无关。通过大量的例子（如多项式空间、函数空间），帮助读者理解抽象向量空间的本质。特别强调了基（Basis）和维数（Dimension）的概念及其唯一性。 第五章：线性变换 本章将抽象的向量空间结构与具体的矩阵运算联系起来。定义了线性变换（Linear Transformation），并证明了其与矩阵之间的一一对应关系。讨论了核空间（Kernel）和像空间（Image）的性质，以及秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）。本章专注于变换的几何意义，如投影、伸缩和旋转，而非离散结构上的映射关系。 第六章：行列式进阶理论 虽然第一章介绍了行列式的计算，本章则从代数结构上深入探讨行列式。使用李代数的观点（尽管不直接引入李代数概念）讨论行列式的多线性、反对称性质，并严格证明 $det(AB) = det(A)det(B)$。本章聚焦于行列式的代数性质，不涉及组合学中对排列的计数。 第七章：内积空间 本章将线性代数提升到度量空间的高度。定义了内积（Inner Product），并基于内积引入长度、角度和正交性（Orthogonality）。重点讲解了施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，以及正交基在简化计算中的威力。本章是傅里叶分析和优化方法的基础。 第八章：对角化与特征值 本章是应用的核心。详细定义了特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector）。系统讲解了矩阵可对角化的充要条件。通过求解特征方程，读者将学会如何利用对角化简化高次幂矩阵的计算，这是求解线性递推关系（如斐波那契数列的矩阵形式解法）的关键步骤。 第九章：对称矩阵与谱定理 本章专门研究最重要的矩阵类型——对称矩阵。证明了对称矩阵的特征值都是实数，并且存在一组正交特征向量。详细阐述了谱定理（Spectral Theorem）及其在二次型（Quadratic Forms）和主成分分析（PCA）中的应用。本章完全基于实数域的几何直观。 第十章：矩阵的规范形与应用选讲 本章介绍更高级的主题，包括Jordan标准型（Jordan Canonical Form）的构造，特别是在矩阵不可对角化的情况下的处理方法。在应用部分，我们将集中于： 1. 微分方程组的解法： 如何利用特征值方法求解常系数线性微分方程组。 2. 线性最小二乘法： 在超定系统（方程数多于未知数）中寻找最佳近似解的几何意义和计算方法。 3. 奇异值分解（SVD）： 作为矩阵分解的终极工具，展示其在数据压缩和推荐系统中的初步应用框架（侧重于矩阵分解的代数结构，而非数据挖掘的算法细节）。 --- 适用对象 学习微积分、概率统计等后续课程的理工科学生。 需要深入理解数据结构、机器学习算法底层数学原理的计算机科学学生。 需要掌握矩阵分析工具的经济学、金融学研究生。 本书的深度和广度经过精心平衡，确保学生在掌握严谨数学推导的同时，能够迅速将知识转化为解决实际问题的能力。本书不包含任何关于图论、布尔代数、逻辑推理或组合构造的章节或内容。

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在学习离散数学的过程中，我遇到的最大挑战之一是理解抽象的逻辑推理和证明过程。然而，这本书在这方面做得非常出色。作者不仅详细解释了命题逻辑、谓词逻辑等基础知识，还提供了大量不同类型的证明方法，如直接证明、反证法、数学归纳法等，并且针对每种方法都给出了具体的示例。我最喜欢的是作者在讲解数学归纳法时，循序渐进地引导读者理解“基础情况”和“归纳步骤”的关键作用，并用多个实际问题来验证其有效性。通过书中提供的详细证明步骤，我能够清晰地看到每一步推理是如何建立在已有知识和公理之上的，这极大地加深了我对数学严谨性的认识。对于一些比较复杂的证明，作者还采用了“提示”和“总结”的方式，帮助读者梳理思路，避免迷失在细节中。这本书就像一位经验丰富的数学导师，能够耐心地指导我一步步攻克难关，让我对逻辑思维和数学证明不再感到恐惧，而是充满了探索的乐趣。

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这本书的装帧设计就给我留下了深刻的印象，厚重而又不失质感，封面简洁大气，没有多余的花哨元素，传递出一种严谨、专业的学术氛围。翻开书页，纸张的触感温润，油墨的印刷清晰锐利，即使是密集的公式和图表，也毫不费力地呈现在眼前，这一点对于需要长时间阅读和演算的读者来说，是至关重要的。在开始深入学习内容之前，仅仅是它的实体呈现，就足以让我对接下来即将探索的数学世界充满期待。它不仅仅是一本工具书，更像是一件值得珍藏的艺术品，摆放在书架上，本身就是一种美的享受。我特别欣赏它的排版，行间距适中，段落划分清晰，即使是在处理复杂的逻辑推理时，也能保持阅读的顺畅性，不会因为视觉上的拥挤而感到疲惫。封底的介绍也非常吸引人，它简洁地勾画出了本书的核心主题，并暗示了它在计算机科学、信息论等多个领域的重要性，这让我更加确信这是一本能够为我带来知识和启发的佳作。这本书的物理形态，在当下这个电子阅读泛滥的时代，显得尤为可贵，它提供了一种更沉浸、更纯粹的学习体验，让我能够暂时远离屏幕的干扰，全身心地投入到数学的思考之中。

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从内容的可读性上来说，这本书无疑是优秀的。作者在处理各种数学概念时，始终保持着清晰的思路和流畅的语言。即使是对于一些初学者可能会觉得难以理解的抽象概念，例如群论或抽象代数中的某些基本结构，作者也能够通过引入类比和简化模型，帮助读者建立起初步的认知。我特别欣赏作者在引入新概念时，总是会先从一个简单易懂的例子开始，然后再逐步推广到更普遍的情况。这种“由具体到抽象”的教学方法，极大地降低了学习的门槛。此外，书中对图示的运用也恰到好处，很多抽象的数学关系都通过直观的图形展示出来，这对于视觉型学习者来说是极大的福音。例如，在讲解关系和函数时，作者使用了大量箭头图和表格，使得理解这些概念的性质变得更加容易。这本书的行文风格，更像是一位耐心的老师在课堂上讲解，而非冷冰冰的教科书，这让我乐在其中。

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这本书的参考价值非常高，对于我后续更深入的学习起到了奠基作用。在完成对离散数学基础知识的掌握后，我发现这本书为我打开了通往更广阔数学领域的大门。例如，书中对数理逻辑的深入探讨，为我理解形式化方法和计算理论打下了基础；对组合数学的详尽介绍，也为我进一步学习概率论和统计学提供了重要的工具。更重要的是，这本书培养了我独立思考和解决问题的能力。在学习过程中，我不仅仅是被动地接受知识，而是主动地去理解、去消化、去应用，并在解决习题的过程中不断挑战自我。即使在读完这本书后，我仍然会时不时地翻阅其中的某些章节，回顾其中的核心概念和证明方法，从中汲取灵感。这本书已经成为我书架上不可或缺的参考书，无论是在学习还是在工作中，都给我带来了宝贵的帮助。

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这本书的内容深度和广度都令我惊喜。作者在讲解离散数学的各个分支时，不仅详细阐述了基本概念和理论，还穿插了大量的实际应用案例，这使得原本可能枯燥抽象的数学知识变得生动有趣，也让我明白了这些理论在现实世界中的价值。我尤其喜欢作者对图论部分的论述，从基础的图的定义、遍历到更复杂的匹配、染色问题，都进行了条理清晰的讲解，并且配以大量直观的图示，使得理解过程异常顺畅。此外，组合数学的部分也让我受益匪浅，作者通过多种计数原理和生成函数方法，解决了许多看似棘手的问题，这些方法论在我未来的学习和研究中定能大显身手。让我印象深刻的是，书中对于证明的组织方式，清晰地展示了推理的每一步，逻辑严密，层层递进，这对于培养我的数学思维能力非常有帮助。作者并没有仅仅停留在知识的罗列，而是注重引导读者去思考，去探索，去发现数学的美妙之处。在阅读过程中，我常常会停下来，尝试着自己去推导公式，去解决习题，这种主动学习的模式，极大地提升了我的学习效率和对知识的掌握程度。

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这本书的内在逻辑和章节安排都经过了精心设计，使得学习过程更加连贯和高效。作者在编写时，充分考虑了读者的学习曲线，将由浅入深、由易到难的原则贯穿始终。例如，在引入一些比较复杂的概念之前，总是会先铺垫好必要的预备知识，确保读者能够理解其前因后果。章节之间的过渡自然流畅，不会出现突兀的感觉，每一章都建立在前一章的基础上，逐步拓展知识的广度和深度。我尤其欣赏作者对每一章内容的组织方式，通常会先概述本章的学习目标，然后逐一展开讲解，最后以总结和思考题结束，这种结构化的学习方式，极大地提升了我的学习效率和对知识的整体把握能力。这本书并非仅仅是一堆数学公式的集合，而是一个精心构建的知识体系，引导读者逐步深入离散数学的殿堂。

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这本书的写作风格非常适合初学者，但同时又不失专业性。作者善于将复杂的数学概念分解为易于理解的部分，并通过生动形象的比喻和例子来帮助读者建立直观的认识。例如，在讲解集合论时，作者引入了生活中的各种实例，如班级里的学生、花园里的花朵等，让抽象的集合操作变得 relatable。对于初学者来说，离散数学可能会因为其严谨的逻辑和抽象的符号而感到畏惧，但这本书恰恰能够有效地克服这种障碍。作者的语言简洁明了，避免了过于晦涩的术语，即使是接触离散数学不久的学生，也能在阅读中找到自信。同时，对于有一定基础的读者，书中也提供了足够的深度和广度，足以满足更进一步的学习需求。我特别欣赏作者在解释递归和归纳法时所使用的清晰的逻辑流程，这对于构建扎实的数学基础至关重要。总而言之，这本书在易读性和学术严谨性之间找到了一个完美的平衡点，是一个极佳的学习伴侣。

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这本书最让我印象深刻的一点是它在算法分析和计算复杂度理论方面的深入探讨。在计算机科学领域，理解算法的效率和性能至关重要，而离散数学正是理解这些概念的基石。本书从图算法的遍历（如BFS和DFS）到动态规划和贪心算法，都进行了详尽的介绍，并结合了大O符号等复杂度分析工具，让我能够清晰地理解不同算法在时间和空间上的表现。作者不仅给出了算法的伪代码，还详细分析了它们的正确性和复杂度，这对于我进行程序设计和优化非常有指导意义。我特别喜欢书中关于图算法部分，例如最短路径算法（Dijkstra、Floyd-Warshall）和最小生成树算法（Prim、Kruskal）的讲解，清晰地展示了如何运用离散数学的思想解决实际的工程问题。书中还涉及了NP完全性等高级概念，为我进一步探索计算理论打开了大门。可以说，这本书为我理解计算机科学的核心概念提供了坚实的数学基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题部分是其一大亮点。习题的设置非常多样化，既有基础概念的巩固练习，也有需要综合运用多个知识点才能解决的难题。每章末的习题都与本章内容紧密相关，并且难度递增，这使得读者在掌握基本概念后，能够通过练习来加深理解和应用。更重要的是，书中的一些习题非常有启发性，它们不仅测试了我的计算能力，更锻炼了我的逻辑思维和解决问题的能力。我经常会在做完一个章节的理论学习后，花费大量时间在习题上，因为我发现通过解答这些问题，我才能真正将抽象的数学概念内化为自己的知识。对于一些困难的题目，书中提供的解答也并非简单的答案，而是包含了详细的解题思路和步骤，这让我能够从错误中学习，找到更好的解决方法。这种高质量的习题设计，极大地提升了这本书的学习价值，让我觉得物超所值。

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这本书在数学建模和离散结构的应用方面，给我带来了很多启发。在学习过程中，我发现离散数学并不仅仅是理论的堆砌，它更是解决许多实际问题的有力工具。例如，在学习图论时，我看到了它在网络分析、交通规划、社交网络结构分析等领域的广泛应用。作者通过详细的案例分析，展示了如何将现实世界的问题抽象成离散数学模型，并运用相应的算法来求解。这让我深刻地认识到，掌握离散数学的知识，不仅能够提升我的数学素养，更能够增强我的问题解决能力。尤其是在我进行一些项目研究时，本书中提供的模型和方法论，都为我提供了重要的思路和参考。这本书让我看到了数学的实用性，不再仅仅停留在纸面上的推导，而是能够与现实世界紧密地联系起来。

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写的不错，难度稍低

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写的不错，难度稍低

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還是很有意思的一門課！老師也好萌的！！！

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易懂

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