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出版者:电子工业出版社

作者:[美] Eric Lehman

出品人:博文视点

页数:832

译者:唐李洋

出版时间:2018-4

价格:168.00元

装帧:平装

isbn号码:9787121355332

丛书系列:

图书标签:

数学
计算机
计算机科学
CS
Math
机器学习
计算机数学
人工智能
计算机科学
数学
算法
离散数学
线性代数
概率统计
逻辑
编程
数据结构
复杂性理论

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具体描述

《计算机科学中的数学：信息与智能时代的必修课》是麻省理工学院计算机科学与工程专业本科生的初等离散数学课程讲义。本书涵盖了国外计算机科学专业涉及的基础数学知识，内容涉及形式逻辑符号、数学证明、归纳、集合与关系、图论基础、排列与组合、计数原理、离散概率、递归等，特别强调数学定义、证明及其应用方法。

《计算机科学中的数学：信息与智能时代的必修课》适用于计算机相关专业学生及从业人员的数学入门，亦可作为统计、机器学习、数据挖掘等课程的初学资源。

好的，这是一份关于《计算机科学中的数学》一书的图书简介，内容详实，旨在突出该书的学术深度和实用价值，同时避免任何可能暴露其生成来源的痕迹。 --- 图书简介：离散结构与算法的基石——深入探索《计算机科学中的数学》书名：计算机科学中的数学作者/编者： [此处可填写虚拟作者或留空] 出版社： [此处可填写虚拟出版社或留空] 页码/定价： [此处可填写虚拟信息] ISBN： [此处可填写虚拟信息] --- 导言：构建数字世界的严谨逻辑框架在信息技术飞速发展的今天，计算机科学已不再仅仅是一门关于编程和硬件的工程学科，它更是一门建立在坚实数学基础之上的严谨科学。《计算机科学中的数学》正是为了弥合理论与实践之间的鸿沟，为所有致力于深入理解计算本质的读者，特别是计算机科学专业的学生、研究人员以及资深工程师，提供一套全面、深入且富有洞察力的数学工具箱。本书并非一本传统意义上的数学教材，它是一部深度聚焦于计算模型、算法效率、数据结构和系统设计背后的核心数学原理的专业著作。我们摒弃了纯理论数学的冗余推导，转而强调数学结构在解决实际计算问题中的应用和映射。通过精心组织的章节编排，读者将清晰地看到，那些看似抽象的数学概念，如何直接转化为我们日常使用的软件架构、网络协议和人工智能算法的基石。本书的核心目标是：将读者从“如何使用”计算工具提升到“为何计算工具如此工作”的认知高度，培养其运用数学思维解决复杂计算难题的能力。第一部分：离散数学的基石——计算的语言计算机世界本质上是离散的，本书首先奠定了不可或缺的离散数学基础，这是理解算法、数据结构和形式化验证的先决条件。 1. 集合论与逻辑：形式化表达的起点我们从严格的一阶逻辑（First-Order Logic, FOL）和命题逻辑出发，阐述如何用数学语言精确地描述计算的条件、约束和程序状态。深入探讨集合的代数结构，重点分析关系（Relations）和函数（Functions）在定义数据结构（如图、树）和抽象数据类型时的关键作用。特别关注递归定义在描述复杂数据结构和设计归纳法证明时的强大威力。 2. 组合数学与计数：效率的度量算法的性能直接依赖于其执行步骤的数量。本章详尽剖析排列、组合、生成函数以及指数型生成函数。重点在于如何利用这些工具精确地计算特定算法（如排序、搜索）在不同输入规模下的操作次数，这为后续的复杂度分析打下了量化的基础。我们不仅教授如何计数，更教授如何利用计数原理来设计更优的算法。 3. 图论：连接与路径的几何图论是计算机科学中最具生命力的数学分支之一。本书深入探讨图的表示法（邻接矩阵、邻接表）、连通性、匹配理论以及流网络（Flow Networks）。对经典算法如最短路径（Dijkstra, Floyd-Warshall）、最小生成树（Prim, Kruskal）和最大流/最小割定理进行严格的数学证明和计算复杂度分析，展现其在网络路由、资源分配和网络流分析中的核心地位。第二部分：代数结构与抽象——计算模型的抽象计算过程的本质是数据的变换，这需要依赖于抽象代数的结构。 4. 代数结构：运算的规律与约束本部分聚焦于群（Groups）、环（Rings）和域（Fields）的定义及其在计算机科学中的具体映射。详细讨论有限域（特别是伽罗瓦域 $GF(2^m)$）在纠错码（如Reed-Solomon码）和密码学（如椭圆曲线加密）中的不可或缺性。理解群的同态和同构概念，有助于读者识别不同计算系统之间的结构相似性。 5. 矩阵代数与线性变换：大规模计算的核心超越基础的行列式和逆矩阵，本书侧重于矩阵在系统中的应用。这包括线性方程组的求解（高斯消元法及其数值稳定性分析），特征值与特征向量在主成分分析（PCA）和PageRank算法中的应用。此外，深入探讨稀疏矩阵的存储优化和大规模线性代数运算在高性能计算（HPC）中的优化策略。第三部分：概率论与算法的随机性——不确定性下的决策现代计算，尤其是机器学习和大数据处理，无法脱离对不确定性的处理。 6. 概率论基础与随机过程：模型的不确定性本书从条件概率、贝叶斯定理和随机变量的描述开始，迅速过渡到计算领域的核心应用。重点解析马尔可夫链（Markov Chains），用于建模状态转换系统，如在隐马尔可夫模型（HMMs）和MCMC（马尔可夫链蒙特卡洛方法）中的应用。通过对大数定律和中心极限定理的阐述，读者能理解随机抽样结果的统计可靠性。 7. 随机算法与期望分析：性能的概率视角本章探讨随机算法的设计原则，如Las Vegas算法和Monte Carlo算法的权衡。核心内容是期望值分析，计算随机算法在最坏情况下的平均性能。结合概率分析技术（如切比雪夫不等式），量化算法的失败概率，指导工程师在可靠性和速度之间做出明智的选择。第四部分：可计算性与形式化方法——计算的边界数学为我们划定了计算的边界，并提供了验证系统正确性的工具。 8. 数理基础与自动机理论的连接回顾皮亚诺公理体系对自然数定义的严谨性，并将其与图灵机模型的数学定义相联系。深入探讨可判定性（Decidability）和不可判定性（Undecidability）问题，特别是停机问题（Halting Problem）的证明，明确告知读者计算的理论极限。 9. 递归函数与复杂度类：效率的最终界限本章将递归函数与图灵机的计算能力进行形式化对接。在此基础上，系统地介绍计算复杂性理论的核心概念：时间与空间复杂度，以及P、NP、NP-完全性（NP-Completeness）的严格定义和归约思想。读者将理解为什么某些问题被认为是计算上“困难”的，并学习如何识别和处理这些问题。总结与展望《计算机科学中的数学》通过对离散结构、代数变换、概率模型和计算极限的系统性梳理，为读者构建了一个坚实的知识体系。本书强调证明的严谨性与应用的直观性相结合，旨在培养读者像数学家一样思考，从而在面对前沿的算法设计、系统架构和理论难题时，能够运用最根本的数学原理，构建出高效、可靠且可验证的计算解决方案。掌握这些数学工具，是迈向卓越计算机科学家和架构师的必经之路。 --- 目标读者：计算机科学、软件工程、信息安全、数据科学等专业本科生高年级、研究生，以及需要深入理解算法底层数学逻辑的行业专业人士。

作者简介

唐李洋

女，博士，毕业于合肥工业大学管理科学与工程系。现就职于中国电子科技集团公司第三十八研究所，曾游学美国，数据挖掘与大数据分析研究经验颇丰，在相关领域重要国际期刊及会议发表论文数篇。译有《高可用MySQL》（第1版和第2版）《R高性能编程》《大数据猩球：海量数据处理实践指南》《流式架构：Kafka与MapR Streams数据流处理》等图书。

刘杰

男，博士，南开大学教授、博士生导师。研究领域包括机器学习与数据挖掘方面的理论方法研究，以及面向信息抽取、网络挖掘、对话生成等问题的应用研究。在机器学习、数据挖掘领域重要国际期刊及会议发表论文多篇。担任中国计算机学会中文信息技术专家委员会、中国计算机学会大数据专家委员会、人工智能学会机器学习专家委员会等多个专家委员会委员及通讯委员。相关成果获得天津市科技进步二等奖两项。

谭昶

男，博士，毕业于中国科学技术大学计算机应用与技术系。现任科大讯飞股份有限公司大数据研究院执行院长兼智慧城市事业群副总裁，中国计算机学会公共政策委员会执行委员及大数据专家委员会委员。负责科大讯飞公司智慧城市、计算广告和个性化推荐等方向的大数据核心技术研发及应用推广工作，在大数据技术、个性化推荐方面有着多年的研究和实践经验。

金博

男，博士，大连理工大学教授。致力于数据挖掘、大数据分析、创新管理、商务智能等领域的科学研究。主持和参与多项国家级和省部级课题，在相关领域重要国际期刊及会议上发表论文60余篇，并担任数据挖掘领域三大顶级会议KDD、ICDM、SDM的程序委员会委员，是ACM、IEEE和CCF高级会员。

马海平

女，博士，毕业于中国科学技术大学计算机科学与技术系。现就职于科大讯飞股份有限公司，担任大数据研究院研究主管，从事数据挖掘与人工智能算法以及计算广告和个性化教育等领域的研究工作。在国际知名期刊和学术会议发表论文7篇，合著出版著作《Spark机器学习进阶实战》《Spark核心技术与高级应用》。

朱琛

男，硕士，毕业于中国科学技术大学，百度资深数据挖掘工程师。现就职于百度人才智库（Talent Intelligence Center），从事人力资源智能化研究，致力于用AI为HR赋能。研究方向包括文本数据挖掘、社交网络分析、图数据挖掘。在国际顶尖会议与期刊杂志发表论文十余篇，申请专利十余项，曾担任数个国际顶级会议（KDD、SDM等）程序委员会委员。

目录信息

第I部分数学证明
引言 3
0.1 参考文献 4
第1章什么是证明 5
1.1 命题 5
1.2 谓词 8
1.3 公理化方法 8
1.4 我们的公理 9
1.4.1 逻辑推理 9
1.4.2 证明的模式 10
1.5 证明蕴涵 10
1.5.1 方法#1 11
1.5.2 方法#2：证明逆反命题 12
1.6 证明“当且仅当” 13
1.6.1 方法#1：证明两个语句相互蕴涵 13
1.6.2 方法#2：构建iff链 13
1.7 案例证明法 14
1.8 反证法 15
1.9 数学证明的优秀实践 16
1.10 参考文献 18
1.1节习题 18
1.5节习题 21
1.7节习题 21
1.8节习题 23
第2章良序原理 26
2.1 良序证明 26
2.2 良序证明模板 27
2.2.1 整数求和 27
2.3 质因数分解 29
2.4 良序集合 29
2.4.1 不一样的良序集合（选学） 30
2.2节习题 31
2.4节习题 38
第3章逻辑公式 40
3.1 命题的命题 41
3.1.1 NOT，AND和OR 41
3.1.2 当且仅当 42
3.1.3 IMPLIES 42
3.2 计算机程序的命题逻辑 44
3.2.1 真值表计算 45
3.2.2 符号表示 46
3.3 等价性和有效性 47
3.3.1 蕴涵和逆否 47
3.3.2 永真性和可满足性 48
3.4 命题代数 49
3.4.1 命题范式 49
3.4.2 等价性证明 50
3.5 SAT问题 53
3.6 谓词公式 54
3.6.1 量词 54
3.6.2 混合量词 55
3.6.3 量词的顺序 56
3.6.4 变量与域 56
3.6.5 否定量词 57
3.6.6 谓词公式的永真性 57
3.7 参考文献 58
3.1节习题 59
3.2节习题 61
3.3节习题 65
3.4节习题 68
3.5节习题 69
3.6节习题 71
第4章数学数据类型 79
4.1 集合 79
4.1.1 常用集合 80
4.1.2 集合的比较和组合 80
4.1.3 幂集 81
4.1.4 集合构造器标记 82
4.1.5 证明集合相等 82
4.2 序列 83
4.3 函数 84
4.3.1 域和像 84
4.3.2 函数复合 86
4.4 二元关系 86
4.4.1 关系图 87
4.4.2 关系的像 89
4.5 有限基数 90
4.5.1 有限集有多少个子集 91
4.1节习题 92
4.2节习题 96
4.4节习题 97
4.5节习题 105
第5章归纳法 107
5.1 一般归纳法 107
5.1.1 一般归纳法的规则 108
5.1.2 举例说明 108
5.1.3 归纳法证明的模板 109
5.1.4 一般归纳法的简洁写法 110
5.1.5 更复杂的例子 111
5.1.6 错误的归纳证明 113
5.2 强归纳法 115
5.2.1 强归纳法的规则 115
5.2.2 斐波那契数列 116
5.2.3 质数的乘积 117
5.2.4 找零问题 118
5.2.5 堆盒子游戏 119
5.3 强归纳法、一般归纳法和良序法的比较 120
5.1节习题 121
5.2节习题 131
第6章状态机 136
6.1 状态和转移 136
6.2 不变性原理 137
6.2.1 沿对角线移动的机器人 137
6.2.2 不变性原理的定义 139
6.2.3 示例：《虎胆龙威》 141
6.3 偏序正确性和终止性 143
6.3.1 快速求幂 143
6.3.2 派生变量 145
6.3.3 基于良序集合的终止性（选学） 146
6.3.4 东南方向跳跃的机器人（选学） 146
6.4 稳定的婚姻 147
6.4.1 配对仪式 148
6.4.2 我们结婚吧 150
6.4.3 他们从此幸福地生活在一起 150
6.4.4 竟然是男性…… 151
6.4.5 应用 152
6.3节习题 153
6.4节习题 165
第7章递归数据类型 172
7.1 递归定义和结构归纳法 172
7.1.1 结构归纳法 174
7.2 匹配带括号的字符串 175
7.3 非负整数上的递归函数 179
7.3.1 N上的一些标准递归函数 179
7.3.2 不规范的函数定义 179
7.4 算术表达式 181
7.4.1 Aexp的替换和求值 181
7.5 计算机科学中的归纳 185
7.1节习题 185
7.2节习题 193
7.3节习题 201
7.4节习题 202
第8章无限集 206
8.1 无限基数集 206
8.1.1 不同之处 209
8.1.2 可数集 209
8.1.3 幂集的势严格大于原集合 211
8.1.4 对角线证明 213
8.2 停止问题 214
8.3 集合逻辑 217
8.3.1 罗素悖论 217
8.3.2 集合的ZFC公理系统 218
8.3.3 避免罗素悖论 220
8.4 这些真的有效吗 220
8.4.1 计算机科学中的无穷大 221
8.1节习题 221
8.2节习题 228
8.3节习题 233
8.4节习题 236
第Ⅱ部分结构
引言 241
第9章数论 242
9.1 整除 242
9.1.1 整除的性质 243
9.1.2 不可整除问题 244
9.1.3 虎胆龙威 245
9.2 最大公约数 247
9.2.1 欧几里得算法 247
9.2.2 粉碎机 249
9.2.3 水壶问题的通解 251
9.2.4 最大公约数的性质 252
9.3 质数的奥秘 253
9.4 算术基本定理 255
9.4.1 唯一分解定理的证明 256
9.5 阿兰•图灵 257
9.5.1 图灵编码（1.0版） 258
9.5.2 破解图灵编码（1.0版） 260
9.6 模运算 260
9.7 余运算 262
9.7.1 环Z_n 264
9.8 图灵编码（2.0版） 265
9.9 倒数与约去 266
9.9.1 互质 267
9.9.2 约去 268
9.9.3 解密（2.0版） 268
9.9.4 破解图灵编码（2.0版） 269
9.9.5 图灵后记 269
9.10 欧拉定理 271
9.10.1 计算欧拉ϕ函数 273
9.11 RSA公钥加密 274
9.12 SAT与RSA有什么关系 276
9.13 参考文献 277
9.1节习题 277
9.2节习题 278
9.3节习题 285
9.4节习题 285
9.6节习题 287
9.7节习题 288
9.8节习题 293
9.9节习题 293
9.10节习题 295
9.11节习题 303
第10章有向图和偏序 309
10.1 顶点的度 311
10.2 路和通路 311
10.2.1 查找通路 313
10.3 邻接矩阵 314
10.3.1 最短路径 315
10.4 路关系 316
10.4.1 复合关系 316
10.5 有向无环图&调度 317
10.5.1 调度 318
10.5.2 并行任务调度 320
10.5.3 Dilworth引理 322
10.6 偏序 323
10.6.1 DAG中路关系的性质 323
10.6.2 严格偏序 324
10.6.3 弱偏序 325
10.7 用集合包含表示偏序 326
10.8 线性序 327
10.9 乘积序 327
10.10 等价关系 328
10.10.1 等价类 328
10.11 关系性质的总结 329
10.1节习题 330
10.2节习题 331
10.3节习题 334
10.4节习题 335
10.5节习题 338
10.6节习题 344
10.7节习题 347
10.8节习题 349
10.9节习题 352
10.10节习题 354
第11章通信网络 357
11.1 路由 357
11.1.1 完全二叉树 357
11.1.2 路由问题 358
11.2 路由的评价指标 358
11.2.1 网络直径 358
11.2.2 交换机的数量 359
11.2.3 网络时延 359
11.2.4 拥塞 360
11.3 网络设计 361
11.3.1 二维阵列 361
11.3.2 蝶形网络 362
11.3.3 Benes ̌网络 363
11.2节习题 368
11.3节习题 368
第12章简单图 373
12.1 顶点邻接和度 373
12.2 美国异性伴侣统计 375
12.2.1 握手引理 376
12.3 一些常见的图 377
12.4 同构 378
12.5 二分图与匹配 380
12.5.1 二分匹配问题 380
12.5.2 匹配条件 381
12.6 着色 384
12.6.1 一个考试安排问题 384
12.6.2 一些着色边界 386
12.6.3 为什么着色 387
12.7 简单路 388
12.7.1 简单图中的路、通路和圈 388
12.7.2 圈作为子图 389
12.8 连通性 390
12.8.1 连通分量 390
12.8.2 奇数长度的圈和2-着色性 391
12.8.3 k–连通图 392
12.8.4 连通图的最小边数 393
12.9 森林和树 394
12.9.1 叶子、父母和孩子 394
12.9.2 性质 395
12.9.3 生成树 397
12.9.4 最小生成树 397
12.10 参考文献 401
12.2节习题 402
12.4节习题 403
12.5节习题 406
12.6节习题 411
12.7节习题 418
12.8节习题 420
12.9节习题 424
第13章平面图 431
13.1 在平面上绘制图形 431
13.2 平面图的定义 433
13.2.1 面 434
13.2.2 平面嵌入的递归定义 436
13.2.3 这个定义行吗 438
13.2.4 外表面在哪里呢 438
13.3 欧拉公式 439
13.4 平面图中边的数量限制 440
13.5 返回到K_5和K_3,3 441
13.6 平面图的着色 442
13.7 多面体的分类 443
13.8 平面图的另一个特征 445
13.2节习题 446
13.8节习题 447
第Ⅲ部分计数
引言 455
第14章求和与渐近性 457
14.1 年金的值 458
14.1.1 钱未来的价值 458
14.1.2 扰动法 459
14.1.3 年金价值的闭型 460
14.1.4 无限长的等比数列 460
14.1.5 示例 461
14.1.6 等比数列求和的变化 462
14.2 幂和 463
14.3 估算求和式子 465
14.4 超出边界 468
14.4.1 问题陈述 468
14.4.2 调和数 471
14.4.3 渐近等式 473
14.5 乘积 474
14.5.1 斯特林公式 475
14.6 双倍的麻烦 477
14.7 渐近符号 479
14.7.1 小o 479
14.7.2 大O 479
14.7.3 θ 481
14.7.4 渐近符号的误区 482
14.7.5 Ω（选学） 484
14.1节习题 484
14.2节习题 486
14.3节习题 486
14.4节习题 488
14.7节习题 490
第15章基数法则 499
15.1 通过其他计数来计算当前计数 499
15.1.1 双射规则 499
15.2 序列计数 500
15.2.1 乘积法则 501
15.2.2 n-元素集合的子集 501
15.2.3 加和法则 502
15.2.4 密码计数 502
15.3 广义乘积法则 503
15.3.1 有缺陷的美元钞票 504
15.3.2 一个象棋问题 505
15.3.3 排列 505
15.4 除法法则 506
15.4.1 另一个象棋问题 506
15.4.2 圆桌骑士 507
15.5 子集计数 508
15.5.1 子集法则 509
15.5.2 比特序列 510
15.6 重复序列 510
15.6.1 子集序列 510
15.6.2 Bookkeeper法则 511
15.6.3 二项式定理 512
15.7 计数练习：扑克手牌 513
15.7.1 四条相同点数的手牌 514
15.7.2 葫芦手牌 514
15.7.3 两个对子的手牌 515
15.7.4 花色齐全的手牌 517
15.8 鸽子洞原理 517
15.8.1 头上的头发 518
15.8.2 具有相同和的子集 519
15.8.3 魔术 521
15.8.4 秘密 521
15.8.5 真正的秘密 523
15.8.6 如果是4张牌呢 524
15.9 容斥原理 525
15.9.1 两个集合的并集 525
15.9.2 三个集合的并集 525
15.9.3 42序列、04序列或60序列 526
15.9.4 n个集合的并集 527
15.9.5 计算欧拉函数 529
15.10 组合证明 530
15.10.1 帕斯卡三角恒等式 530
15.10.2 给出组合证明 531
15.10.3 有趣的组合证明 532
15.11 参考文献 533
15.2节习题 534
15.4节习题 537
15.5节习题 538
15.6节习题 544
15.7节习题 548
15.8节习题 550
15.9节习题 554
15.10节习题 561
第16章母函数 566
16.1 无穷级数 566
16.1.1 不收敛性 567
16.2 使用母函数计数 568
16.2.1 苹果和香蕉 568
16.2.2 母函数的积 569
16.2.3 卷积法则 570
16.2.4 利用卷积法则数甜甜圈 570
16.2.5 卷积法则中的二项式定理 571
16.2.6 一个荒唐的计数问题 572
16.3 部分分式 573
16.3.1 带有重根的部分分式 575
16.4 求解线性递推 575
16.4.1 斐波那契数的母函数 575
16.4.2 汉诺塔 576
16.4.3 求解一般线性递推 580
16.5 形式幂级数 580
16.5.1 发散母函数 580
16.5.2 幂级数环 581
16.6 参考文献 583
16.1节习题 583
16.2节习题 583
16.3节习题 586
16.4节习题 588
16.5节习题 595
第Ⅳ部分概率论
引言 599
第17章事件和概率空间 601
17.1 做个交易吧 601
17.1.1 理清问题 601
17.2 四步法 602
17.2.1 步骤一：找到样本空间 602
17.2.2 步骤二：确定目标事件 605
17.2.3 步骤三：确定结果的概率 606
17.2.4 步骤四：计算事件的概率 608
17.2.5 蒙特霍尔问题的另一种解释 609
17.3 奇怪的骰子 609
17.3.1 骰子A vs. 骰子B 610
17.3.2 骰子A vs. 骰子C 612
17.3.3 骰子B vs. 骰子C 612
17.3.4 掷两次 613
17.4 生日原理 615
17.4.1 匹配概率的确切公式 615
17.5 集合论和概率 616
17.5.1 概率空间 616
17.5.2 集合论的概率法则 617
17.5.3 均匀概率空间 618
17.5.4 无穷概率空间 619
17.6 参考文献 620
17.2节习题 620
17.5节习题 623
第18章条件概率 626
18.1 蒙特霍尔困惑 626
18.1.1 帷幕之后 627
18.2 定义和标记 627
18.2.1 问题所在 628
18.3 条件概率四步法 629
18.4 为什么树状图有效 630
18.4.1 大小为k的子集的概率 631
18.4.2 医学检测 632
18.4.3 四步分析法 633
18.4.4 固有频率 634
18.4.5 后验概率 634
18.4.6 概率的哲学 635
18.5 全概率定理 637
18.5.1 以单一事件为条件 637
18.6 辛普森悖论 638
18.7 独立性 640
18.7.1 另一个公式 640
18.7.2 独立性是一种假设 641
18.8 相互独立性 641
18.8.1 DNA检测 642
18.8.2 两两独立 643
18.9 概率vs. 置信度 645
18.9.1 肺结核测试 645
18.9.2 可能性修正 646
18.9.3 很可能正确的事实 648
18.9.4 极端事件 648
18.9.5 下一次抛掷的置信度 649
18.4节习题 650
18.5节习题 650
18.6节习题 660
18.7节习题 661
18.8节习题 663
18.9节习题 666
第19章随机变量 667
19.1 随机变量示例 667
19.1.1 指示器随机变量 668
19.1.2 随机变量和事件 668
19.2 独立性 669
19.3 分布函数 670
19.3.1 伯努利分布 672
19.3.2 均匀分布 672
19.3.3 数字游戏 673
19.3.4 二项分布 675
19.4 期望 677
19.4.1 均匀随机变量的期望值 677
19.4.2 随机变量的倒数的期望 678
19.4.3 指示器随机变量的期望值 678
19.4.4 期望的另一种定义 678
19.4.5 条件期望 679
19.4.6 平均故障时间 680
19.4.7 赌博游戏的预期收益 682
19.5 期望的线性性质 686
19.5.1 两枚骰子的期望 687
19.5.2 指示器随机变量的和 687
19.5.3 二项分布的期望 688
19.5.4 赠券收集问题 689
19.5.5 无限和 691
19.5.6 赌博悖论 691
19.5.7 悖论的解答 692
19.5.8 乘积的期望 693
19.2节习题 694
19.3节习题 696
19.4节习题 698
19.5节习题 702
第20章离差 712
20.1 马尔可夫定理 712
20.1.1 应用马尔可夫定理 714
20.1.2 有界变量的马尔可夫定理 714
20.2 切比雪夫定理 715
20.2.1 两个赌博游戏的方差 716
20.2.2 标准差 717
20.3 方差的性质 718
20.3.1 方差公式 719
20.3.2 故障时间的方差 719
20.3.3 常数的处理 720
20.3.4 和的方差 721
20.3.5 生日匹配 722
20.4 随机抽样估计 723
20.4.1 选民投票 723
20.4.2 两两独立采样 725
20.5 估计的置信度 726
20.6 随机变量的和 728
20.6.1 引例 728
20.6.2 切诺夫界 729
20.6.3 二项式尾的切诺夫界 729
20.6.4 彩票游戏的切诺夫界 730
20.6.5 随机负载均衡 731
20.6.6 切诺夫界的证明 732
20.6.7 边界的比较 734
20.6.8 墨菲定律 735
20.7 大期望 736
20.7.1 重复你自己 736
20.1节习题 737
20.2节习题 738
20.3节习题 739
20.5节习题 746
20.6节习题 750
20.7节习题 753
第21章随机游走 755
21.1 赌徒破产 755
21.1.1 避免破产的概率 757
21.1.2 获胜概率递推 758
21.1.3 有偏情形的简单解释 759
21.1.4 步长多长 761
21.1.5 赢了就退出 762
21.2 图的随机游走 763
21.2.1 网页排名初探 764
21.2.2 网页图的随机游走 765
21.2.3 平稳分布与网页排名 766
21.1节习题 768
21.2节习题 769
第Ⅴ部分递推
引言 779
第22章递推 780
22.1 汉诺塔 780
22.1.1 上界陷阱 781
22.1.2 扩充-化简法 781
22.2 归并排序 783
22.2.1 寻找递推 784
22.2.2 求解递推 784
22.3 线性递推 786
22.3.1 爬楼梯 786
22.3.2 求解齐次线性递推 789
22.3.3 求解一般线性递推 790
22.3.4 如何猜测特解 792
22.4 分治递推 793
22.4.1 Akra-Bazzi公式 794
22.4.2 两个技术问题 795
22.4.3 Akra-Bazzi定理 796
22.4.4 主定理 797
22.5 进一步探索 797
22.4节习题 799
参考文献 802
符号表 806
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

第一种错误：符号缺失，于是命题或者等式就不成立了。第二种错误：符号错误，比如 not 变成 and。读者还能看懂？至于是翻译的锅还是印刷的锅，那我就不知道了。别跟我扯什么这些错误动动脑就能发现的鬼话，难道我发现了这就不是错误？我发现了那些初学者就能发现？一个公式...

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容密度实在令人震惊，拿到手我就感觉它份量十足，内容之扎实远超我的预期。我原本以为它会更侧重于概率论在机器学习中的应用，毕竟现在AI那么火。但深入阅读后发现，它对计算复杂性理论背后的数论和代数结构有着近乎偏执的深入挖掘。特别是关于有限域（Galois Field）的章节，我记得很多本科教材里往往只是简单带过，或者直接留给高年级专业课。可这本书却花了大量的篇幅，用清晰的步骤推导了有限域的构造过程，甚至还探讨了它在密码学，比如椭圆曲线加密中的实际应用潜力。这对我理解现代加密算法的工作原理提供了全新的视角。作者在推导过程中，对符号的定义和使用保持着极高的一致性，这对于我们这些习惯于在不同教材间切换的读者来说，简直是福音。美中不足的是，对于一些非常前沿的数理逻辑在形式化验证中的最新进展，内容似乎略显保守，更偏向于经典理论的扎实打磨，对于追求前沿动态的读者来说，可能需要再配合其他资料。

评分☆☆☆☆☆

这本《计算机科学中的数学》的封面设计得非常简洁有力，黑白灰的配色，中间一个抽象的、像是电路板又像是拓扑结构的图案，初看之下就给人一种严谨、深邃的感觉。我特地挑了这本书，主要是想系统地梳理一下自己在学习算法和数据结构时遇到的那些数学基础薄弱环节。翻开第一章，作者上来就直奔主题，没有过多寒暄，直接切入离散数学的核心概念，比如集合论和逻辑推理。老实说，我本来有点担心会读起来枯燥乏味，毕竟数学书嘛。但是，作者的叙述方式非常巧妙，他总能用一个非常贴近计算机领域的实际问题作为引子，再自然而然地引出需要的数学工具。比如，讲到图论时，他不是单纯地罗列定理，而是先展示了网络路由、社交网络分析这些应用场景，然后才开始讲解欧拉路径、哈密顿回路的判定方法。这种“应用驱动”的教学方法，极大地激发了我继续深入阅读的兴趣。而且，书中大量的例题设计得非常有层次感，从基础的代数运算到复杂的组合计数，每一步都衔接着前一个知识点，让人感觉学习过程非常顺畅，每解开一个难题，都像是给自己的计算机思维打上了一块坚实的基石。

评分☆☆☆☆☆

这本书对算法分析中的“数学论证”部分的处理，是我认为最有价值的地方。很多时候，我们学会了如何写出代码实现某个算法，比如快速排序或者二叉堆，但对于“为什么这个算法的最好/最坏/平均时间复杂度是O(n log n)”这类问题的数学证明，往往是一知半解。这本书没有回避这些“硬骨头”，而是非常耐心地、分层递进地讲解了概率论在平均情况分析中的威力。它详细介绍了马尔可夫不等式和切比雪夫不等式在界定随机变量范围时的应用，以及如何利用期望值的线性性质来简化复杂的求和过程。我尤其欣赏作者对“随机化算法”部分的处理，他不仅介绍了拉斯维加斯和蒙特卡洛算法的概念，更关键的是，他用严密的数学工具论证了为什么这些算法在实践中是可靠且高效的。这种对理论严谨性的坚守，使得这本书超越了普通的技术手册，更接近于一本培养计算思维的“武功秘籍”。

评分☆☆☆☆☆

我不得不说，这本书的排版和图示是其一大亮点，极大地提升了阅读体验，尤其是在处理那些抽象度极高的概念时。比如，在讲解矩阵运算如何对应到线性代数在图形学中的变换时，书中插入的那些高质量的二维和三维示意图，简直是教科书级别的清晰度。它们准确地捕捉了旋转、缩放、投影这些操作背后的几何意义，让原本可能停留在纯粹数字层面的理解，瞬间具象化了。相比于我以前看的某些国外引进的译本，排版拥挤不堪，公式和文字混杂在一起，阅读体验一团糟，这本中文原著在视觉上简直是享受。特别是对递归关系和归纳法的阐述部分，作者运用了颜色和缩进来区分不同的逻辑层次，这一点在追踪复杂的证明过程时，起到了至关重要的导航作用。它不仅仅是一本知识的堆砌，更像是一个精心设计的学习工具，引导读者的目光在关键点上停留和思考，而不是被密密麻麻的文字淹没。

评分☆☆☆☆☆

从一个资深开发者的角度来看，我发现这本书在连接底层数学与上层软件工程实践的桥梁搭建上，做得非常出色。它不像纯理论书籍那样只停留在黑板推导，也不像纯工程书籍那样只停留在API调用。比如，在讲解布尔代数在数字电路设计中的应用时，作者紧接着就引入了逻辑门的优化问题，并自然过渡到卡诺图和Quine-McCluskey算法，这对于从事底层系统或嵌入式开发的工程师来说，是直接可以落地的知识。更让我感到惊喜的是，书中关于信息论和编码理论的章节，虽然篇幅不算最长，但其对熵的概念的解释非常透彻，这对于理解数据压缩的理论极限以及现代分布式系统中的一致性问题（如 Paxos 协议的某些数学背景），提供了坚实的理论支撑。读完这本书，我感觉自己看待程序的眼光都变了——不再只是关注功能的实现，而是开始审视其背后的数学结构和信息效率，这是一种质的飞跃。

评分☆☆☆☆☆

如题，《计算机中的数学》，大而全。但是翻译排版不忍直视，像我这种反应慢的人跟不看不懂那些扭曲的句子在讲什么。

评分☆☆☆☆☆

没做题。想学习科研的统计学，书里没有统计学。其他都挺好的，有的名词和符号不是我学过的

评分☆☆☆☆☆

如题，《计算机中的数学》，大而全。但是翻译排版不忍直视，像我这种反应慢的人跟不看不懂那些扭曲的句子在讲什么。

评分☆☆☆☆☆

mit公开课那本讲义的中文版，配合课程一起阅读比较好。

评分☆☆☆☆☆

如题，《计算机中的数学》，大而全。但是翻译排版不忍直视，像我这种反应慢的人跟不看不懂那些扭曲的句子在讲什么。