Essentials for Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Wilcutt

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1985-4

价格:$ 57.36

装帧:

isbn号码:9780395378809

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 基础代数
• 数学
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探索更广阔的数学天地：超越代数基础的精彩旅程 书名： 宏观数学视角：从数论到拓扑学的跨界漫游 内容简介： 本书旨在带领读者进行一次引人入胜的数学之旅，其视野远远超出了初级代数所涵盖的范畴。我们不再仅仅关注解方程或处理变量的等式，而是深入到数学世界的深层结构、美学本质及其在现代科学中的广泛应用。本书假设读者已经具备扎实的中学数学基础，特别是对基础代数概念有所了解，但我们的目标是打开一扇通往更高级、更抽象、更具启发性的数学分支的大门。 第一部分：数字的秘密与结构——数论的迷人领域 我们将从最基本的元素——数——开始，但视角将是全新的。数论，被高斯誉为“数学的女皇”，将是我们的起点。 1. 模运算与密码学的基石： 我们将深入探讨同余关系，理解模 $n$ 算术的内在逻辑。这不仅仅是余数的简单运算，更是现代加密技术（如RSA算法）的理论支柱。我们会详细解析欧拉定理、费马小定理在构建安全通信系统中的核心作用，并通过具体的实例演示如何用数论的语言来保护数字信息。 2. 素数的深层奥秘： 素数是乘法运算的“原子”。我们将探讨如何有效判定一个数是否为素数（例如米勒-拉宾测试），并研究素数的分布规律。从阿基米德的朴素证明到更复杂的素数定理，我们将审视数学家如何试图揭示这看似随机的序列背后的宏大秩序。读者将接触到黎曼猜想的背景知识，理解其在数论中的中心地位。 3. 丢番图方程的艺术： 抛开线性方程，我们将进入丢番图方程的世界，专注于寻找整数解的挑战。我们将研究经典的勾股定理的推广形式，以及如何利用二次互反律来解决复杂的整数方程问题，领略代数方法在处理离散问题时的精妙之处。 第二部分：空间的几何与变换——代数拓扑的直观入门 告别二维平面和三维空间，我们将开始探索更高维度的概念，以及那些在连续形变下保持不变的性质——拓扑学。 4. 拓扑学的基本概念： 什么是“弯曲”而不被“撕裂”？我们将介绍拓扑空间的正式定义，讨论开集、闭集和连续函数的拓扑视角。我们将利用同胚的概念来理解物体间的本质联系，例如，甜甜圈与咖啡杯的拓扑等价性。 5. 重要的拓扑不变量： 读者将学习如何用数学工具来区分不同的拓扑空间。我们将引入基本群的概念，用它来量化一个空间中“洞”的数量和结构。通过计算简单几何对象的（如圆环面或球面）的基本群，读者将直观地感受到代数工具在描述几何形状方面的强大能力。 6. 欧拉示性数与组合几何： 我们将探讨欧拉示性数（$chi$）如何作为衡量多面体或图的拓扑特性的重要指标。通过对三维凸多面体的分析，我们将看到 $ ext{顶点数} - ext{边数} + ext{面数} = 2$ 这一简洁公式背后蕴含的深刻几何意义，并将其推广到更复杂的表面。 第三部分：系统化的运算与结构——抽象代数初探 本书将代数的概念提升到“结构”的层面，研究运算的内在规则，而不是具体的数值运算。 7. 群论的优雅： 群是抽象代数中最核心的概念。我们将详细定义群、子群、陪集和同态。通过具体的例子（如旋转群 $D_4$ 或整数加法群 $mathbb{Z}$），读者将理解对称性的数学表达。群论的应用将扩展到化学中的分子对称性分析。 8. 环与域的构建： 在群的基础上，我们将引入环（具有加法和乘法运算的代数结构）和域（在环的基础上可以进行除法的结构，如实数域 $mathbb{R}$）。我们将分析多项式环 $mathbb{R}[x]$ 的性质，并解释为什么我们必须引入域的扩张（如复数 $mathbb{C}$ 的构造）来保证方程的可解性。 9. 线性代数的再认识：向量空间的高级视角： 线性代数的基础知识将被重新审视，重点放在向量空间的抽象定义上。我们将探讨线性变换的本质，理解特征值和特征向量不仅是解微分方程的工具，更是理解系统动力学和量子力学（通过希尔伯特空间）的基础。我们将使用相似性的概念来描述不同基底下同一个变换的内在不变性。 第四部分：变化与无限——微积分之外的分析 我们将触及一些更精细的分析概念，这些是理解函数行为和极限的更严格基础。 10. 度量空间与收敛： 我们将从标准的欧几里得距离跳脱出来，定义度量空间，研究不同的“距离”函数如何影响我们对收敛性的判断。这为泛函分析和更高级的函数空间理论奠定了基础。 11. 傅里叶分析导论： 探讨将复杂的周期函数分解为简单正弦和余弦函数的强大技术——傅里叶级数。我们将展示如何用这种分解方法来解决热传导方程和波动方程等偏微分方程，体会它在信号处理和图像压缩中的核心地位。 结语：连接不同领域 本书的最终目标是展示数学知识的内在统一性。读者会发现，数论中的模运算思路在群论的同余类中得到了体现；几何结构的研究离不开代数工具（矩阵和向量空间）；而对无限的精确处理则需要严谨的分析基础。通过跨越这些看似孤立的领域，读者将建立起一个更全面、更有洞察力的数学世界观，为未来探索微分几何、代数几何或数学物理打下坚实的基础。这不是一本关于解题技巧的速成指南，而是一部关于数学思维方式和结构之美的深度导览。

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