（排列、组合、二项式定理）高中数学//名师视点双色亮丽版 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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数学思想的智慧之门：探索排列、组合与二项式定理的奥秘 本书并非仅仅是枯燥的公式和定理的堆砌，而是旨在带领读者踏上一段探索数学思想深层智慧的旅程。我们将从最基本的计数原理出发，逐步深入到排列、组合以及二项式定理的精彩世界。在这个过程中，你将领略到数学的逻辑之美，感受问题解决的策略性，并最终掌握一种全新的思考方式。 第一章：基础的魅力——计数原理的基石 在开始我们的数学探险之前，首先需要建立坚实的根基。本章将从最直观的计数方法入手，让你理解“数”的意义和“数”的规律。 加法原理与乘法原理：想象一下，你有几种方式可以选择一件上衣和一条裤子搭配？或者，你参加一场比赛，有多少种可能的前三名名次组合？加法原理和乘法原理就像是解决这类问题的基本工具。我们将通过大量贴近生活的例子，例如安排行程、分配任务、制作菜单等，让你清晰地理解这两个原理的适用场景和计算方法。我们将强调，理解这两个原理的关键在于区分“分类”和“分步”，这对于后续的学习至关重要。 分类计数问题：有时候，一个问题可以被分解成几个互不相干的“类别”，我们只需要分别计算每个类别的情况，然后通过加法原理将它们合并起来。例如，从不同学科的课外活动小组中选择一个参加，或者从不同颜色的水果中挑选几个。我们会展示如何识别问题中的“分类”，并应用加法原理解决。 分步计数问题：更多的时候，一个事件的发生需要一系列的“步骤”依次完成。例如，从家到学校需要经过买书、乘车、步行几个步骤。只有理解了每个步骤的独立性以及完成的总顺序，才能用乘法原理得出总的方案数。我们将通过规划路线、设计序列、安排比赛流程等实例，帮助你熟练运用乘法原理。 特殊情况的考量：在应用加法原理和乘法原理时，我们需要时刻注意是否有重复计算或遗漏计算的情况。本章还将探讨一些需要细致分析的特殊情况，例如包含“至少”或“至多”的计数问题，以及当元素之间存在某些限制条件时的计数方法。我们将引导你学会如何辨析问题中的细微差别，避免常见的错误。 第二章：顺序的艺术——排列的奥秘 当事物之间存在顺序关系时，排列就显得尤为重要。本章将带领你走进排列的世界，理解如何计算不同顺序下的可能性。 排列的定义与符号：什么是排列？简单来说，就是从n个不同元素中取出r个（r≤n）元素，按照一定的顺序排成一列，有多少种不同的排法？我们将引入排列的符号 $P(n, r)$ 或 $A_n^r$，并给出其计算公式 $P(n, r) = frac{n!}{(n-r)!}$。这里的“!”代表阶乘，我们将解释其含义并熟练掌握计算。 全排列：当n个元素全部取出并进行排序时，我们就得到了全排列。例如，将几本书按照不同的顺序放在书架上，或者将几个字母组成不同的单词。我们将讨论全排列的数量为 $n!$，并通过生活中的例子，如比赛运动员的入场顺序、字母组合等，来加深理解。 部分排列：更多的情况是我们只需要取出其中的一部分元素进行排序。例如，从班级中选出班长和副班长（顺序不同，代表不同职务），或者从几件衣服中选出三件穿在身上（考虑穿着的顺序）。我们将通过具体问题，如选拔不同职位的人员、设计多位数的密码等，来练习计算部分排列。 带有限制条件的排列：实际问题往往比理论更复杂。本章还将探讨一些带有限制条件的排列问题，例如：要求某个元素必须在某个位置，或者要求某些元素必须相邻或不相邻。我们会讲解如何通过“捆绑法”、“插空法”等技巧来解决这类问题，让你的排列计算能力更上一层楼。 排列在生活中的应用：排列不仅仅是抽象的数学概念，它在很多领域都有广泛的应用。本章将展示排列在密码学（如PIN码生成）、组合优化（如车间调度）、通信编码等方面的实际应用，让你体会到数学的实用价值。 第三章：选择的智慧——组合的魅力 与排列不同，组合关注的是事物的选择，而不考虑其顺序。本章将揭示组合的奥秘，让你掌握如何在不考虑顺序的情况下进行计数。 组合的定义与符号：什么是组合？它是指从n个不同元素中取出r个（r≤n）元素，不考虑其元素的顺序，有多少种不同的选择方法？我们将引入组合的符号 $C(n, r)$ 或 $inom{n}{r}$，并给出其计算公式 $C(n, r) = frac{n!}{r!(n-r)!}$。我们将强调组合与排列的区别在于“顺序”。 组合的意义与理解：为什么组合的公式中会除以 $r!$？本章将详细解释这个过程。它相当于先计算出所有的排列，然后将那些顺序不同的、但元素相同的组合“合并”起来。我们将通过具体的例子，如从一群人中选出参加会议的代表（代表身份相同，顺序无关）、从水果篮中挑选水果等，来帮助你直观理解组合的含义。 计算组合的技巧：掌握了组合的公式，我们还需要学会如何高效地计算。本章将介绍一些计算组合的技巧，例如利用组合的对称性 $C(n, r) = C(n, n-r)$ 来简化计算。我们将通过大量的练习题，让你熟练运用组合公式。 带有限制条件的组合：就像排列一样，组合问题也常常伴随着各种限制条件。例如：要求选出的元素中必须包含某个特定元素，或者不能包含某个特定元素。我们将讲解如何分析问题，将复杂问题转化为若干个简单的组合问题，然后通过加法原理合并。 组合在实际问题中的应用：组合的运用同样十分广泛。本章将探讨组合在抽奖概率计算、彩票中奖分析、工程项目选择、资源分配等方面的实际应用，让你感受数学在决策过程中的指导作用。 第四章：连接的桥梁——二项式定理 二项式定理是连接代数和组合的桥梁，它提供了一种系统地展开 $(a+b)^n$ 形式的多项式的方法。本章将深入探究二项式定理的奇妙之处。 从 $(a+b)^n$ 的展开式出发：我们将从 $(a+b)^0, (a+b)^1, (a+b)^2, (a+b)^3$ 等低次幂的展开式开始，观察其系数和项的特点。你会发现，这些系数与我们之前学习的组合数有着密切的联系。 二项式定理的陈述：我们将正式介绍二项式定理，即 $(a+b)^n = sum_{k=0}^{n} inom{n}{k} a^{n-k} b^k$。我们将详细解释公式中各项的含义：$inom{n}{k}$ 是组合数，代表了展开式中各项的系数；$a^{n-k}$ 和 $b^k$ 代表了各项的代数部分。 二项式系数的性质：二项式系数 $inom{n}{k}$ 具有许多有趣的性质，例如对称性、帕斯卡三角形的规律等。本章将深入探讨这些性质，并展示它们在简化计算和证明恒等式中的作用。 二项式定理的应用：二项式定理的应用非常广泛，它不仅仅是展开多项式。我们将展示如何利用二项式定理解决一些看似复杂的问题，例如： 特定项的求解：在 $(a+b)^n$ 的展开式中，快速找出含有 $a^p b^q$ 形式的项。 求和问题：利用二项式定理可以方便地求出一些特殊的和式，例如 $sum_{k=0}^{n} inom{n}{k}$ 的值。 证明整除性问题：通过构造合适的代数式，利用二项式定理证明一些整除性问题。 概率统计中的应用：二项式分布是概率统计中的一个重要模型，其核心就源于二项式定理。 从组合的角度理解二项式定理：本章的一个重要目标是引导读者从组合的角度来理解二项式定理。例如，展开 $(a+b)^n$ 实际上是从n个 $(a+b)$ 的乘积中，通过选择“a”或“b”来形成每一项。选择k个“b”就必然选择n-k个“a”，而选择k个“b”的方法数正是 $inom{n}{k}$。这种深刻的理解将使你对二项式定理的认识提升到新的高度。 学习方法与建议 多做练习：数学的学习离不开大量的练习。本书提供了丰富的例题和习题，请务必逐一认真完成。理解题意，分析条件，选择合适的数学工具，并进行计算。 注重理解：不要死记硬背公式。理解公式的推导过程和内在含义，才能灵活运用。 建立联系：在学习过程中，注意将排列、组合、二项式定理以及计数原理之间的联系建立起来。它们是相互关联、相互促进的。 善于类比：将抽象的数学概念与生活中的实际问题联系起来，运用类比的方法帮助理解。 交流讨论：如果遇到困难，可以与同学、老师进行交流讨论，集思广益，共同进步。 通过本书的学习，你将不仅仅掌握排列、组合和二项式定理的计算方法，更重要的是，你将培养严谨的逻辑思维能力、深刻的问题分析能力和创新性的数学思想。这将为你未来的学习和生活打下坚实的基础。让我们一起享受这场精彩的数学之旅吧！

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关于“双色亮丽版”的宣传点，我实在找不到任何可以称赞的地方。除了标题和一些固定栏目用了另一种颜色来区分之外，正文内容完全是单调的黑白。更糟糕的是，在需要区分不同情境或不同变量定义的地方，作者似乎完全依赖于文字描述，而非利用色彩对比来增强区分度。例如，在处理涉及多个集合的排列问题时，如果能用不同的颜色来标记集合A和集合B的元素，那么理解起来会直观得多。然而，这本书里，所有东西都混在一起，阅读的时候经常需要花时间去重新定位和区分不同的数学对象。这使得原本抽象的数学概念，在视觉上进一步变得拥挤和难以辨认。如果宣传自己是“双色”，那么就应该在真正需要视觉辅助的地方体现出这个特色，而不是仅仅为了印刷上的差异而使用两种颜色，这完全是牛头不对马嘴的营销策略。

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对于“名师视点”这个标签，我感到的更多是营销的泡沫而非实质的内容。我没有从任何一个解答或讲解中感受到一位真正经验丰富的“名师”应有的洞察力或解题技巧的传授。书中的解题步骤虽然是正确的，但大多是教科书式的标准解法，缺乏对“陷阱”的预警，也没有提供针对性极强的“绕路”或“捷径”思路。例如，在处理涉及不重复选择和循环排列的综合题时，名师的价值在于能一眼看出问题的本质，并指导学生如何快速剥离干扰信息。然而，这本书的例题解析只是按部就班地套用公式，并没有揭示出更深层次的数学思维方法。如果只是为了看标准答案和标准步骤，我完全可以去翻阅其他更精简的习题集，这本书在“视点”这个维度上，完全没有展现出其应有的高度和价值。

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我本来对接下来的学习内容充满期待，毕竟“名师视点”这个标签听起来就很有分量，但实际阅读体验却让我大跌眼镜。书中的理论推导部分，很多关键性的步骤被一带而过，仿佛读者都已经完全掌握了这些基础知识，可以直接跳跃到更复杂的结论。这对于我这种在基础概念上偶尔会有些许模糊的同学来说，简直是噩梦。比如讲解二项式定理的展开和系数求解时，书里直接给出了公式，但对“为什么”这个展开式会是这个形式，缺乏一个直观的、循序渐进的几何或组合意义上的解释。我更希望看到的是作者能够站在一个“引导者”的角度，耐心地铺陈每一步逻辑的建构过程，而不是直接给出“圣旨”般的结论。对于追求理解深度而非仅仅是记忆表面的我来说，这本书提供的知识密度和深度显然是不够的，它更像是给那些已经完全掌握了这些知识的人提供的一本快速复习手册，而不是给正在学习和理解中的人准备的教材。

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这本书在章节间的过渡上显得非常突兀和生硬，仿佛是将不同作者的讲义简单地拼凑在一起，缺乏一个统一的、有机的知识体系构建。比如，从排列的计数原理过渡到组合的定义时，中间的衔接语非常勉强，没有清晰地阐明组合是如何从排列的限制条件下衍生出来的。这种逻辑上的跳跃，让我在尝试构建一个完整的数学框架时感到非常困难。学习数学，尤其是像计数原理这样具有强大内在逻辑性的学科，最重要的是体会其思想的连贯性。这本书显然没有在这方面下功夫，它更像是一个知识点的罗列，而不是一套系统的、具有内在驱动力的教学体系。读完一章，我反而有一种知识点散落一地的感觉，需要自己花费大量的额外精力去重新组织和梳理，这违背了使用参考书来简化学习过程的初衷。

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这套书的排版简直是灾难，封面设计虽然色彩鲜艳，但内页的字体选择和行距让人阅读起来非常吃力，尤其是在处理像“排列组合”这样需要严谨逻辑和清晰视觉辅助的章节时，这种设计上的失误被无限放大了。我花了好大力气才勉强跟上作者的思路，很多地方我不得不反复阅读才能理解那个数学符号到底代表什么，更别提去深入理解其背后的原理了。书中的例题选择也显得有些陈旧，很多都是教科书上反复出现的老面孔，缺乏一些新颖的、能激发思考的变式或者与现代数学应用结合的实例。对于一个期望能通过学习这本书来提升应对高考或竞赛中创新题目的能力的读者来说，这无疑是令人失望的。我更希望看到的是对概念更深入的剖析，而不是仅仅停留在公式的堆砌和基础题目的机械练习上。整体感觉就是一本“看起来很美”但实际阅读体验极差的书，信息的传达效率太低了。

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