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出版者:Springer-Verlag

作者:H. Grauert

出品人:

页数:207

译者:

出版时间:1976

价格:0

装帧:

isbn号码:9787506200684

丛书系列:

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• 复变函数
• 解析函数
• 柯西积分
• 留数定理
• 复解析几何
• 复微分方程
• 边界值问题
• 函数论
• 复变函数论
• 数学分析

《多复变函数论：几何与分析的交织》 本书旨在深入探讨多复变函数论这一迷人而深刻的数学分支，它将分析的严谨性与几何的直观性巧妙地融为一体，揭示了在更高维度复空间中，函数的行为如何与空间的拓扑和几何结构紧密相连。我们期望为读者，无论是对纯数学充满热情的本科生、研究生，还是需要深入理解相关理论的研究者，提供一个全面而富有洞察力的导览。 本书的核心目标是建立一个坚实的多复变函数论理论框架，并在此基础上，展现其在解析几何、代数几何、微分几何以及理论物理等诸多前沿领域的广泛应用。我们将从最基础的概念出发，逐步构建起理解复杂性并驾驭高维复空间的工具。 第一部分：复流形与Cauchy-Riemann方程的几何内涵 我们将从定义复流形这一多复变函数论的“舞台”开始。复流形是在光滑流形上赋予复结构的概念，它使得我们可以将复分析的工具自然地推广到高维空间。我们不会仅仅停留在抽象的定义，而是会通过具体的例子，例如复射影空间 $mathbb{CP}^n$ 和复仿射空间 $mathbb{C}^n$，来阐释复结构的直观意义。 接下来的重点将是Cauchy-Riemann方程（CR方程）。在单复变函数论中，Cauchy-Riemann方程是全纯函数的标志。在多复变情形下，CR方程组及其对函数解析性的制约，将揭示出与单复变截然不同的丰富现象。我们将深入分析CR方程组的结构，以及它们如何定义了CR函数。更重要的是，我们将探讨CR方程组与微分几何的深刻联系。考虑一个实光滑流形上的切空间，CR方程组实际上是在这个切空间上定义了一个特殊的复子空间，从而引入了复结构的黎曼几何框架。我们将分析CR方程组在局部和整体上的性质，以及它们如何约束函数的行为。 第二部分：Hartogs现象与多圆盘的性质 Hartogs现象是多复变函数论中最令人惊叹的发现之一。它揭示了在多于一个复变量的情况下，解析函数的局部性原理会被极大地削弱。我们将详细阐述Hartogs现象，并通过构造性的例子说明，一个在多圆盘（由多个单复变圆盘的笛卡尔积构成）的“边界”上解析的函数，可以被唯一地延拓到整个多圆盘的内部。这将与单复变函数论中，在区域边界处解析的函数不一定能延拓到内部的情况形成鲜明对比。 通过对多圆盘的深入研究，我们将理解其特殊的拓扑和几何性质如何促成了Hartogs现象。例如，我们将讨论多圆盘的凸性，以及这种凸性如何与解析延拓紧密相关。同时，我们将引入诸如“ Reinhardt区域”等更一般的凸区域，并探讨在这些区域上解析函数的性质。 第三部分：多复变函数论的积分表示与Remmert-Stein定理 与单复变函数论中经典的Cauchy积分公式相对应，多复变函数论也发展出了一系列强大的积分表示工具。我们将重点介绍Leray-Cousin分解和Bergman核等概念。Leray-Cousin分解为理解多复变函数提供了新的视角，它将一个区域上的函数分解为在更简单的区域上的函数的组合，从而便于分析。Bergman核则是一种强大的工具，它与区域的几何形状紧密相关，并且在构造奇点延拓和解决偏微分方程问题中发挥着至关重要的作用。 Remmert-Stein定理是多复变函数论中的一个里程碑式的成果。该定理表明，在光滑复流形上，解析集（即局部上由一组全纯函数零点定义的点集）的图像在某个条件下仍然是解析集。我们将详细阐述Remmert-Stein定理的陈述及其证明思路，并探讨其在代数几何中的重要意义。我们将看到，解析集不仅仅是孤立的点或者曲线，它们可以拥有更复杂的几何结构，而Remmert-Stein定理则确保了这些结构在“光滑”的变换下能够得到保持。 第四部分：Bochner-Martinelli公式与Holomorphic Approximation Bochner-Martinelli公式是多复变函数论中一个与Cauchy公式类似的积分公式，它在处理非凸区域上的解析函数以及构建Levi形式等方面具有不可替代的作用。我们将详细推导Bochner-Martinelli公式，并解释其与区域的边界几何形状的关系。通过这个公式，我们可以将区域上的函数通过积分的方式表示出来，从而深入分析其解析性质。 Holomorphic approximation（全纯逼近）是多复变函数论中一个极其重要的方向。其核心思想是，在某些条件下，我们可以用全纯函数来逼近任意的连续函数，甚至是一些不那么“好”的函数。我们将介绍Runge定理及其推广，该定理是全纯逼近的基石。我们将看到，即使是在有“洞”的区域，我们也能够用全纯函数来逼近区域外的连续函数。我们将进一步探讨，当区域是凸的时候，逼近的难度会大大降低，而当区域变得复杂时，逼近的问题也变得更具挑战性。我们将介绍Cartan-Thullen定理，它给出了一个区域是“holomorphically convex”（全纯凸）的刻画，而全纯凸性是实现全纯逼近的重要条件。 第五部分：Levi形式与Holomorphic Convexity Levi形式是衡量一个复流形或复区域的“弯曲度”的几何工具，它直接关联到多复变函数论中的核心问题——全纯凸性。我们将首先回顾实值函数的Hessian矩阵，然后将其推广到复值函数的Jacobian矩阵，并最终引入Levi形式。我们将分析Levi形式的正定性如何对应于区域的“凸性”，以及当Levi形式为负半定时，会发生什么。 基于Levi形式的分析，我们将深入探讨Holomorphic Convexity（全纯凸性）的概念。一个区域被称为全纯凸，如果它等于其所有全纯函数的取零点集合的交集。我们将证明，一个区域是全纯凸当且仅当其Levi形式在边界上是半正定的。这一结论是多复变函数论中的一个重要桥梁，它将分析上的性质（全纯凸性）与几何上的性质（Levi形式）联系起来。全纯凸性对于全纯逼近、解析延拓以及诸如 Oka 定理等一系列重要定理的成立至关重要。 第六部分：Sheaf Theory与Cohomology 为了更深刻地理解多复变函数论的整体性质，我们将引入Sheaf Theory（层论）和Cohomology（上同调）这两个抽象而强大的数学工具。层论提供了一种在局部上定义和研究数学对象的框架，而上同调则是在这个框架下研究全局性质的有力手段。 我们将从定义层开始，例如全纯函数层 $mathcal{O}_X$ 和可微函数层 $mathcal{C}^infty_X$。我们将展示如何利用层来描述多复变函数论中的各种对象，例如解析集、向量丛等。接着，我们将引入上同调群 $H^q(X, mathcal{F})$，并解释它们如何衡量一个空间 $X$ 上层 $mathcal{F}$ 的“全局性质”。我们将重点关注 $H^q(X, mathcal{O}_X)$，并展示它与函数在区域上的存在性、解析延拓等问题之间的深刻联系。著名的Cartan Theorem A 和 Cartan Theorem B 将在这里得到阐述，它们分别给出了在光滑流形上，当 $q>0$ 时，$H^q(X, mathcal{O}_X) = 0$ 的条件，以及在特定条件下，$H^0(X, mathcal{O}_X)$ 的结构。这些定理是多复变函数论发展的基石，它们为理解复流形上的全纯函数提供了全局的视角。 第七部分：应用与展望 本书的最后部分将聚焦于多复变函数论在各个领域的应用。我们将探讨其在解析几何中的作用，例如描述代数簇的结构，以及在代数几何中，复解析集与代数簇之间的联系。在微分几何领域，我们将看到多复变理论如何被用来研究复黎曼流形，例如Kähler流形，以及这些流形上的全纯向量丛。 此外，我们还将简要介绍多复变函数论在理论物理中的影响，例如在弦理论、规范场论和量子场论中的应用。理解高维复空间中的函数行为，对于描述基本粒子、量子场以及时空结构至关重要。 最后，我们将对多复变函数论的未来发展方向进行展望，包括其在复动力系统、几何分析以及更广泛的数学交叉领域中的潜力。 本书力求在严谨的数学推导与清晰的几何直观之间取得平衡，希望能够激发读者对多复变函数论的兴趣，并为他们打开一扇通往更深层次数学世界的大门。

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书中提供的例题和练习设置得非常巧妙，但遗憾的是，答案和详细的解题过程却付之阙如。这使得我们在自我检验学习成果时，只能依靠猜测和反复验证，效率低下且容易产生挫败感。对于一个如此深奥的主题，详细的例题解析是巩固理论知识的生命线。没有了这些“脚手架”，很多抽象的概念就很难真正落地生根。我特别希望作者能在再版时增加一个详细的习题解答手册，哪怕是作为附录也好。这样，读者在尝试解决那些难题时，至少有了一个可以对照和学习的参照物，而不是孤军奋战，对着空白页发呆。这种缺失感，极大地影响了这本书作为学习工具的完整性。

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这本书的语言风格过于晦涩和学术化，读起来有一种被拒之门外的感觉。作者似乎更倾向于使用最精确、最专业的术语，而不是用更易于理解的方式来阐述复杂的思想。很多句子结构复杂到需要反复阅读好几遍才能捕捉到其核心含义。我常常觉得，自己不是在学习数学，而是在进行一场艰苦的密码破译工作。这种“高冷”的写作方式，虽然保证了内容的严谨性，却极大地削弱了其作为教材或参考书的实用性。我希望作者能够放下身段，用更贴近读者的语言，哪怕是牺牲一点点形式上的完美，来换取更广泛的理解和接受度。对于那些渴望进入这个领域的后学者来说，这种隔阂感真的非常令人沮丧。

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这本书的理论深度令人敬畏，但讲解的逻辑跳跃性太大了。它似乎默认读者已经对基础知识了如指掌，然后直接一头扎进了那些令人头皮发麻的定理和证明中。我常常需要对照好几本入门级的教材，才能勉强跟上作者的思路。很多关键的过渡步骤被一笔带过，留给读者的只有满脑子的问号。对于初学者来说，这本书无疑是高不可攀的陡峭山峰，每一步都需要大量的额外努力去填补知识的空白。我感觉自己像是在攀登珠穆朗玛峰，每一步都走得异常艰难，而且常常因为看不清前方的路径而感到迷茫。如果作者能在细节上多花一些笔墨，尤其是在那些容易混淆的概念之间建立更清晰的桥梁，这本书的价值会大大提升。

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这本书的排版和装帧简直是灾难。我拿到手的时候就有一种不祥的预感，打开一看，果然如此。字体大小不一，间距混乱，甚至有些地方的墨迹都有些模糊不清，看得我眼花缭乱。更别提那些图表了，简直是抽象派艺术的典范，线条交错，标注缺失，我花了很长时间才勉强弄明白它们想表达什么。说实话，如果不是因为内容实在太重要，我早就想把它扔到一边了。感觉作者和出版社对读者的阅读体验根本不在乎，只顾着把那些深奥的理论塞进来，却忘了如何把它们清晰地呈现出来。这样的书，读起来简直是一种折磨，每翻一页都像是在进行一场智力与耐力的双重考验。我不得不承认，在阅读体验这一项上，这本书的得分几乎是零。

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这本书的侧重点似乎过于集中在理论的证明和抽象的构造上，而对其实际应用和在其他领域的联系探讨得相对较少。虽然掌握核心的数学工具是至关重要的，但如果能辅以一些现实世界中的例子，或者指出这些理论在物理学、工程学或其他交叉学科中的潜在价值，无疑会极大地激发读者的学习热情。我读完后，虽然脑子里装满了各种复杂的公式和定理，但总觉得缺乏一个清晰的“为什么”——为什么我们需要这些工具，它们究竟能解决什么问题？这种应用层面的缺失，使得这本书更像是一部纯粹的理论手册，而非一本能引领我们探索未知领域的指南。对于希望看到数学与现实世界互动的读者来说，这无疑是一个遗憾。

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