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出版者:Springer

作者:Marc Hindry

出品人:

页数:571

译者:

出版时间:2000-3-23

价格:USD 64.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387989815

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
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• 代数几何7
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• Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
• Elliptic curves
• Modular forms

《数论中的几何方法》 这是一本探索数论深层结构的著作，它将抽象的数论概念与直观的几何语言相结合，揭示了数与形之间令人着迷的联系。本书致力于深入浅出地阐述那些在代数数论、代数几何以及数论应用领域扮演核心角色的几何思想和技术。 本书并非对某一特定数学分支的简单罗列，而是着重展现一种看待和解决数论问题的独特视角。它假定读者已具备一定的代数和基础数论知识，并能理解抽象代数中的基本概念，例如域、环、理想以及模。在此基础上，本书将引领读者走进一个由曲线、簇、向量丛和射影空间构成的世界，并揭示这些几何对象如何成为理解丢番图方程解集性质的强大工具。 全书的结构精心设计，从最基本的概念出发，逐步引入复杂的理论。开篇部分可能详细回顾并扩展我们对整系数多项式方程解集的几何化理解。例如，对于一个变量的丢番图方程，其解集在数轴上是离散的点；而对于两个变量的方程，其解集可以被看作是二维平面上的点集，进一步可以关联到代数曲线。本书将深入探讨这些几何直觉的严谨数学化过程。 随后，本书将重点关注更具挑战性的代数簇（algebraic varieties）。代数簇是由多项式方程组的公共零点构成的集合。在数论的语境下，我们特别关注定义在有理数域上的代数簇，即其系数是整数或有理数的方程所定义的簇。理解这些簇的有理点集（即坐标都是有理数的点）的分布和结构，是本书的核心目标之一。例如，如何判断一个代数曲线是否拥有无穷多个有理点，或者如何描述这些点的分布规律，是丢番图几何中的经典问题。 本书将详细介绍一些关键的几何工具和理论。其中，“模形式”（modular forms）将占据相当重要的篇幅。模形式是一类具有特殊对称性和变换性质的复变函数，它们与数论中的许多深层问题，特别是与椭圆曲线、整数分拆以及平方和问题有着密切的联系。本书将阐述模形式如何被构建、它们的性质以及它们如何提供关于代数簇有理点的重要信息。 “椭圆曲线”（elliptic curves）是本书的另一个核心主题。椭圆曲线是形如 $y^2 = x^3 + Ax + B$ 的非常光滑的代数曲线。它们在数论中具有无与伦比的重要性，不仅因为它们是丢番图方程的典型例子，还因为它们与数论中的许多重大猜想，如费马大定理，有着深厚的渊源。本书将深入探讨椭圆曲线的代数结构，例如其上的加法运算，以及与之相关的模形式（通过其j-不变量）。更重要的是，本书将详细介绍格罗滕迪克（Grothendieck）发展的“概形理论”（scheme theory）及其在理解代数簇的“企图”（schemes）上的作用，特别是对“基域”（base field）进行扩张和收缩，从而捕捉更丰富的代数信息。 本书还将触及“代数簇的相交论”（intersection theory）和“上同调理论”（cohomology theory）。这些工具能够帮助我们量化代数簇的某些几何和拓扑性质，例如两个簇的交点的“重数”（multiplicity）。在数论问题中，这些量化性质往往能转化为关于方程解集的深刻洞察。例如，利用上同调理论可以研究代数簇的“Tate-Shafarevich群”，这个群的消失与否直接关系到丢番图方程是否有解。 此外，本书还会探讨“向量丛”（vector bundles）及其与代数簇的性质之间的关系。向量丛为代数簇提供了额外的“纤维”（fibers），这些纤维的性质可以揭示簇的整体结构。例如，簇上的“全纯向量丛”（holomorphic vector bundles）的分类能够提供关于簇的拓扑和几何信息，而这些信息又可以通过“Serre对偶性”（Serre duality）等定理与数论问题联系起来。 对于那些对“p进数”（p-adic numbers）和“p进几何”（p-adic geometry）感兴趣的读者，本书也可能提供相关的引言。p进数域为数论提供了一个重要的分析工具，而p进几何则是在p进数域上进行几何研究。例如，p进数域上的代数簇可能表现出与实数域或复数域上的代数簇截然不同的性质，理解这些性质对于解决某些特定的丢番图方程至关重要。 总而言之，《数论中的几何方法》是一本致力于培养读者对数论问题进行几何化思考能力的著作。它通过引入抽象代数几何的工具和思想，为理解和解决古老而又富有挑战性的丢番图问题提供了全新的视角和强大的方法论。本书适合作为研究生课程的教材，或供对代数数论、代数几何和数论交叉领域有浓厚兴趣的研究人员参考。它将带领读者跨越纯粹的代数计算，进入一个充满几何美感和深刻数学洞察的世界。

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这本书《微分几何基础》给我的感觉是，它像一首精心谱写的交响乐，从最简单的曲线和曲面开始，逐渐引入黎曼曲率、联络（connections）等宏大主题。作者的文笔优雅而精准，充满了对几何之美的赞叹，使得即便是学习那些复杂的微分形式和外导数时，也能感受到一种美学上的享受。我尤其欣赏作者对“曲率”概念的引入和发展，他是如何一步步将日常生活中对“弯曲”的模糊理解，转化为精确的、可计算的代数不变量的。书中对德拉姆上同调的介绍非常克制和自然，它被当作工具而非最终目的来展示，与前述的向量场和积分形式的讨论完美融合。读完这本书，我感觉自己不再是简单地应用公式，而是真正开始“理解”空间是如何在其自身上定义几何结构的。它为我打开了通往更高级的广义相对论和拓扑场论的大门，阅读过程是艰辛的，但收获是巨大的，无疑是该领域内一本里程碑式的著作。

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我必须承认，《线性代数与矩阵理论》这本书的深度远超出了我预期的“基础”范畴。市面上关于线性代数的好书很多，但大多停留在向量空间、特征值和对角化的层面。而这本书，它毫不留情地深入到了张量（tensors）、内积空间的高级应用以及矩阵分解的数值稳定性分析。对于工程背景或者想从事计算科学的人来说，这本书的价值无可估量。它不满足于告诉你“怎么做”，而是深入探讨了“为什么这些操作是稳定的”以及“在实际计算中会遇到什么问题”。我个人对书中关于奇异值分解（SVD）的几何意义的探讨印象深刻，作者用非常简洁的语言解释了SVD在数据降维中的核心作用，这比我之前看过的任何一本数据科学书籍都要透彻。唯一的缺点是，对于纯粹的数学理论导向的读者，部分涉及数值分析的部分可能显得略微冗余，但瑕不掩瑜，它为工具型和理论型的读者都提供了极具价值的桥梁。

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作为一名初学者，我对这本《抽象代数基础》的评价是：挑战与惊喜并存。坦白说，一开始我被那些群论、环论和域论的符号吓得不轻，感觉像是在阅读一本来自外星文明的说明书。书中的理论推导非常严密，逻辑链条几乎没有一丝松动，这对于追求精确的数学研究者来说无疑是优点，但对于我这种半路出家的学习者来说，初期阅读体验略显枯燥。不过，一旦撑过了前几章关于基本结构的介绍，后面的内容，特别是关于伽罗瓦理论的部分，简直是柳暗花明。作者在解释为什么需要这些抽象结构时，给出了非常深刻的历史背景和动机，这极大地激发了我的学习兴趣。这本书的习题量适中，但难度梯度设计得非常巧妙，有些证明题需要跳出书本的框架去思考，非常锻炼人。总而言之，这不是一本让你轻松入门的书，但如果你想打下坚实的基础，它绝对是上乘之选。

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《拓扑学：直观与严谨》这本书完美地平衡了直觉的培养和形式化的要求，我个人非常欣赏这种处理方式。作者显然深谙如何与读者沟通，他没有直接把读者推入庞大的同伦群和上同调的泥潭，而是先用大量生动的例子来描绘空间的形变、连续映射的性质。比如，他对流形（manifolds）的介绍，结合了微分几何的直觉，使得原本抽象的概念变得可触摸。我特别喜欢他讨论紧致性（compactness）和连通性（connectedness）时的阐述，文字非常流畅，读起来有一种韵律感。当然，到了证明环节，丝毫不含糊，该用的 $epsilon-delta$ 语言或者开集覆盖的逻辑一点都不能少。这本书的排版和图示设计也是一流的，那些二维的、三维的图例清晰地辅助理解高维概念。如果你是那种需要“看到”数学才能理解的视觉型学习者，这本书会让你感觉非常受用，它真的做到了让抽象变得可以感知的程度。

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这本厚厚的《代数几何导论》简直是数学爱好者的圣经！我花了整整一个夏天啃完了它，每翻开一页都感觉像是在攀登一座知识的高峰。作者的叙述风格非常扎实，毫不含糊，就像一个经验丰富的向导，一步步引导我们穿越复杂的拓扑空间和代数结构。书中对概形（schemes）的介绍尤其精彩，从 Zariski 拓扑讲起，层层递进到更抽象的语言，让人茅塞顿开。虽然有些地方需要反复阅读才能真正消化，但一旦理解了那些核心概念，你会发现整个数学世界都变得清晰起来。比如，在处理局部化和射影空间时，作者的例子总是那么恰到好处，既具有启发性，又不会过于繁琐。这本书的数学深度毋庸置疑，适合那些不满足于停留在经典代数几何表面的读者，想要深入理解现代几何语言的人，绝对值得拥有。看完后，感觉自己的数学思维都被重塑了一遍，对“空间”的理解达到了一个新的高度。

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