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出版者:人民邮电出版社

作者:Sheldon Axler

出品人:

页数:264

译者:杜现昆

出版时间:2009

价格:39.00元

装帧:平装

isbn号码:9787115206145

丛书系列:图灵数学·统计学丛书

图书标签:

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《代数思维：从数域到高维几何的桥梁》图书简介 导言：超越计算的结构之美 代数，作为数学的基石之一，其力量远超简单的数字运算与公式推导。《代数思维：从数域到高维几何的桥梁》旨在带领读者深入理解代数结构本身的美学与逻辑，探索如何运用代数视角来解析现实世界中看似复杂的问题。本书聚焦于代数的核心概念，而非仅仅停留在工具性的应用层面，强调构建坚实的理论框架，使读者能够灵活应对从抽象代数到应用数学的各种挑战。 本书的叙事线索清晰，从最基础的集合与运算出发，逐步攀升至群、环、域等抽象代数结构，并巧妙地将这些理论工具映射到具体的应用领域，尤其是群论在对称性分析中的威力，以及环与域在数论和密码学中的基础地位。我们不将代数视为一组孤立的定理的集合，而是一套统一的、描述结构关系的网络。 第一部分：基础奠基——结构与映射的初探 本书的开篇聚焦于建立清晰的“结构”概念。我们从集合论的严谨性出发，但迅速过渡到定义二元运算和满足特定性质的代数系统。 第一章：代数世界的基石——集合与运算的自洽性 本章深入探讨了封闭性、结合律、交换律等基本公理如何定义一个“代数结构”。我们详细分析了二元运算的良定义问题，这是后续所有理论构建的逻辑起点。通过对整数集、有理数集在加法和乘法下的表现进行细致对比，读者将初步体会到不同结构之间的差异性。 第二章：群论的开端——对称性的语言 群论是代数世界中最纯粹、也最具解释力的分支之一。本章引入群的四大公理，并用大量的例子来阐述其重要性：从加法群到非零有理数乘法群，再到更具几何意义的二面体群 $D_n$ 和循环群 $C_n$。我们重点剖析了子群、陪集和拉格朗日定理。拉格朗日定理在这里不仅仅是一个计算工具，而是被解读为“有限群中，任何子结构的阶必须整除总体的阶”这一深刻的结构限制。 第三章：同态与同构——结构的等价性 如果说群定义了结构，那么同态（Homomorphism）和同构（Isomorphism）则定义了结构之间的关系。本章是理解抽象代数的关键。我们详细区分了保持结构（如运算）的映射与仅仅是集合间的映射。同构的概念被提升到哲学层面：两个结构在本质上是否相同？通过正规子群和第一同构定理（或称规范子群定理），我们揭示了商群（Factor Group）是如何通过“消除”一个特定子群的信息，来获得一个更简洁、结构更清晰的代数对象。 第二部分：环与域——代数结构的延伸与深化 在掌握了群论的单操作结构后，我们将视角扩展到具有两种运算的系统——环（Ring）。环论是连接数论、几何和分析的关键桥梁。 第四章：环的建立——双操作的交互 环的定义要求满足加法群的结构，以及乘法的结合律和分配律。本章细致区分了交换环、带单位的环、整环（Integral Domain）和域（Field）。我们通过整数环 $mathbb{Z}$ 的特性，引出零因子（Zero Divisors）的概念，并解释了整环作为“没有零因子的交换环”为何如此重要——它保证了除法运算在一定程度上的可逆性。 第五章：域的完备性与构造 域是代数中最“理想”的运算环境，所有非零元素都存在乘法逆元。本章深入探讨了有限域（伽罗瓦域 $GF(p^n)$）的构造及其在编码理论中的应用。同时，我们讨论了多项式环 $F[x]$ 的性质，特别是当 $F$ 是一个域时，多项式环的独特结构，这为理解域的扩张奠定了基础。 第六章：理想与模——环中的“子结构” 类似于群中的子群和陪集，环中有“理想”（Ideal）。理想不仅要求保持加法结构，还必须与乘法运算具有特定的兼容性（吸收性）。本章详述了主理想、素理想和极大理想的概念，并展示了商环（Quotient Ring）的构造。通过将理想与第一同构定理联系起来，我们展示了代数结构理论的统一性。 第三部分：理论的映射与展望 最后一部分，我们将抽象的代数框架投射到具体的数学分支，展示代数思维的普适性。 第七章：线性代数的代数视角——向量空间与模 虽然本书不是专门的线性代数教材，但我们从抽象代数的角度重新审视向量空间。向量空间被严格定义为域上的模（Module）。我们探讨了自由模、秩的概念，并解释了为什么在线性代数中，我们特别关注“域上”的模，因为域的性质保证了更丰富的结构，如基的存在性。本章强调了矩阵表示法背后的同构映射本质。 第八章：数论与代数——费马大定理的代数回响 代数在数论中的应用无处不在。本章以代数数论的视角，探讨了唯一分解整环（UFD）的概念。我们通过实例说明了并非所有的整环都是UFD（例如 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$），并解释了这如何直接导致费马大定理在特定环上的证明失败。这部分内容旨在激发读者用代数结构来理解数论问题的动机。 第九章：对称性与应用——群论的现代应用 本章回归群论，聚焦于更复杂的应用，例如晶体学中的点群和空间群，以及在密码学中群结构是如何被利用来构造公钥系统的。我们简要介绍了有限域上的椭圆曲线群，展示了代数结构如何成为现代信息安全的核心支柱。 结语：掌握思维，而非公式 《代数思维：从数域到高维几何的桥梁》力求提供一个严谨、连贯且富有洞察力的代数学习体验。本书的目标不是让读者记住多少定理，而是培养一种“代数思维”——即识别、抽象和操作结构的能力。通过对群、环、域的系统性学习，读者将获得一套强大的逻辑工具，能够更深刻地理解数学的各个分支，并将其应用于更广阔的科学领域。这本书是献给所有渴望超越表面计算，直抵数学本质结构之美的学习者的指南。

评分☆☆☆☆☆

现在回头看，其实就是早先国内教法僵化，赶不上时代了，这本书又恰巧被引进过来，所以显得弥足珍贵。 ------------------------------------------------------------------- 给大学新生上的线性代数和高等数学课，也许是为了侧重灌输实用知识，教给学生的更多是一堆眼花缭乱的...  

评分☆☆☆☆☆

毕业已有许多年，此次因为某些原因，重拾线性代数，有幸读到这本书。 本书强调本质和动机，从另外一个角度诠释了线性代数，读过之后不但知其然，更加知其所以然。一般的书中只会教你如何把矩阵化成上三角阵，而这本书则会告诉你上三角阵的真正含义是什么。虽然矩阵与行列式是被...  

评分☆☆☆☆☆

第二遍看线性代数，有点也有：最明显的就是本书的讲解逻辑还是挺好的，例如告诉你矩阵乘积是为何这样定义的（这点要比我大学的教材好一万倍）。 这么好的书为啥我给了2颗星，因为这书我看到一半的时候就有一种日了狗的感觉，我买这本书是想温习一遍大学的线性代数，可这本书对...

评分☆☆☆☆☆

现在回头看，其实就是早先国内教法僵化，赶不上时代了，这本书又恰巧被引进过来，所以显得弥足珍贵。 ------------------------------------------------------------------- 给大学新生上的线性代数和高等数学课，也许是为了侧重灌输实用知识，教给学生的更多是一堆眼花缭乱的...  

评分☆☆☆☆☆

考研的时候上过李永乐的线性代数课，学到了很多计算方法和做题技巧，但仅限于这个层面，对于一些线性代数的insight完全不懂。最近在准备考博复习的时候，《矩阵论》这本书看的实在是太卡壳了，决定还是先补一下线性代数的基础知识，对线性代数的认识不能只停留在计算层面，在知...  

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，学习数学是一件枯燥乏味的事情，需要花费大量的时间和精力去记忆那些晦涩难懂的公式和定理。《线性代数应该Thus Learned》这本书，却用它独特的方式，彻底改变了我对数学的看法。它将抽象的数学概念，通过生动形象的类比和详实的案例，变得易于理解和掌握。作者在讲解“矩阵乘法”时，并没有直接给出计算规则，而是将其与“多步线性变换的复合”联系起来。他会展示一个向量经过一系列变换后，最终的结果，并解释说，这些连续变换的效果，可以由一个单独的矩阵来表示，而这个矩阵就是原先各个变换矩阵的乘积。这种将抽象运算与实际过程联系起来的方式，让我深刻理解了矩阵乘法的几何意义。书中关于“向量空间的维数”的讲解也同样精彩。我之前认为维数就是一个数字，但这本书解释了维数代表着“生成整个空间所需的最小线性无关向量的数量”。它会用一个二维平面作为例子，说明只需要两个不共线的向量就可以生成整个平面，因此二维平面的维数是2。这种对维数的直观理解，让我更容易接受更复杂的向量空间。再比如，关于“齐次线性方程组”和“非齐次线性方程组”的讲解，作者将其与“系统是否存在固有解”和“系统是否存在外在扰动”联系起来。他会展示如何通过找到齐次方程组的基础解系，来表示非齐次方程组的通解。这种对问题的分类和求解思路的梳理，让我学到了系统性的解决问题的方法。这本书不仅仅是传授数学知识，更重要的是，它教会了我如何去“思考”数学，如何去“欣赏”数学的美。

评分☆☆☆☆☆

在我看来，很多数学书籍的缺点在于它们过于强调“形式”，而忽略了“内容”本身。《线性代数应该Thus Learned》则完全颠覆了我的这种看法。它将“形式”本身作为探索“内容”的工具，让你在理解形式的同时，也掌握了内容。作者在讲解“线性方程组”的解法时，并没有只停留在高斯消元法，而是将其与“向量在矩阵变换下的映射”联系起来。他会展示一个矩阵如何将一个向量空间“压缩”或“扭曲”，而线性方程组的解，就是寻找那些在变换后恰好落在一个特定位置的原始向量。这种几何的理解方式，让我对解方程组的本质有了更深刻的认识。书中关于“矩阵的对角化”的讲解也同样令人印象深刻。我之前只是知道对角化可以简化矩阵运算，但这本书解释了对角化背后隐藏的“系统的主成分”的概念。通过找到一组特征向量作为新的基，可以将原有的复杂变换简化为沿新坐标轴的单纯缩放，这对于理解许多实际问题，比如数据降维和系统稳定性分析，至关重要。作者还会深入探讨当矩阵不可对角化时，如何使用“若尔当标准型”来近似表示，并解释其意义。这让我看到了数学的严谨性和其解决复杂问题的能力。此外，关于“正交性”的讲解也十分精彩。它不仅仅是向量“垂直”的概念，更是“独立性”和“信息不重叠”的体现。在信号处理和图像压缩等领域，正交基能够极大地提高效率和减少冗余。这本书让我看到了线性代数不仅仅是抽象的数学理论，更是解决现实世界复杂问题的强大工具。

评分☆☆☆☆☆

在我过往的学习经历中，数学往往是一种“已知条件，求解未知”的模式，而《线性代数应该Thus Learned》这本书，却巧妙地采用了“已知现象，探究本质”的学习路径，这对我来说是一种全新的、极具启发性的体验。作者在讲解“线性回归”时，并没有直接给出复杂的公式，而是从“如何用一条直线最好地拟合一组散点数据”这样一个实际问题出发。他会让你思考，什么样的直线能够“最接近”这些数据点，然后逐步引出“最小二乘法”的概念，并解释说，最小二乘法就是通过最小化所有数据点到直线的垂直距离平方和来确定最佳拟合直线。这种从问题到方法的讲解方式，让我更容易理解和接受。书中关于“投影矩阵”的讲解也同样出色。我之前认为投影矩阵只是一个计算工具，但这本书解释了投影矩阵如何将一个向量“映射”到某个子空间上，使其最接近原向量。它会用一个三维空间中的点向一个二维平面投影的例子，让你直观地感受到投影矩阵的作用。而且，他还进一步解释了投影矩阵的性质，以及如何利用它来解决一些实际问题，比如数据降维和信息过滤。再比如，关于“奇异值分解（SVD）”的讲解，虽然这部分内容比较深入，但作者通过“将一个复杂的变换分解为更简单的旋转、缩放、再旋转”的直观解释，让我对SVD有了初步的了解。他会将其与图像压缩、推荐系统等实际应用联系起来，展示了SVD的强大威力。这本书不仅仅是传授知识，更重要的是，它培养了我解决数学问题的思维方式，让我学会了如何去“运用”数学，而不是仅仅“记忆”数学。

评分☆☆☆☆☆

我一直以为线性代数就是一堆数字和符号的堆砌，离我的生活很遥远。直到我读了《线性代数应该Thus Learned》这本书，才发现原来它无处不在。这本书最大的亮点在于，它将抽象的数学概念与生活中的实际应用紧密结合，让我仿佛在体验一场数学的“探险”。作者在讲解“向量空间”时，没有上来就抛出各种定理，而是先从“所有可能的结果”这个角度来描述。比如，在玩电子游戏时，角色的位置、速度、方向都可以用向量来表示，而所有可能的角色状态就构成了一个向量空间。这种联系，瞬间拉近了数学与我的距离。再比如，关于“基”的概念，作者用了“坐标系”的类比，解释了为什么需要一组“线性无关”的向量来构成一个基，就像我们在二维平面上需要x轴和y轴一样。而且，他还进一步解释了不同基下向量表示的差异，以及如何进行基的转换。这让我对“视角”和“表示”有了更深的理解。书中关于“特征值”和“特征向量”的讲解也极其精彩。我之前对这个概念的理解一直很模糊，但作者通过“系统在某种特定状态下，其行为可以简化”来解释，比如一个国家的经济发展，可能存在一些“核心驱动力”，这些驱动力就是特征向量，而它们对经济增长的影响程度就是特征向量。这种与宏观概念的联系，让我对抽象的数学工具有了更宏观的认识。这本书就像是一本秘籍，它不是直接告诉你答案，而是引导你去发现答案背后的逻辑和美妙之处。每一次翻开这本书，都有一种新的发现和启发，让我对数学的理解不断深化。

评分☆☆☆☆☆

我一直以为线性代数是一门与我的生活息息相关的学问，但《线性代数应该Thus Learned》这本书，却让我看到了它在各个领域的广泛应用。它不仅仅是一本教科书，更像是一本引人入胜的数学故事书。作者在讲解“线性代数在计算机图形学中的应用”时，通过展示三维模型是如何通过矩阵变换来实现旋转、缩放、平移的，让我惊叹于数学的力量。他会详细解释每个变换对应的矩阵，以及它们如何组合起来实现复杂的动画效果。这种将抽象概念与视觉呈现相结合的方式，让我对计算机图形学产生了浓厚的兴趣。书中关于“线性代数在机器学习中的应用”的讲解也同样令人印象深刻。作者将“线性回归”、“支持向量机”等概念，与矩阵运算、向量空间紧密联系起来。他会解释说，机器学习模型本质上是将输入数据通过一系列线性变换，然后进行非线性处理，最终得到预测结果。而矩阵就是实现这些线性变换的核心工具。这种对底层数学原理的揭示，让我对机器学习有了更深入的理解。再比如，关于“线性代数在信号处理中的应用”，作者会解释说，信号可以看作是由一系列基本波形（比如傅里叶级数）组成的，而线性代数则可以用来分析和处理这些信号。他会展示如何利用矩阵来对信号进行滤波、降噪等操作。这种将抽象的数学概念与实际的信号处理过程联系起来的方式，让我感受到了数学的实用性和强大生命力。这本书不仅仅是传授数学知识，更重要的是，它激发了我对数学的探索欲望，让我相信数学是理解世界的钥匙。

评分☆☆☆☆☆

在我过往的学习经历中，数学往往是一种“已知结果，推导过程”的模式，而《线性代数应该Thus Learned》这本书，却巧妙地采用了“已知过程，探究结果”的学习路径，这对我来说是一种全新的、极具启发性的体验。作者在讲解“内积”时，并非直接给出公式，而是从“两个向量之间的相似度”或者“一个向量在另一个向量上的投影”这样一个直观的角度切入。他会先让你感受不同向量之间的“相关性”，然后引入内积作为量化这种相关性的工具。接着，再逐步展示内积的计算公式，以及它在计算夹角、长度等方面的应用。这种从“为什么需要这个概念”到“如何计算”的学习流程，让我更容易接受并理解新知识。关于“矩阵的逆”，这本书也做得非常出色。我之前一直觉得矩阵的逆就像是“除法”，一个用来“抵消”原矩阵作用的工具。但这本书通过“逆变换”的概念，解释了逆矩阵如何将经过一个线性变换的向量恢复到原始状态。它会用一个图像变换的例子，比如先放大再缩小，或者先旋转再反向旋转，来让你深刻理解逆矩阵的作用。作者甚至会讨论并非所有矩阵都有逆，以及如何判断一个矩阵是否有逆，这使得整个概念更加完整和深入。此外，书中对于“最小二乘法”的讲解也让我耳目一新。我一直以为这是统计学的内容，但这本书将其与线性代数的“投影”概念联系起来，解释了如何在一个不精确的数据集合中，找到一条最能代表这些数据的直线。这种跨学科的知识整合，让我看到了线性代数在解决实际问题中的强大潜力。总而言之，这本书不仅传授了知识，更重要的是，它培养了一种解决数学问题的思维方式，让我学会了如何去“理解”数学，而不是仅仅“记忆”数学。

评分☆☆☆☆☆

一直以来，我对数学的理解都停留在高中课本的层面，对那些抽象的概念总是感到力不从心。尤其是数学分析，那密密麻麻的证明和定义，简直像一座无法逾越的高山，让我望而却步。直到我偶然翻开了这本《线性代数应该这样学》，我才发现，原来数学也可以如此清晰、如此有趣。作者以一种非常直观和易于理解的方式，将那些曾经让我头疼的线性代数知识娓娓道来。他不仅仅是罗列公式和定理，更是通过大量的实际例子和生活化的比喻，将抽象的概念具象化。比如，在讲解向量时，他不是直接给出定义，而是从生活中的“位移”和“方向”入手，让你立刻就能感受到向量的实际意义。然后，再逐步引入向量的加减、数乘等运算，让你在操作中体会到向量的本质。更让我惊喜的是，书中对于矩阵的讲解。我一直以为矩阵就是一堆数字的排列组合，没什么特别的。但这本书让我看到了矩阵的强大之处。通过矩阵，我们可以轻松地解决线性方程组，进行图像变换，甚至在机器学习和数据科学领域发挥着至关重要的作用。作者在讲解矩阵运算时，也非常注重逻辑性，他会先从矩阵的加减、数乘开始，然后深入到矩阵乘法，并解释清楚为什么矩阵乘法不是可交换的，以及它在实际应用中的意义。每一个概念的引入都非常自然，没有突兀感，仿佛读者一直在跟着作者的思路前进，一步步解锁数学的奥秘。总而言之，这本书完全颠覆了我对线性代数的固有印象，让我从一个“畏惧者”变成了一个“探索者”。它不仅仅是一本教材，更像是一本引路书，带领我走进了更广阔的数学世界。

评分☆☆☆☆☆

我向来是个对理论知识接受程度不高的人，尤其是在接触到复杂的数学公式和证明时，常常会感到力不从心，甚至产生一种“我就不适合学数学”的错觉。《线性代数应该 Thus Learned》这本书，可以说彻底改变了我对这一顽固观念的看法。它不是那种让你死记硬背公式的书，而是通过一种极其巧妙的方式，将线性代数的核心思想渗透到你的认知中。作者在讲解“矩阵的秩”时，没有直接给出抽象的定义，而是从“线性无关”的概念出发，通过“一个向量组中，有多少个向量是真正独立的，能够生成整个向量空间”这样一个通俗易懂的视角来阐释。他会用生活中的例子，比如一组描述不同方向的力，哪些力是多余的，哪些力是基础的，来帮助你理解“线性无关”的含义，进而引申到矩阵的秩。这种由浅入深、层层递进的讲解方式，让我感觉自己不是在被动地接受知识，而是在主动地探索和发现。另一个让我印象深刻的章节是关于“线性变换”的。我之前认为线性变换就是对向量进行一些数学操作，但这本书通过将线性变换的几何意义——比如旋转、缩放、剪切——与矩阵的乘法紧密联系起来，让我看到了它们之间的内在联系。作者会展示一个向量在经过不同矩阵乘法后的变化，并用图示的方式呈现出来，让你直观地感受到矩阵如何“操控”向量。这种可视化教学，对于我这种抽象思维相对薄弱的学习者来说，简直是福音。它让我不再是孤立地记忆那些公式，而是能够理解公式背后的几何意义和实际应用。这本书的每一个章节都充满了这种“点亮”的时刻，让我对线性代数这个曾经令我头疼的学科，产生了前所未有的学习热情和自信。

评分☆☆☆☆☆

我一直对那些“一眼看去就懂”的学习方法感到怀疑，总觉得那些所谓的“捷径”背后隐藏着偷工减料的风险。然而，《线性代数应该这样学》却用它扎实的讲解和清晰的逻辑，打消了我的疑虑。这本书的厉害之处在于，它并没有牺牲严谨性来追求所谓的“易懂”，而是通过精妙的设计，让抽象的概念在读者的脑海中建立起清晰的图像。我尤其欣赏作者在处理“行列式”这个概念时的手法。很多人在学习行列式时，只是死记硬背那些符号和计算规则，却不明白它到底代表着什么。这本书则不然，它从“解线性方程组”这个最实际的应用出发，引出行列式作为判断方程组是否有唯一解的关键。然后，通过几何上的“面积”和“体积”的缩放效应，来解释行列式的意义。这样的讲解方式，不仅让你知道“怎么算”，更让你明白“为什么这么算”，从而从根本上理解了行列式的本质。再比如，在介绍“特征值”和“特征向量”时，作者没有上来就给出一堆公式，而是通过“向量经过线性变换后方向不变，只改变长度”这样一个直观的描述，让你立刻对这两个概念产生了兴趣。接着，再逐步推导出特征方程，让你在解决问题的过程中，自然而然地掌握了计算方法。书中对于“向量空间”的讲解也同样精彩。我曾经以为向量空间只是一个抽象的概念，但这本书通过“所有满足特定条件的向量的集合”这样一个定义，并结合具体的例子，比如二维平面上的直线和所有多项式的集合，让我看到了向量空间的实际应用和延展性。它不仅仅是理论的堆砌，更是对数学思想的深刻剖析。阅读这本书的过程，就像是在解开一个又一个数学谜题，每解开一个，都有一种豁然开朗的成就感。

评分☆☆☆☆☆

我曾经以为学习数学就是记忆公式和定理，然后套用它们来解决习题。《线性代数应该Thus Learned》这本书，却让我看到了数学的另外一种可能性——一种更加具象化、更加直观的学习方式。作者在讲解“向量的长度和夹角”时，并没有直接给出公式，而是从“距离”和“方向”这两个直观的概念入手。他会让你想象在三维空间中，如何确定两个点之间的距离，以及如何描述它们之间的相对方向，然后逐步引出内积和范数这些概念。这种由易到难、由直观到抽象的讲解方式，让我更容易接受。书中关于“线性相关与线性无关”的讲解也同样出色。我之前一直觉得这两个概念有点抽象，但这本书通过“信息冗余”和“基础维度”的比喻，将它们变得清晰易懂。比如，在描述一个物体的位置时，如果已经有了x轴和y轴的坐标，那么z轴的坐标就是多余的，这就是线性相关。而要完全确定一个物体在三维空间中的位置，就需要x、y、z三个独立的轴，这就是线性无关。这样的比喻，让我能够快速抓住概念的本质。再比如，关于“矩阵的转置”和“对称矩阵”的讲解，作者会将它们与“信息的对称性”和“变换的逆过程”联系起来。他会展示一个矩阵在转置后，其元素位置的变化，以及对称矩阵在特征值和特征向量上的特殊性质。这让我看到了数学概念之间的内在联系和统一性。这本书不仅仅是传授知识，更重要的是，它塑造了我对数学的认知，让我相信数学是可以被理解和欣赏的。

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去糊弄别人吧 我看不懂

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符号、讲法等都大不一样，第一次没能完全领会，要读第二遍。

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不适合大多数初学者，尤其是非数学专业的……

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有几个很明显的错误（原版里并没有），相信是印刷造成的而不是翻译错误。

评分☆☆☆☆☆

去糊弄别人吧 我看不懂