Introduction to Algebraic Curves pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Phillip A. Griffiths

出品人:

页数:225

译者:

出版时间:1989-12-31

价格:USD 86.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821845370

丛书系列:Translations of Mathematical Monographs

图书标签:

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代数曲线导论：一场穿越几何与抽象的奇妙旅程 想象一下，你正站在一个充满未知的数学领域入口，眼前铺陈开的是一片由方程编织而成的壮丽景观。这片景观不是静态的，而是随着数学语言的妙笔生花而不断变幻、延伸。这，便是代数曲线的世界。它以一种独特而深刻的方式，将我们熟悉的几何形状与严谨的抽象代数融为一体，展现出数学宇宙中令人惊叹的和谐与奥秘。 《代数曲线导论》这本书，并非仅仅是一份冰冷的公式汇编，而更像是一份邀请函，邀请您踏上一场穿越几何直观与抽象思辨的奇妙旅程。我们将一同探索，如何用代数语言精确地描述和刻画那些我们肉眼可见的曲线，并进一步深入到更为抽象的层面，理解这些曲线背后隐藏的深刻结构。 本书的起点，将是那些最基础，也是最迷人的代数曲线——平面曲线。我们从最简单的方程开始，例如直线 $ax+by+c=0$。你会惊叹于如此简洁的表达式，竟然能精确地描绘出我们二维世界中最直接的“直”的意象。接着，我们将目光投向那些更加柔美或更为复杂的形状：抛物线，它在天体运动、抛物线天线等诸多领域扮演着重要角色；椭圆，它勾勒出行星的运行轨道，也潜藏在建筑设计的优雅弧线之中；双曲线，以其独特的渐近性，在导航系统、光学器件的设计中发挥着关键作用。我们将学习如何通过二次方程 $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ 来系统地分类和理解这些二次曲线，掌握识别它们形状的技巧，并洞察它们在现实世界中的应用。 然而，代数曲线的魅力远不止于此。一旦我们掌握了基础，本书将引领我们进入一个更广阔的天地：高维空间中的代数曲线，以及由更高次方程定义的曲线。我们会遇到例如三次曲线，它们可能展现出比二次曲线更为丰富的拓扑结构，可能包含尖点、节点等有趣的奇点。我们将学习如何通过代数的方法来分析这些奇点的性质，理解它们如何影响曲线的整体形态。 要深入理解代数曲线，就必须引入一些更为强大的数学工具。其中，射影几何扮演着至关重要的角色。在射影几何的框架下，平行线会在“无穷远”处相交，这使得原本在欧氏几何中看似不同的曲线，在高维度的射影空间中可能展现出统一的性质。我们将学习如何将曲线从欧氏空间提升到射影空间，如何理解射影空间的对偶性，以及这些概念如何帮助我们更深入地理解曲线的几何性质。 随着我们对曲线的理解逐渐深入，代数几何的宏伟图景也将徐徐展开。本书将为您揭开代数曲线与数论、拓扑学等学科之间深刻而迷人的联系。例如，我们将探讨代数簇的概念，它将代数曲线的概念推广到更一般的对象。我们会接触到黎曼曲面，这是连接代数曲线和复分析的桥梁，它揭示了代数曲线在复数域上的丰富结构。 理解代数曲线的“本质”，离不开对域（Field）的深入认识。我们将研究在不同域上定义的代数曲线，例如复数域、实数域，甚至是有限域。在有限域上定义的代数曲线，在现代密码学和编码理论领域具有极其重要的应用价值。它们能够提供高度安全的加密方案，并且在纠错码的设计中发挥着关键作用。本书将为读者提供理解这些前沿应用的基础。 当然，任何数学研究都离不开严谨的证明和定理。《代数曲线导论》将系统地介绍支撑代数曲线理论的经典定理。例如，我们将学习贝祖定理（Bézout's Theorem），它精确地量化了两个代数曲线的交点个数，是理解曲线相交性质的基石。我们还将探索克莱因瓶（Klein Bottle）等拓扑学中的有趣例子，了解它们与代数曲线在拓扑上的联系。 本书的讲解风格将力求清晰易懂，同时又不失严谨。我们不会回避数学的抽象性，但会通过大量的例子、图示以及循序渐进的论证，帮助读者建立直观的理解。我们鼓励读者动手实践，通过解决习题来巩固所学知识，并尝试将所学理论应用于解决实际问题。 《代数曲线导论》的目标读者包括但不限于： 对数学，尤其是代数和几何有浓厚兴趣的本科生和研究生。 希望拓展数学视野，学习现代代数几何基础的研究人员。 从事密码学、编码理论、计算机图形学、物理学等相关领域的专业人士，他们可以通过本书深入理解其工作所依赖的数学原理。 任何对数学之美充满好奇，渴望探索由方程构成的优雅世界的人。 阅读本书，您将不仅仅掌握一套解决问题的工具，更重要的是，您将学会一种全新的思考方式——如何用代数的语言去“看”世界，如何从抽象的符号中提炼出几何的直观，以及如何将看似不相关的数学分支巧妙地联系起来。 这趟代数曲线的旅程，充满了发现的惊喜和智力的挑战。它将带领您从熟悉的二维平面，走向更为抽象和广阔的数学空间，让您领略到数学思想的深邃与无穷魅力。让我们一同打开这扇门，开启您在代数曲线世界的精彩探索之旅。

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坦白说，初次翻开这本厚重的书籍时，我带着一丝敬畏和些许不安。它的体量和内容的密度足以让初学者望而却步，但一旦沉浸其中，便会发现其内部蕴含着一种令人上瘾的逻辑美感。这本书的叙述风格极其沉稳，像一位经验丰富的大师在娓娓道来，不急不躁，但每一步都掷地有声。在讨论曲线的局部性质时，作者对微分形式和德拉姆上同调的引入简直是教科书级别的示范。它没有像某些教材那样将这些工具视为空中楼阁，而是紧密地围绕着代数曲线的“弯曲”和“奇异”之处进行应用，使得原本看似高深的工具瞬间服务于具体的几何问题。特别是关于模空间的初步探讨，虽然只是惊鸿一瞥，却为后续更深层次的研究埋下了坚实的伏笔。唯一的遗憾或许是，某些更现代的视角，例如与范畴论更紧密的结合，在本书中体现得相对较少，但考虑到其成书年代和核心目标读者群，这或许是取舍所致。总而言之，这是一部需要耐心啃读、但回报丰厚的经典之作。

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这本书的阅读过程，就像是攀登一座覆盖着浓密迷雾的山峰。虽然初期能见度不高，但只要坚持向上，拨开一层层理论的迷雾，最终会迎来壮丽的视野。它最吸引我的一点是，作者始终坚守着“几何问题由代数解决”这一核心思想，并贯穿始终。在处理曲线的 genus（亏格）计算时，作者巧妙地结合了黎曼-洛赫定理的早期形式，展示了代数结构如何直接编码了曲线的拓扑属性。这种跨领域的深刻联系，是本书的灵魂所在。它强迫你思考，为什么我们在讨论环的素理想时，实际上是在研究几何图形上的点和分支？这种深层次的哲学思考，是很多更注重计算的现代教材所缺乏的。这本书的难度绝对不容小觑，它更像是一本研究手册而非轻松的入门读物，但对于那些愿意投入时间去驯服这些复杂概念的人来说，它将成为你数学工具箱中最锋利、最可靠的工具之一。

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对于希望从经典代数几何过渡到现代代数几何的中间阶段读者来说，这本书提供了一个绝佳的桥梁。它成功地保留了经典几何直观的魅力，同时又系统地引入了现代代数的强大工具。我发现作者对“相交理论”的讲解尤为出色，他没有直接跳到更复杂的上同调框架，而是先通过代数方法，在射影平面上建立了清晰的交点重数概念，这极大地增强了读者的几何直觉。书中对平面三次曲线（三次曲线）的分类和特异点分析部分，处理得细致入微，几乎涵盖了所有可能的经典案例，这对于学习几何学的学生来说是无价的案例研究。书中的图示虽然数量不多，但每一张都经过深思熟虑，精准地辅助了抽象概念的理解。如果说有什么可以改进的地方，或许是在某些证明的最后一步，作者可以增加一些“心理提示”或“动机说明”，帮助读者更好地理解为何选择这条特定的证明路径。

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阅读这本书的体验，与其说是学习，不如说是一场智力上的“极限挑战”。它对读者的预备知识要求相当高，如果对抽象代数基础不熟悉，前几章就会成为一道难以逾越的坎。然而，一旦跨越了这道门槛，后面的内容便展现出令人惊叹的统一性。作者在处理平面曲线的不可约分解问题时，所采用的代数几何语言——特别是对理想和素理想的精妙运用——极大地简化了原本繁琐的几何分解过程。我个人对其中关于曲线度数的详细推导印象最为深刻，那种步步为营、不放过任何细节的论证方式，让人对“精确性”有了全新的理解。它不是那种试图取悦大众读者的教材，它直面问题的核心，要求读者必须用最严谨的逻辑链条去构建自己的理解。对于那些追求深度而非广度的数学家来说，这本书如同一个精雕细琢的艺术品，值得反复摩挲和品味其每一个细节的匠心。

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这部著作简直是代数几何领域的“登天梯”，对于那些渴望深入理解曲线奇点的读者来说，它无疑提供了一张详尽且富有洞察力的地图。从基础的环论和域论的扎实回顾开始，作者并没有急于抛出复杂的定义，而是循序渐进地引导我们进入射影空间的宏伟殿堂。尤其是对赫尔曼-纽曼定理的阐述，简直是点睛之笔，它巧妙地将抽象的代数结构与几何直观完美地结合起来，让原本晦涩的证明过程变得清晰可辨。我尤其欣赏作者在讲解“贝祖定理”时所展现的严谨性，不仅仅是给出了公式，更是深入剖析了它在数论和拓扑学中的深层含义，这种宏大的视野使得学习过程不再枯燥。全书的结构设计体现了极高的教学艺术，每章末尾的习题不仅量大，而且质量极高，有些甚至需要查阅数篇原始文献才能真正领悟其精髓，这对于培养独立研究能力至关重要。对于任何打算在黎曼曲面或更高维代数簇方面有所建树的学者而言，这本书无疑是必不可少的基石。

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Riemann Roch是美妙的开始而不是结束，这本书围绕这个主题，讲的异常生动

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