Symmetry, Representations, and Invariants pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Roe Goodman

出品人:

页数:716

译者:

出版时间:2009-6-16

价格:USD 69.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387798516

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

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深入理解几何与代数的交织：一部关于李群、微分几何与数学物理的专著 书名：群论、微分形式与规范理论：现代数学物理中的几何结构 作者：[虚构作者姓名 A. B. Clarkson, C. D. Finch] 出版社：[虚构出版社名称：Integrative Mathematics Press] --- 内容简介 本书旨在为研究生、研究人员以及对理论物理和纯数学交叉领域有深厚兴趣的读者，提供一个全面且深入的视角，探讨现代数学物理中核心的几何与代数结构。我们聚焦于李群（Lie Groups）、微分几何（Differential Geometry）的现代工具，以及这些工具如何在规范理论（Gauge Theories）和拓扑场论（Topological Field Theories）中发挥关键作用。本书的叙事结构侧重于从基础概念到前沿应用逐步构建起一个严谨的知识体系，强调几何直觉与代数精确性的结合。 本书的范围特意避开了对“对称性”、“表示论”（Representation Theory）或“不变量”（Invariants）的系统性、基础性的综述，而是将注意力集中在它们所依赖和作用的更基础的几何构造和动力学框架上。 第一部分：基础结构与流形上的分析 本部分为后续高级主题奠定坚实的几何基础。 第一章：微分流形回顾与进阶 本章将快速回顾光滑流形、切空间和张量场的定义，但迅速转向更精细的结构。重点讨论可积性条件和可积子流形的概念，这是研究几何约束的起点。我们深入探讨微分形式的外导数和de Rham上同调的代数拓扑含义，但着重于其在积分与变分原理中的直接应用，而非拓扑分类。 第二章：纤维丛与联络的几何 本书的核心之一是对主纤维丛（Principal Fiber Bundles）的深入剖析。我们将细致地定义联络（Connection），并详细推导其关键属性：曲率（Curvature）和挠率（Torsion）。我们不仅计算这些量，更强调它们在物理上作为“场强”的解释。本章会包含关于霍普夫指标（Hopf Invariant）在特定流形上的计算技巧，以及如何利用联络的几何结构来定义向量丛上的微分算子。 第三章：李群的动力学：流与无穷小生成元 我们从李群的代数结构——李代数入手，但迅速将其置于几何背景中。重点分析李群作用在流形上产生的李导数（Lie Derivative）。我们详细讨论李群作用下的不变量（Invariant Vector Fields），但其目的在于确定哪些几何量在特定变换下保持不变，从而简化动力学方程，而非系统研究其表示。重点关注Killing 向量场在黎曼几何中的作用及其与等距变换群的关系。 第二部分：规范理论的核心几何构建 本部分将前一部分的工具直接应用于构建现代物理学的核心理论框架——规范理论。 第四章：规范理论的几何化：杨-米尔斯理论的构造 本章详细阐述如何使用纤维丛和联络来几何化规范理论。我们从局部规范对称性的代数要求出发，推导出规范场的联络形式。重点是规范协变导数（Covariant Derivative）的构建，以及如何使用曲率来定义杨-米尔斯张量（Yang-Mills Tensor）。本章深入讨论规范群（Gauge Group）作为结构群的作用，以及在不同流形背景下（例如，非平凡拓扑空间）规范场的行为。 第五章：规范理论的变分原理与场方程 本章关注拉格朗日密度的构造。我们将详细推导规范场的欧拉-拉格朗日方程，即杨-米尔斯场方程，并展示它们如何自然地从联络曲率的二次形式（即杨-米尔斯作用量）中导出。我们将分析狄拉克方程在纤维丛上的扩展，引入旋量与规范场的耦合，并推导狄拉克-杨-米尔斯方程。 第六章：贝里相位与几何相位 本章探讨量子力学中几何结构出现的微妙之处。我们详细分析绝热近似下的系统演化，重点是贝里曲率（Berry Curvature）的几何起源。我们将其视为一个联络的曲率，并计算其在特定物理系统（如简并能级）中的积分，解释其如何产生与参数空间轨迹拓扑相关的相位因子。 第三部分：拓扑场论与流形上的积分几何 最后一部分将目光投向更抽象的领域，探讨几何结构在拓扑不变量和积分公式中的角色。 第七章：积分几何与Chern-Weil理论 本章专注于如何从微分形式中构造出全局拓扑量。我们将系统地介绍Chern-Weil理论，推导Chern类和Pontryagin类的定义公式，这些公式完全依赖于联络的曲率。重点是理解这些类如何与纤维丛的拓扑性质相关联，以及它们在示性类理论中的地位。我们还将展示如何利用Thom同构和Gysin序列来计算这些类在特定向量丛上的截面积分。 第八章：拓扑规范理论与欧拉-拉格朗日方程 本章讨论在何种情况下，规范场的动力学可以简化为纯拓扑问题。我们考察Chern-Simons作用量，推导出其欧拉-拉格朗日方程，并分析其特殊性质（如与三维重力、拓扑序的联系）。本章还将分析阿蒂亚-卫滕（Atiyah-Witten）不变式的几何构造，重点在于如何通过对规范场作用量的路径积分来提取拓扑不变量。 第九章：边界的几何与场的终止 本章探讨涉及边界的物理和数学问题。我们分析在流形具有边界时的边界条件，特别是如何保证作用量泛函的变分在边界上消失。我们将讨论边缘理论（Edge Theories）的几何基础，即如何通过在流形边界上附加额外的几何结构（如特定的黎曼度规或边界联络）来保证整体理论的物理完备性。这包括对AdS/CFT对偶中几何边界条件的初步几何探讨。 --- 目标读者与本书特色： 本书的特点在于其严格的数学推导和对物理直觉的尊重。它不是一本入门教材，而是为那些已经熟悉基础微积分和线性代数，并渴望掌握现代几何工具来解决高能物理、凝聚态物理或纯粹几何问题的人士量身定做。全书避免了对“对称性群的表示”的冗长讨论，而是将群的代数结构直接内嵌于其几何作用（如李导数和联络）的框架中进行研究，侧重于几何构造的完备性和动力学的导出。 [页数：约 750 页] [插图：约 120 张概念图和计算示例] [索引：详尽的术语索引，尤其侧重于几何名词]

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从排版和编排的角度来看，这本书的设计透露出一种古典的学术气息，纸张的质感和字体的选择都显得非常专业，体现了出版方对内容的尊重。但这种传统风格在面对现代数学中不断演进的术语时，偶尔会显得有些僵硬。我发现，虽然理论组织得非常系统，但插入的“历史背景”或“应用简介”部分相对较少，使得这本书的阅读体验偏向于纯粹的、脱离实际应用的数学形式体系。对于我这类更偏向应用领域的读者来说，尽管我能理解其内在的数学优雅，但我渴望看到更多将这些抽象表示论工具应用于具体问题（比如晶体学或量子场论）的详尽案例分析。书中的证明往往是“最优”的——即最短、最精炼的——这在数学家眼中是极致的美，但对于需要学习如何“发现”这些证明的学习者来说，缺乏一些过渡性的、启发性的中间步骤。因此，我建议初次接触此领域的读者，应当将其视为一本高级教程的补充材料，而不是唯一的入门读物。

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我花了相当长的时间才真正“消化”这本书中的内容，它的阅读体验更像是一场漫长而艰苦的攀登，而非轻松的漫步。这本书的深度是毋庸置疑的，但坦白说，它对读者的预备知识要求极高，几乎是不留情面的。当我试图在那些关于酉群和特殊线性群的章节中寻找任何可以“偷懒”的捷径时，立刻碰了壁。作者似乎坚信，真正的理解只能来自于对每一步逻辑推演的亲力亲为。我尤其欣赏其对“不变性”这一核心主题的跨学科探讨，它不仅仅停留在代数结构内部的考察，还隐约触及到了物理学中守恒定律的哲学根源。然而，这种极端的严谨性也带来了一定的阅读障碍，尤其是在处理一些复杂的多线性代数推导时，如果读者稍有疏忽，很容易在后续的章节中迷失方向。这本书更像是一本案头的参考手册，需要读者不断地查阅前文，反复咀嚼那些看似晦涩的定理陈述。它不适合快速浏览，更适合那种愿意花数周甚至数月时间，逐字逐句进行自我检验的深度研究者。

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这本书的叙事节奏非常稳定，它很少使用那些引人注目的标题或华丽的辞藻来试图抓住读者的注意力，它依靠的是内容本身的内在张力。对我个人而言，最引人入胜的部分在于作者如何巧妙地将拓扑概念——尽管不是主要焦点——融入到对李群结构的研究中。这种跨越不同数学分支的视角融合，使得对“对称性”的理解不再是孤立的，而是形成了一个多维度的网络。我注意到，书中对某些经典群的结构分解，采用了一种不同于我先前接触的教材的独特路径，这种新颖的切入点极大地拓展了我的思维边界。不过，书中对某些现代研究方向的引用似乎略显滞后，这或许是受限于其出版时间，使得它在某些前沿进展的讨论上略显保守。总而言之，它更像是一部奠定坚实基础的经典之作，而非追踪最新热点的报告。阅读过程中，我感受到的更多是一种对数学真理的虔诚探索，而非对时髦概念的追逐。

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这本关于“对称、表示与不变量”的著作，其价值在于构建了一套完整且自洽的理论框架。阅读它，就像是学习一门全新且逻辑严密的语言。书中的例题设计极为巧妙，它们往往需要读者将前一章学到的知识与本章新引入的概念进行复杂的交织和应用，这是一种高强度的智力训练。我特别欣赏作者在处理不变子空间理论时所展现出的清晰洞察力，它如同手术刀般精确地剖析了线性空间在群作用下的稳定性判据。然而，我不得不指出，这本书的“可访问性”是一个显著的门槛。它对读者的耐心和前期积累提出了近乎苛刻的要求。对于那些希望通过直觉建立联系的读者来说，这本书可能会显得过于“形而上”和疏离。它更偏向于数学家对形式系统的深入挖掘，而不是面向工程或实验科学的工具箱。想要真正掌握其中的精髓，非得反复推敲，并将其与自己的专业背景进行深度融合，才能体会到其超越时空的价值所在。

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这本厚重的著作甫一上手，便给我一种探索深邃数学世界的庄严感。作者的叙述风格是极其严谨和逻辑驱动的，仿佛带领读者穿行于一个由精确定义和定理构筑的宏伟迷宫。初读时，我立刻被那些关于群论和抽象代数概念的精妙构建所吸引。书中对基本结构的分解和重构，尤其是对对称性在不同数学范畴中体现的统一性的揭示，令人拍案叫绝。它不是那种试图用通俗比喻来稀释核心概念的读物，相反，它毫不妥协地要求读者投入心力去理解那些定义和证明的细微之处。每一个章节的过渡都如同精心校准的齿轮啮合，环环相扣，将读者从基础的线性代数知识逐步引向更高级的表示论前沿。特别值得称赞的是，书中在阐述完一个核心理论后，总会紧跟着一系列结构清晰的例证，这些例子不仅仅是简单的计算练习，更是对理论深刻内涵的直观体现，帮助我们在复杂的公式背后捕捉到数学美感的脉络。对于那些渴望深入理解现代数学物理和几何学基石的严肃学习者来说，这本书无疑提供了一个坚实且无可替代的知识阶梯。

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