Harmonic Analysis on Spaces of Homogeneous Type (Lecture Notes in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Donggao Deng

出品人:

页数:154

译者:

出版时间:2008-12-05

价格:USD 49.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540887447

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

• 调和分析
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• Harmonic Analysis
• Homogeneous Type Spaces
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调和分析入门：几何与代数的交织 本书旨在为读者提供一个深入的、易于理解的调和分析入门，特别关注那些具有同质型结构的数学空间。我们不仅仅是罗列公式和定理，而是试图揭示调和分析的深层几何直觉和代数根基，引导读者领略数学之美。 核心理念：空间的结构与分析工具 调和分析的本质在于研究函数在不同数学空间上的性质，尤其关注那些具有良好对称性或结构规律的空间。本书所探讨的“同质型空间”正是这样一类具有丰富结构的数学对象。它们泛化了欧氏空间、群论中的齐性空间等概念，并引入了一种度量结构，使得我们在分析函数时，能够利用其内在的“均匀性”和“可伸缩性”。 我们将会从最基本的概念入手，逐步构建读者对这些空间的理解。首先，会介绍度量空间的基本性质，以及如何在此基础上定义“同质性”和“度量测度”。这些看似抽象的定义，实则是调和分析得以施展的舞台。理解了空间的内在结构，我们才能更好地选择和发展分析工具。 工具箱的构建：核函数与卷积 调和分析的强大之处在于其运用“核函数”与“卷积”来捕捉函数的局部与全局性质。本书将详细介绍一系列重要的核函数，例如高斯核、拉普拉斯核，以及更一般的与空间结构相关的核。我们将探究这些核函数的性质，特别是它们的平滑性、衰减性和伸缩特性。 卷积运算是将一个函数与一个核函数进行“加权平均”的过程。它在信号处理、图像分析等领域有着广泛的应用。在同质型空间上，卷积的性质会受到空间结构的影响。我们将深入探讨在这些空间上卷积的定义、性质以及其在函数空间的映照能力。理解卷积的运作机制，是掌握傅里叶分析、小波分析等调和分析分支的关键。 能量的视角：函数的平滑度与分解 调和分析的一个核心目标是量化函数的平滑度。本书将介绍一系列函数空间，如索伯列夫空间、贝索夫空间等，这些空间通过对函数及其导数的积分范数来定义，提供了衡量函数平滑度的精细工具。我们将探讨这些空间之间的关系，以及如何利用同质型空间的结构来刻画这些空间中的函数。 函数的分解也是调和分析的重要手段。通过将复杂的函数分解为一系列更简单的“基本成分”，我们可以更容易地研究其性质。本书将介绍多种分解方法，例如基于尺度变换的分解（类似小波分解）和基于核函数的分解。我们将展示如何在同质型空间上有效地实现这些分解，并利用分解结果来研究函数的内在结构。 问题的探寻：微分方程与几何测度论 调和分析与偏微分方程（PDE）有着密不可分的联系。许多重要的偏微分方程的解的存在性、唯一性和正则性问题，都可以通过调和分析的工具来解决。本书将介绍如何利用调和分析的方法来研究抛物型方程、椭圆型方程等经典PDE。我们将看到，空间的同质型结构如何影响PDE的解的性质。 此外，调和分析在几何测度论中也扮演着重要角色。几何测度论研究的是在度量空间中的集合的测量性质，特别是那些具有复杂几何结构的集合。本书将简要介绍如何运用调和分析的工具来研究一些几何测度论中的基本问题，例如曲率的定义以及几何对象的分析性质。 学习的进阶：从欧氏空间到广阔的数学世界 本书将逐步引导读者从熟悉的欧氏空间中的调和分析出发，迁移到更一般的同质型空间。我们会强调学习过程中的递进性，鼓励读者在掌握基本概念后，不断探索更深入的研究方向。 本书的编排力求清晰明了，逻辑连贯。每个章节都包含了必要的定义、定理、证明以及丰富的例子。我们希望通过本书，读者不仅能掌握调和分析的基本理论和方法，更能培养独立解决问题的能力，为进一步学习更高级的数学内容打下坚实的基础。 本书适合数学专业本科高年级学生、研究生以及对调和分析感兴趣的研究人员。无论您是初次接触调和分析，还是希望加深对该领域的理解，本书都将是您宝贵的学习伙伴。

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这本书的结构编排，与其说是一本教科书，不如说是一份精心策划的“探险地图”。它并没有按照传统的分析学章节顺序来组织内容，而是围绕着“度量、测度、算子”这一核心框架，随着齐性类型的复杂化而逐步展开。我感觉自己仿佛在跟随一位经验丰富的向导，从平缓的海岸线（比如双边可伸缩度量空间）开始，逐渐攀登到崎岖的山峰（如更一般的非均匀齐性空间）。尤其是在探讨如何将经典积分算子（如卷积、波恩积分）推广到这些空间上时，作者展现了非凡的洞察力。特别是关于如何定义一个适用于所有点的、全局一致的“梯度”或“拉普拉斯算子”的努力，这在直觉上是反直觉的，因为在这些空间中，局部性质往往比整体性质更可靠。这本书成功地架起了直觉和严格定义之间的桥梁，尽管这座桥梁本身就建造得极其精巧复杂。

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从一个实践应用的角度来看，这本书的理论深度是毋庸置疑的，但更令我着迷的是它对“反例”和“边界情况”的重视程度。在许多现代分析著作中，往往只关注于展示那些能够成功推广的定理，而忽略了那些微妙的失效点。然而，在这本著作中，每当一个新的概念被引入，作者都会非常谨慎地指出：在什么条件下这个概念才能成立，以及当条件稍有偏离时，会发生什么灾难性的后果。例如，关于次椭圆算子在非均匀环境中如何保持其正则性，那段讨论就极其精彩，它清晰地展示了为什么我们不能简单地把欧氏空间的结论套用到更一般的情形中去。这种对局限性的坦诚，是真正成熟数学著作的标志，它教会我批判性地看待任何数学工具的适用范围，而不是盲目地相信“只要是分析，就应该成立”。

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这本书给我带来的最大收获，是关于“不变性”的重新思考。在经典的调和分析中，我们依赖于平移和旋转的不变性来定义傅里叶变换。但在齐性空间中，平移（特别是相对于度量测度而言）已经不再是简单的线性移动了，结构本身就是扭曲的。作者巧妙地利用了“齐性尺度”的概念，将这些空间上的分析问题转化为一个在不同尺度上进行比较的过程。阅读过程中，我一直在思考，这种基于尺度而非基于位置的分析框架，能如何进一步启发我们去理解更广阔的数学物理问题，比如在多孔介质中的扩散问题或者在非光滑介质中的波传播。这本书提供的不仅是知识，更是一种看待问题的全新视角——从强调点对点的局部关系，转向关注尺度之间的相对关系。它是一份需要时间去消化、去反复咀嚼的“思想盛宴”，而不是快速消费的速食读物。

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这本《泛函分析在齐性型空间上的研究（数学讲义）》真是让人醍醐灌顶，感觉像是打开了一个全新的数学世界的大门。我一直对经典调和分析理论很熟悉，但当我深入到这些非标准、非欧几里得几何背景下的空间时，才发现自己原有的直觉和工具是多么有限。这本书的叙述风格非常严谨，它没有急于展示那些炫目的、最终的结论，而是耐心地、一步一步地搭建起基础框架——比如齐性维度的概念如何定义，以及如何在这种结构下重新构建测度和积分理论。我特别欣赏作者在处理那些涉及到“边界行为”和“正则性”问题时的细致入微。在传统欧氏空间中，我们习以为常的许多性质，比如连续性或可微性的局部传递，在这些扭曲的几何结构下就变得极其微妙。阅读过程中，我经常需要停下来，在纸上反复推导那些关于核函数收敛性和卷积定义的细节。这本书的价值不在于提供快速的答案，而在于提供一套系统性的思维方式，去面对那些数学物理、信号处理等领域中出现的复杂非线性或非均匀现象。它要求读者不仅要“会做题”，更要真正“理解”为什么这些工具在这个特定的拓扑和度量空间中是必要的。

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我得说，这本书的难度曲线相当陡峭，绝对不是周末闲暇时可以轻松翻阅的读物。它更像是为那些已经对傅里叶分析和基础测度论有扎实掌握的研究生或研究人员准备的深度工具箱。令我印象深刻的是，作者在引入一些关键不等式时，那种“庖丁解牛”般的技巧展示。例如，在讨论某种形式的嵌入定理或紧性标准时，每一步的估计都仿佛经过了千锤百炼，每一步的放大或缩小都恰到好处，完美地平衡了齐性结构带来的不均匀性。这种处理方式让我对“最优估计”有了更深刻的认识——数学上的美感往往体现在最精妙的平衡之中。虽然某些章节的证明过程需要我查阅大量的背景资料来补充那些“不言自明”的引理（可能是作者在特定领域内的默认知识），但这反而促进了我对相关拓扑空间理论的交叉学习。它迫使我跳出单一学科的舒适区，去整合不同数学分支的知识点来理解一个统一的结构。

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