具体描述
Classical mechanics, one of the oldest branches of science, has undergone a long evolution, developing hand in hand with many areas of mathematics, including calculus, differential geometry, and the theory of Lie groups and Lie algebras. The modern formulations of Lagrangian and Hamiltonian mechanics, in the coordinate-free language of differential geometry, are elegant and general. They provide a unifying framework for many seemingly disparate physical systems, such as n--particle systems, rigid bodies, fluids and other continua, and electromagnetic and quantum systems. Geometric Mechanics and Symmetry is a friendly and fast-paced introduction to the geometric approach to classical mechanics, suitable for a one- or two- semester course for beginning graduate students or advanced undergraduates. It fills a gap between traditional classical mechanics texts and advanced modern mathematical treatments of the subject. After a summary of the necessary elements of calculus on smooth manifolds and basic Lie group theory, the main body of the text considers how symmetry reduction of Hamilton's principle allows one to derive and analyze the Euler-Poincare equations for dynamics on Lie groups. Additional topics deal with rigid and pseudo-rigid bodies, the heavy top, shallow water waves, geophysical fluid dynamics and computational anatomy. The text ends with a discussion of the semidirect-product Euler-Poincare reduction theorem for ideal fluid dynamics. A variety of examples and figures illustrate the material, while the many exercises, both solved and unsolved, make the book a valuable class text.
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用户评价
这本《几何力学与对称性》的书名本身就充满了吸引力，光是“几何力学”这四个字，就勾勒出了一种既抽象又具象的学科交叉点，让人不禁联想到那些在优美数学结构中揭示物理世界奥秘的时刻。我特别期待它能深入探讨，如何将抽象的几何概念，例如微分流形、纤维丛，甚至是更高级的代数几何工具，巧妙地融入到对经典力学，如拉格朗日力学和哈密顿力学，的描述之中。是否会有对李群和李代数在对称性破缺、守恒律推导中的应用进行详尽阐释？比如，对于旋转对称性如何导出角动量守恒，或者平移对称性如何联系到动量守恒，书中会有多深刻的几何解读？我猜想，它应该不仅仅是数学公式的堆砌，更会通过清晰的几何图像和直观的例子，帮助读者理解这些抽象理论背后的物理意义。尤其是“对称性”这个词，它暗示着理论的优雅和普适性，让人好奇书中会对哪些物理系统中的对称性进行深入剖析，例如粒子物理中的规范对称性，或者凝聚态物理中的晶格对称性，以及它们是如何影响系统的性质和行为的。我希望它能以一种既严谨又富启发性的方式，引导读者穿越数学与物理的边界，去感受隐藏在自然规律背后的深刻几何美学。
评分这本书的书名，特别是“几何力学”部分，让我产生了一种强烈的求知欲，因为它指向了一个我一直很感兴趣的研究方向：如何用更现代、更抽象的数学语言来重塑我们对物理系统的理解。我希望这本书能提供一个清晰的视角，阐述微积分、向量场、微分几何这些工具是如何被用来构建更强大的力学框架的。比如，是不是会详细讲解辛几何如何在哈密顿力学的表述中扮演核心角色，以及它与泊松括号的联系？我很好奇书中是否会涉及到拉格朗日量和哈密顿量的几何解释，比如在相空间中的运动轨迹是如何被几何结构所约束的。另外，“对称性”这个关键词也同样引人注目。我期待它能够深入探讨诺特定理的几何起源，即对称性如何直接导出守恒量。是否会举例分析各种物理系统中的对称性，例如，机械系统的旋转对称性、振动系统的周期性对称性，甚至更抽象的物理原理中的内在对称性？我希望这本书能够帮助我建立起一种全新的思维模式，能够从几何学的角度去思考物理问题，而不是仅仅停留在代数方程的层面。它应该是一本能够拓展我视野，并且提供深厚理论基础的书籍。
评分《几何力学与对称性》这个名字，一下子就触及了我内心深处对物理学理论的向往。我总是觉得，物理学的终极之美在于它所蕴含的深刻的数学结构和内在的优雅对称性。这本书的名字让我联想到，是否会深入探讨如何利用微分几何的语言来描述物理系统的动力学行为，比如在黎曼流形上定义能量和动量，以及这些量是如何与流形的几何特性相联系的？我对如何将辛几何的工具，如辛流形和辛变换，应用于经典力学的理论框架，并且它们在保积性和可积性方面扮演的角色，感到非常好奇。更吸引我的是“对称性”这个词，它暗示着这本书可能会对诺特定理进行深刻的几何化解读，展示对称性如何在更普遍的框架下导出守恒律。我希望书中能够详细阐述各种物理系统中的对称性，例如，在描述弹性力学时，材料的各向同性所带来的旋转对称性；在处理振动问题时，时间平移对称性与能量守恒的关系；甚至可能触及更前沿的理论，比如规范对称性在粒子物理中的体现。我期待这本书能以一种深刻而富有洞察力的方式，揭示几何结构与物理定律之间的紧密联系，带领读者领略物理学中那种令人惊叹的内在和谐之美。
评分这本书的名字，尤其是“几何力学”这几个字，就像一个信号，指引着我去探索一个我一直以来都着迷的领域——如何用更具几何直觉的方式去理解物理世界。我特别期待书中能够深入讲解，如何利用黎曼几何、微分几何等数学工具来描述物理系统的演化，比如，在相空间中，一个系统的运动轨迹是否可以被看作是某种几何结构的测地线？我很好奇书中是否会详细阐述辛几何在经典力学中的应用，例如，相空间的辛结构如何保证了哈密顿方程的保积性，以及它在可积系统研究中的关键作用。而“对称性”这个词，更是让我对书中关于诺特定理的几何解释充满了期待。我希望它能清晰地展示，如何从抽象的连续对称性出发，推导出各种物理守恒量，例如能量、动量、角动量等。本书是否会通过分析不同的物理系统，如振动系统、天体运动，甚至更基础的粒子物理模型，来阐释对称性在其中扮演的角色，以及对称性破缺所带来的物理现象？我希望能在这本书中找到一种将数学的优雅与物理的深刻完美结合的途径，从而更深层次地理解我们所处世界的运行规律。
评分当我在书店里看到《几何力学与对称性》这本书名时，立刻被它所蕴含的深邃与广阔所吸引。我一直认为，理解物理学的本质离不开对其底层数学结构的洞察，尤其是那些能够揭示宇宙普适规律的几何原理和对称性。我希望这本书能够详细阐述，如何将抽象的微分几何概念，如曲率、联络，甚至更复杂的纤维丛理论，应用于经典力学的描述中，例如在广义相对论的框架下，时空的几何结构如何直接决定了引力场的性质。同时，“对称性”一词让我联想到，本书是否会深入探讨李群和李代数在描述物理系统对称性以及推导守恒律方面的强大作用？比如，我非常想了解，如何从更抽象的几何角度来理解洛伦兹对称性、庞加莱对称性，以及它们在相对论力学中的重要地位。本书会不会通过生动的例子，展示在不同物理领域，如分析力学、场论，甚至量子力学中，对称性是如何深刻地影响系统的行为和性质。我期待它能提供一种全新的视角，帮助我理解那些隐藏在繁复公式背后的，关于世界运作方式的优雅而普适的规律。
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