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出版者:世界图书出版公司

作者:温贝格

出品人:

页数:146

译者:

出版时间:2010-4

价格:25.00元

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isbn号码:9787510005640

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群的表示论：一个基于抽象代数的严谨探索 导论 本书旨在为读者提供一个深入而严谨的群的表示论（Representation Theory of Groups）的入门。作为现代数学中一个至关重要的分支，表示论的核心思想是将抽象的群结构映射到更具体、更易于处理的线性代数对象——向量空间的线性变换群（即矩阵群）上。通过这种“具象化”的过程，群的结构、性质，乃至其在代数、几何、物理等多个领域的应用，都得到了前所未有的清晰洞察。 本书的结构设计旨在循序渐进，从基础概念的建立，到核心定理的深入剖析，最终展望其在更广阔数学图景中的地位。我们假设读者已经具备扎实的抽象代数基础，特别是对群论、环论以及基础线性代数有清晰的认识。 第一部分：基础与动机 第一章：从抽象到具体——表示论的缘起 本章首先阐述了为何需要表示论。抽象的群在许多情况下难以直观理解其乘法结构和元素间的关系。我们将通过具体的例子，如对称群 $S_n$、二面体群 $D_n$ 以及有限阿贝尔群，展示如何通过矩阵的乘法来“模仿”群的运算。本章的核心是定义群表示：一个群 $G$ 到一个域 $K$ 上的线性空间 $V$ 的自同构群 $ ext{GL}(V)$ 的一个同态映射 $ ho: G o ext{GL}(V)$。我们将区分线性表示和矩阵表示。 第二章：等变性与等价性 在表示论中，不同的表示可能本质上是相同的。本章引入了等变映射（Intertwiner）的概念，即保持表示结构的一类线性映射。基于此，我们定义了两个表示的等价性（Equivalence）。如果两个表示之间存在一个可逆的等变映射，则称它们是等价的，这意味着它们在结构上是无法区分的。本章将讨论不变子空间（Invariant Subspaces）的概念，它构成了理解表示分解的基础。 第二章的重点在于： 识别哪些表示是“本质上相同”的，以及如何找到一个向量空间中“最简单”的、不可再分解的子结构。 第二部分：有限群表示的核心理论 本部分是全书的理论核心，主要集中在有限群的表示论上，特别是可约性（Reducibility）和完全可约性（Completely Reducibility）的分析。 第三章：完全可约性与半单性 对于有限群，表示论展现出惊人的美妙性质：所有表示都可以被分解为不可约表示（Irreducible Representations）的直和。本章首先引入马施克定理（Maschke's Theorem），该定理证明了只要域的特征不整除群的阶 $|G|$，群的表示就是完全可约的。我们将详细证明此定理，并探讨在特征 $p$ 整除 $|G|$ 时（例如在 $ ext{GL}_p(mathbb{F}_p)$ 的情况下）定理失效的后果。 第四章：特征标理论的初步 特征标（Character）是将表示论与数论和组合结构联系起来的桥梁。一个表示 $ ho$ 的特征标 $chi$ 定义为其在群元素 $g$ 上的迹 $chi(g) = ext{Tr}( ho(g))$。本章证明了等价的表示具有相同的特征标，但反之不成立（但特征标是判断同构的强大工具）。我们将探讨特征标的共轭类（Conjugacy Classes）的性质，以及特征标在识别表示等价性中的关键作用。 第五章：特征标的正交性关系 这是特征标理论的基石。本章详细推导和证明了第一和第二正交性定理。这些定理不仅提供了判断两个表示是否等价的代数标准，更揭示了有限群的结构与特征标之间的深刻联系。我们将展示如何利用正交关系来计算一个表示中包含某个给定不可约表示的次数。 第六章：特征标的构造与不可约表示的计数 利用正交关系，本章致力于如何系统地构造出所有的不可约表示（up to equivalence）。我们将利用特征标表（Character Table）来总结一个群的所有表示信息。我们证明了不可约表示的数目等于群的共轭类的数目。本章将通过实例，如有限阿贝尔群、对称群 $S_3$ 和 $S_4$ 的特征标表构造，使理论具体化。 第三部分：表示的结构与深化 第七章：群代数与投影 我们将视角从表示本身转向其底层的代数结构——群代数 $K[G]$。我们利用摩迪斯定理（Wedderburn's Theorem）指出，对于有限群 $G$ 和特征为零的域 $K$，群代数 $K[G]$ 是半单的，是其不可约表示的张量积的直和。本章利用投影算子的理论，从代数结构上构造出将任意表示分解为不可约部分的算子。 第八章：诱导表示与限制 本章讨论如何从一个子群的表示构造更大群的表示，以及反之。限制（Restriction）是将 $G$ 的表示缩小到 $H subset G$ 的表示。更重要的是诱导表示（Induced Representation），它从 $H$ 的表示 $sigma$ 出发，构造出一个 $G$ 上的表示 $ ext{Ind}^G_H sigma$。我们将阐述雅科比恒等式（Frobenius Reciprocity Law），这是连接限制和诱导操作的核心工具，在物理学中具有重要意义。 第九章：实数域与复数域上的差异 虽然基础结构在任何域上都相似，但当域从复数域 $mathbb{C}$ 转移到实数域 $mathbb{R}$ 时，会出现新的复杂性。本章讨论实数表示的理论，特别是当一个复数表示经过实化后，可能不再是不可约的（即不可约表示分解为两个实不可约表示）。本章引入了分裂性（Splitting Field）的概念，并探讨了特征标在实数域上能否完全决定表示的同构类型的问题。 结论与展望 本书最后总结了群表示论的基本工具集，强调了它在稳定结构分析中的作用。虽然本书主要聚焦于有限群，但结尾将简要提及对拓扑群（如李群）的表示论——调和分析和李代数理论——的展望，指明表示论在现代数学和理论物理中持续的生命力。

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《群的线性表示》这本书，以其独特的视角，彻底改变了我对群论的理解方式。在此之前，群在我眼中更多的是一种抽象的结构，而这本书则赋予了它具体的“形体”。通过将群映射到向量空间，我得以用线性代数的强大工具来分析群的性质，这是一种前所未有的体验。我特别被书中关于“群代数”的介绍所吸引，它将群的乘法运算转化为代数中的乘法，从而可以运用更成熟的代数方法来研究群。作者在解释“不可约表示”时，巧妙地引入了“单群”的概念，这让我明白了为何不可约表示如此重要，它们是构建更复杂表示的基础。此外，书中对“ Representations of Finite Groups”的详尽阐述，尤其是在处理有限群时，提供了许多实用的算法和技巧。我不得不说，书中对于“Maschke's Theorem”的证明，虽然需要一些扎实的线性代数基础，但它揭示了有限群表示的可约性，这是理解整个理论的核心。这本书不是一本易读的入门读物，它需要读者具备一定的数学功底，并且愿意投入时间和精力去钻研，但一旦你克服了最初的挑战，所收获的知识将是极其丰厚的。

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这本《群的线性表示》犹如一道通往抽象数学殿堂的独特风景线，尽管我对某些更深奥的证明技巧还略感生疏，但作者构建的宏大框架和清晰的逻辑脉络，无疑为我打开了理解群论更广阔天地的大门。书中对群表示的引入，从最基础的定义出发，循序渐进地引导读者认识到，如何将抽象的群结构映射到更为具体的向量空间上，从而获得更直观的分析工具。特别是关于特征标理论的部分，我发现它提供了一种非常强大的方法来区分不同的群表示，甚至是不同构的群。作者在解释这些概念时，没有一味地堆砌复杂的符号，而是通过精妙的例子，比如对称群在几何变换中的应用，让我切实感受到了线性表示的威力。我尤其欣赏书中对单位根和根的分解理论的阐述，这部分虽然需要反复咀嚼，但一旦理解，便能豁然开朗，窥见群表示背后深刻的结构性规律。总而言之，这是一本需要投入时间和精力去细细品味的著作，对于那些渴望深入探索代数世界、理解数学语言背后的精妙联系的读者来说，它绝对是一笔宝贵的财富。我期待着在未来的学习中，能够更深入地理解书中所阐述的各种定理和推论，并将其应用于更复杂的数学问题之中。

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深入阅读《群的线性表示》，我逐渐领悟到，抽象的代数概念并非总是高高在上、遥不可及。这本书的核心魅力在于，它将抽象的群论转化为了更为具体的线性代数语言，从而使得我们能够用熟悉的工具去分析那些原本难以捉摸的数学结构。我尤其赞赏作者对“特征标理论”的细致阐述，这是一种如此优雅而强大的工具，它能够“识别”群的表示，并从中提取出关于群结构的宝贵信息。书中关于“群代数”的介绍，更是将群的乘法运算转化为了代数中的乘法，这为研究群的性质提供了更为直接和高效的方法。我记得书中对“有限群表示”的详尽分析，为我理解如何处理具体问题的表示提供了许多实用的技巧和方法。这本书并非一本简单易懂的入门读物，它要求读者具备一定的数学基础和耐心，但一旦你能够克服其中的挑战，所获得的洞见将是无与伦比的，它会彻底改变你对数学的认知方式。

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《群的线性表示》这本书，为我打开了一扇通往数学深处的大门，让我得以用一种全新的方式审视群论。如果说之前的群论学习是关于“是什么”，那么这本书则更多地关注“如何分析”和“如何利用”。作者以一种非常系统化的方式，将群的抽象结构转化为向量空间中的线性变换，从而获得了更加直观和可操作的分析方法。我尤其赞赏书中对“单位特征标”的讲解，它不仅是理论的一个重要组成部分，更是在实际应用中区分不同表示的关键。作者在解释“不可约表示”时，巧妙地结合了群的结构性性质，让我明白了为何这些“基本单元”如此重要，它们是构建一切更复杂表示的基础。书中关于“表示的分解”的论述，更是揭示了任何一个群表示都可以被分解为不可约表示的直和，这是一种极具普适性的结论。我必须承认，书中某些证明过程需要反复推敲，但每一次的攻克，都让我对数学的理解更上一层楼。这本书不仅仅是一本教科书，更像是一位循循善诱的导师，引导我逐步领略抽象数学的魅力。

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阅读《群的线性表示》，我仿佛进入了一个由抽象概念构建的精妙迷宫，而作者正是那位引路人，用清晰的逻辑和生动的例子，为我指明了方向。这本书的核心在于，它不仅仅是教授一种数学工具，更是展示了一种思考模式——如何将抽象的数学对象“可视化”并进行量化分析。我尤其惊叹于书中关于“特征标”的论述，这是一种如此简洁而强大的工具，能够“识别”不同的群表示，甚至能够直接揭示群的结构信息。作者在讲解“表示的直和”和“表示的张量积”时，并没有止步于概念的定义，而是深入探讨了这些运算如何改变表示的性质，以及如何利用它们来构造新的、更复杂的表示。我记得书中对“代数群”的初步介绍，虽然这部分内容在本书的整体篇幅中占比不大，但它已经让我看到了表示理论在更广阔数学领域中的潜在应用。这本书的语言风格严谨而不失优雅，它要求读者具备一定的耐心和细致，但每一次对新概念的理解，都会带来巨大的满足感。对于那些渴望深入理解数学语言本质，并希望掌握分析抽象结构强大工具的读者来说，这本书绝对是不可或缺的。

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这本书《群的线性表示》为我提供了一个全新的理解群的视角。在阅读之前，我对群的认识主要停留在其自身的结构和性质上，而这本书则通过“线性表示”这一强大的工具，将群与更为具体的数学对象——向量空间——联系起来。我尤其被书中对“不可约表示”的深入探讨所吸引，这不仅仅是理论上的一个重要概念，更是理解整个表示理论的核心。作者通过对“特征标”的细致刻画，揭示了如何从量化的角度来理解群的结构，这是一种非常高效和深刻的方法。书中关于“表示的直和”和“表示的张量积”的讲解，更是为我提供了一种构建新表示、理解复杂表示的有效途径。我不得不说，书中某些证明过程需要反复推敲和理解，但每一次的攻克，都让我对数学的理解更上一层楼。这本书不是一本轻松的读物，它需要读者投入时间和精力去深入钻研，但所获得的知识将是极其宝贵的，它将帮助你以更深刻、更全面的方式理解数学世界的奥秘。

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《群的线性表示》这本书，为我提供了一个观察和分析群的全新视角。在此之前，我对群的认识主要停留在其自身的结构和性质上，而这本书则通过“线性表示”这一强大的工具，将群与更为具体的数学对象——向量空间——联系起来。我尤其被书中关于“不可约表示”的深入探讨所吸引，这不仅仅是理论上的一个重要概念，更是理解整个表示理论的核心。作者通过对“特征标”的细致刻画，揭示了如何从量化的角度来理解群的结构，这是一种非常高效和深刻的方法。书中关于“表示的直和”和“表示的张量积”的讲解，更是为我提供了一种构建新表示、理解复杂表示的有效途径。我不得不说，书中对某些定理的证明，需要反复推敲和理解，但每一次的突破都让我对数学的理解更上一层楼。这本书不是一本轻松的读物，它需要读者投入时间和精力去深入钻研，但所获得的知识将是极其宝贵的，它将帮助你以更深刻、更全面的方式理解数学世界的奥秘。

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《群的线性表示》这本书，为我提供了一个全新的审视群的视角，它将我带入了一个由抽象概念构建的精妙世界。作者以其清晰的逻辑和严谨的论证，将原本抽象的群论转化为更为具象化的线性代数语言，使得我们能够用熟悉的工具去分析那些原本难以把握的数学结构。我尤其被书中对“特征标”的深入阐述所吸引，这是一种如此简洁而强大的工具，它能够“识别”群的表示，并从中提取出关于群结构的宝贵信息。书中关于“表示的直和”和“表示的张量积”的讲解，更是为我提供了一种构建新表示、理解复杂表示的有效途径，让我看到了如何从已知的表示推导出新的性质。我不得不承认，书中某些证明过程需要反复推敲和理解，但每一次的攻克，都让我对数学的理解更上一层楼。这本书不是一本轻松的读物，它需要读者投入时间和精力去深入钻研，但所获得的知识将是极其宝贵的，它将帮助你以更深刻、更全面的方式理解数学世界的奥秘。

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初次接触《群的线性表示》，我曾以为这只是一个纯粹的理论分支，然而，这本书以其严谨的论证和丰富的实例，让我看到了表示理论在数学分析中的强大生命力。作者将抽象的群概念巧妙地“具象化”到向量空间中，使得原本难以捉摸的群结构变得触手可及。我特别欣赏书中对“特征标”的系统性介绍，它如同群表示的“指纹”，能够精确地识别和区分不同的表示，并由此揭示出群的深层信息。作者在讲解“群代数”时，更是将群的运算转化为代数中的乘法，这让我可以用更为成熟的代数方法来研究群的性质。书中关于“诱导表示”的阐述，为我提供了一种从子群的表示构建更大群表示的有力工具，极大地扩展了我的分析视野。我不得不承认，书中某些章节的难度确实不小，需要读者具备扎实的线性代数基础和一定的抽象思维能力，但每一次对新概念的掌握，都伴随着一种深刻的洞察。这本书对于任何希望在代数、表示论，甚至是在物理学和化学等领域有所建树的读者来说，都是一本不可多得的宝藏。

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坦白说，初次翻阅《群的线性表示》时，我曾被书中那些看似神秘的符号和定理所震慑，但随着阅读的深入，我越来越体会到作者的匠心独运。这本书并非简单地罗列公式，而是巧妙地将抽象的群论概念与具体的线性代数工具相结合，形成了一种强大的分析范式。我特别赞赏作者对“不可约表示”的深入探讨，这不仅仅是理论上的一个分支，更是理解整个表示理论的关键。作者通过对群的特征标的细致分析，揭示了如何从数量化的角度来刻画群的结构，这是一种令人耳目一新的视角。书中关于“表示的张量积”和“诱导表示”的讲解，更是将我带入了一个更加广阔的数学领域，让我看到了如何从已知的表示构建新的表示，从而更全面地理解群的性质。我必须承认，某些章节的难度不小，需要反复阅读和思考，但每一次的突破都带来了巨大的成就感。这本书所展现出的数学之美，在于它能够将看似无关的概念联系起来，并从中发现深刻的规律。对于任何希望在代数、几何或甚至物理学领域有所建树的读者来说，掌握表示理论是必不可少的一步，《群的线性表示》无疑是开启这段旅程的绝佳向导。

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朴素。李代数的表示很少

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