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出版者:Oxford University Press, USA

作者:Steve Awodey

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:2010-8-13

价格:USD 55.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780199237180

丛书系列:Oxford Logic Guides

图书标签:

• 范畴论
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《范畴论》 在这部引人入胜的书籍中，我们将踏上一段探索数学抽象核心的旅程。本书并非旨在堆砌庞杂的定义或罗列繁琐的定理，而是力求勾勒出范畴论这一强大框架的精妙之处，以及它如何重塑我们对数学结构的理解。 范畴论，作为一种抽象化的语言和工具，提供了一种超然于具体数学对象之上，审视它们之间关系和相互作用的视角。它不关心集合的构成，也不关注元素的具体属性，而是聚焦于对象之间的“态射”（morphisms），也就是映射或变换。通过对这些态射的性质进行研究，我们可以发现隐藏在不同数学分支中的深刻共性，揭示出数学世界的统一性和内在结构。 本书将从最基础的概念出发，逐步构建起理解范畴论所需的理论基石。我们将首先介绍“范畴”（category）的基本构成——对象（objects）和态射（morphisms），以及它们所遵循的组合律和恒等态射（identity morphisms）的存在性。我们将深入探讨不同类型范畴的例子，从最直观的集合范畴，到代数结构中常见的群范畴、环范畴，再到逻辑和计算机科学中出现的更抽象的范畴，展示范畴论的普适性。 本书的一个核心主题是“函子”（functors）。函子是连接不同范畴的桥梁，它们以一种结构保持的方式，将一个范畴中的对象和态射映射到另一个范畴中。我们将详细分析共变函子（covariant functors）和反变函子（contravariant functors），并展示它们在传递数学信息和建立联系方面的关键作用。例如，我们可能会考察幂集函子（powerset functor）如何从集合范畴映射到集合范畴，或者集合范畴到集合范畴的相反范畴（opposite category）上的某个函子如何揭示集合论中的对偶性。 “自然变换”（natural transformations）将是我们探索的另一个重要领域。它们是连接两个相同类型的函子之间的“态射”，确保了函子之间的映射关系具有一种“自然性”或“普遍性”。自然变换的重要性体现在它们能够捕捉到不同函子之间的结构性一致性，提供了一种衡量函子之间“相似性”的标准。我们将通过具体的例子，如范畴之间的等价性（equivalence of categories），来说明自然变换在证明数学命题和建立等价关系中的核心作用。 本书还将触及范畴论中的一些更为高级的概念，这些概念进一步拓展了范畴论的表达能力和应用范围。例如，“伴随函子”（adjoint functors）是一对特殊的函子，它们之间存在一种深刻的对偶关系，这种关系在数学的许多领域都至关重要。我们可能会探讨左伴随函子和右伴随函子如何捕捉到“自由构造”（free constructions）和“遗忘函子”（forgetful functors）之间的普遍联系。 此外，“极限”（limits）和“余极限”（colimits）也是范畴论中至关重要的概念，它们提供了在范畴中进行“组合”和“分解”的通用方式。我们将学习如何用态射的图（diagrams）来定义这些概念，并理解它们在构造新的数学对象和表达数学结构方面的作用。例如，我们可能会探讨积（product）和余积（coproduct）是如何在范畴中实现的，以及它们如何对应于集合论中的笛卡尔积和不相交并。 本书的写作风格力求清晰、直观，并辅以大量的示例来阐释抽象概念。我们相信，通过对范畴论基本原理的深入理解，读者将能够以一种全新的视角来审视数学，发现不同学科之间的内在联系，并为解决更复杂的问题提供强大的思维工具。无论您是数学专业的学生、研究人员，还是对抽象思考感兴趣的任何人士，《范畴论》都将为您提供一个深入探索数学宇宙的独特视角。本书旨在激发读者的好奇心，引导他们独立思考，并在范畴论的广阔领域中发现属于自己的洞见。

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这本书的书名叫做《Category Theory》，虽然我还没完全读完，但从目前的阅读体验来看，它绝对是我近年来接触到的最令人惊叹的数学著作之一。我一直对数学的抽象层面颇感兴趣，而范畴论无疑是其中最引人入胜的部分，它提供了一种全新的视角来理解数学结构的统一性。这本书的优点首先体现在其清晰而富有洞察力的讲解。作者并没有一开始就抛出令人望而生畏的定义和定理，而是循序渐进地引导读者进入范畴论的世界。从最初的集合、函数这些基础概念出发，巧妙地引入函子、自然变换等核心概念，并且在讲解过程中穿插了大量生动形象的例子，比如图论、群论、拓扑学中的范畴构造，这使得抽象的理论变得触手可及。我尤其喜欢作者在介绍伴随函子时所做的类比，那种“天平两端”的平衡感，精准地捕捉到了伴随函子的本质。而且，书中不仅仅是罗列定义和证明，更重要的是它解释了为什么范畴论是如此重要，它如何统一了数学的不同分支，以及它在计算机科学、逻辑学等领域应用的巨大潜力。我特别注意到作者在讨论等价范畴时，强调了“ isomorphism is not equality”，这一点对于建立起正确的范畴思维至关重要。这本书的写作风格非常严谨，但又不过于枯燥，时不时出现的幽默感也让阅读过程更加愉悦。尽管我目前只是初步涉猎，但已经能感受到这本书对我数学思维的深刻影响。它让我开始以一种全新的、更具结构性的方式去审视我之前接触过的数学知识，仿佛打开了一扇通往数学更深层奥秘的大门。我迫不及待地想继续深入，探索其更高级的概念和应用。

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作为一名初涉范畴论领域的学习者，《Category Theory》这本书给我留下了非常深刻的印象，尽管它的内容对于新手来说可能稍显艰深，但作者的讲解方式无疑是极具启发性的。我尤其欣赏作者在构建理论框架时所展现出的逻辑严谨性，以及对数学概念之间内在联系的深刻洞察。这本书并非是那种“填鸭式”的教材，而是鼓励读者主动思考，去理解每一个概念背后的“为什么”。举例来说，在引入“极限”和“余极限”的概念时，作者并没有简单地给出定义，而是从图形化的直观表示入手，然后逐步将其抽象化为范畴中的形式语言。这种循序渐进的方式，对于我这样不擅长直接理解抽象定义的人来说，简直是福音。书中的许多证明也都非常巧妙，常常能用简洁的推理揭示出深刻的数学真理。我特别留意到作者在讨论“粘合图”和“对角线映射”时，所展示的那些构建性的证明方法，这不仅展示了范畴论的强大工具性，也让我对数学的构造性方法有了更深的理解。当然，书中也存在一些需要反复咀嚼才能领悟的细节，但每一次的回顾，都能发现新的理解层次。我认为这本书对于想要真正掌握范畴论精髓的读者来说，是不可多得的财富。它培养的不仅仅是解题能力，更是对数学本质的深刻理解和一种全新的思维模式。我个人觉得，这本书的价值远不止于其字面内容，更在于它所带来的思维上的蜕变。

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当我拿起《Category Theory》这本书时，我预料到会遇到一些抽象的概念，但阅读过程的深度和启发性远远超出了我的想象。作者以一种非常细腻且富有条理的方式，引导读者逐步深入范畴论的殿堂。我尤其赞赏作者在引入“范畴”的概念时，所做的铺垫，从集合、函数这些基础概念出发，逐步抽象化，使得读者能够自然而然地接受范畴的定义。书中对于“函子”的讲解也让我受益匪浅，作者通过将函子比作“映射”，展示了它如何在不同范畴之间传递结构信息，这一点对于我理解数学的统一性至关重要。我非常喜欢作者在讨论“伴随函子”时，所做的类比，他将其比喻为“一对默契的舞伴”，精准地捕捉到了伴随函子之间的互逆关系。而且，本书的写作风格非常严谨，但又不过于枯燥，时常穿插一些历史典故和发展脉络，这让我对范畴论的起源和演进有了更深入的认识。虽然书中有些证明，例如关于“泛性质”的证明，需要我反复推敲，但这正是我所期望的，我希望通过深入的思考，真正掌握范畴论的核心思想。总而言之，《Category Theory》是一部极具启发性的著作，它不仅仅传授了知识，更重要的是，它重塑了我对数学的理解方式。

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《Category Theory》这本书，虽然书名简洁，内容却极其深邃。作者以一种非常系统的方式，带领我们探索范畴论这一现代数学的基石。我尤其欣赏作者在解释“范畴”这一基本概念时，所使用的直观图示，它们有效地辅助了抽象定义的理解。书中关于“函子”的讲解也让我耳目一新，作者不仅仅给出了形式定义，更通过大量生动的例子，展示了函子如何在不同范畴之间建立起联系，比如从集合论的范畴到代数结构的范畴。我非常喜欢作者在讨论“等价范畴”时，所做的类比，它让我们理解了在范畴论的语境下，“相同”的含义可以有多重解释，关键在于结构上的等价。而且，本书的写作风格非常严谨，证明都清晰而富有洞察力，但同时又避免了过多的技术细节，使得核心思想得以突出。我注意到作者在书中对“凯莱定理”进行了范畴论的解释，这让我看到了如何用更一般的框架来理解和表述数学定理。尽管有些章节，例如关于“概形”的初步介绍，我还需要进一步消化，但这正说明了这本书内容的深度和广度。总而言之，《Category Theory》是一部兼具理论深度和启发性的杰作，它不仅教会了我范畴论的知识，更重要的是，它改变了我看待数学的方式。

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《Category Theory》这本书，从一开始就以其宏大的视角和严谨的逻辑吸引了我。作者在编写这本书时，显然投入了大量的思考，试图以一种最清晰、最系统的方式来呈现范畴论的精髓。我尤其欣赏作者在引入“范畴”这一基本概念时，所做的类比。他将范畴想象成一个“对象”和“箭头”组成的宇宙，这使得抽象的定义变得直观易懂。书中对“函子”的讲解也十分到位，作者不仅给出了其形式定义，更通过大量的例子，展示了函子如何在不同范畴之间建立起联系，比如将代数结构映射到集合结构。我非常喜欢作者在讨论“极限”和“余极限”时，所做的几何解释，它使得这些看似高深的概念变得易于理解。而且，本书在数学严谨性方面做得非常出色，每一个定义、每一个定理都经过了精心推敲，证明也都清晰而简洁。虽然有些章节，例如关于“粘合图”的讨论，我需要反复研读才能完全领悟，但这正说明了这本书的深度和价值。我个人认为，这本书是那些想要深入理解数学本质，或者希望将数学应用于计算机科学、逻辑学等领域的读者，不可错过的经典之作。

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这本书的标题《Category Theory》直接点明了主题，而实际阅读体验则远远超出了我最初的预期。它以一种非常系统且宏大的视角，向我们展示了范畴论这一现代数学的基石。我非常欣赏作者在处理抽象概念时所表现出的细腻之处。例如，在讲解“自由对象”时，作者不仅仅给出了定义，更深入地阐述了它在代数结构中扮演的关键角色，以及它与“万有性质”之间的紧密联系。这种对概念背后动机的解释，让学习过程充满了探索的乐趣。书中的例子也选取得非常恰当，从经典的集合论范畴到代数拓扑的基环范畴，再到逻辑学中的模型范畴，每一个例子都恰到好处地说明了范畴论的普遍适用性。我特别喜欢作者在讨论“阿贝尔范畴”时，所进行的类比，将它与向量空间进行比较，突出了其丰富的代数结构。这种类比不仅让概念更容易理解，也帮助我建立了不同数学领域之间的联系。虽然有些部分，比如关于“概形”的初步介绍，我还需要进一步消化，但这正说明了这本书内容的深度和广度。作者在书的结尾处，还简要提及了范畴论在代数几何、同调代数等前沿领域的应用，这极大地激发了我进一步深入学习的兴趣。总的来说，《Category Theory》是一部兼具理论深度和应用广度的杰作，它不仅教会了我范畴论的知识，更重要的是，它改变了我看待数学的方式。

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当我在书架上看到《Category Theory》这本书时，我就知道我将踏上一段非凡的数学探索之旅。这本书并没有辜负我的期待，它以一种令人惊叹的方式，将范畴论这一抽象的数学理论展现得淋漓尽致。我特别喜欢作者在介绍“自然变换”时，所做的类比，它就像是“射之间的射”，形象地描绘了不同函子之间的关系，也揭示了范畴论的“层层递进”的结构。书中对于“万有性质”的讲解，更是让我看到了范畴论在定义数学对象时的强大能力，它提供了一种“唯一性”的保证，使得数学的构建更加稳固。我印象深刻的是，作者在讨论“伴随函子”时，不仅给出了其形式定义，还深入探讨了它在代数结构（如自由群）和几何结构（如万有覆盖）之间的桥梁作用。这种将理论与具体实例相结合的方式，极大地提升了我的学习效率和理解深度。尽管书中有些证明，例如关于“克莱谢瓦奇定理”的证明，需要我投入大量的时间和精力去消化，但这正是我所追求的，我希望通过深入的思考，真正掌握范畴论的核心思想。总而言之，《Category Theory》是一部值得反复品读的著作，它不仅传授了知识，更重要的是，它重塑了我对数学的理解方式。

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《Category Theory》这本书，从书名就可以看出其内容的精炼和高度抽象，但实际阅读下来，我发现它是一部非常富有启发性的著作。作者以一种非常清晰且富有逻辑性的方式，引领读者进入范畴论的世界。我尤其欣赏作者在讲解“积范畴”和“余积范畴”时，所使用的直观图示，它们有效地辅助理解了抽象的定义。书中对于“等价范畴”的讨论，让我对数学对象的“同一性”有了全新的认识，理解了在不同语境下，我们应该关注的是结构上的等价而非字面上的相等。我非常喜欢作者在阐述“函子”时，所做的类比，比如将函子比作“翻译器”，将一个范畴中的结构“翻译”到另一个范畴，这使得原本抽象的概念变得生动起来。而且，作者在讲解过程中，不断地将范畴论与其他数学分支联系起来，比如群论、拓扑学、甚至逻辑学，这让我看到了范畴论作为一种“元语言”的强大力量，它能够贯穿整个数学领域。虽然有些证明需要反复推敲，但每一次的思考都让我对范畴论的理解更加深入。这本书不仅仅是一本教材，更像是一本引领我进入数学思想殿堂的指南，它为我打开了一扇通往更深层次数学理解的大门。

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这本书的标题《Category Theory》预示着其内容的抽象和严谨，而实际阅读过程更是印证了这一点。然而，作者的叙述方式却成功地将这份严谨性转化为一种引人入胜的智力冒险。我特别喜欢作者在引入“群”和“环”的范畴时，所进行的类比。他通过将这些代数结构视为具有特定射的“对象”，巧妙地展示了范畴论如何统一不同数学分支的思维方式。书中对“等价”和“同构”的区分，以及对“泛性质”的深入剖析，让我对数学对象的本质有了更深刻的理解。我记得在学习“伴随函子”这一部分时，作者通过一个非常直观的例子，解释了伴随函子如何“配对”两个范畴，并且展示了这种配对在数学中普遍存在，比如在代数和几何之间的联系。这种解释方式，让我感觉范畴论不仅仅是一种抽象的数学语言，更是一种理解数学世界运作规律的强大工具。尽管我承认，书中有些章节，尤其是关于“概形”的讨论，对我来说仍然是一个巨大的挑战，但我坚信，通过反复研读和思考，我一定能够逐渐领悟其中的奥妙。这本书的价值在于，它不仅仅传授知识，更重要的是，它能够重塑你的思维方式，让你以一种更具洞察力的方式去理解和运用数学。

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《Category Theory》这本书，可以说是我近期阅读中最具挑战性但也最有收获的数学著作之一。我原以为范畴论离我的日常工作比较遥远，但读了这本书之后，我才意识到其深远的理论意义和广泛的应用前景。作者在讲解时，并没有回避其固有的抽象性，而是试图通过精巧的设计，引导读者逐步适应这种抽象的语言。我尤其赞赏作者在介绍“范畴的积”和“范畴的余积”时，所使用的图形化解释，配合严谨的数学定义，使得这些复杂的概念变得相对容易理解。书中还穿插了大量的历史背景和发展脉络，这让我对范畴论的起源和演进有了更清晰的认识，也理解了为什么这些概念会在数学发展的不同阶段被提出。例如，作者在讨论“凯莱定理”时，将其置于范畴论的框架下进行审视，让我看到了如何用更一般化的方式来理解和表述这个定理。而且，本书在数学严谨性和可读性之间找到了一个绝佳的平衡点。它的证明都非常简洁且有说服力，但同时又避免了过多的技术细节，使得核心思想能够得以突出。我个人觉得，这本书对于那些有志于深入理解数学基础的读者来说，是必读的。它不仅仅是一本教科书，更像是一本思想的启迪者，引导我们以一种全新的视角去探索数学的无限可能性。

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有待细读

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太抽象啦！

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I once see somebody in StackExchange calling it "Awodey's great book"

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steve在cmu的讲义改写而来，这书非常通俗易懂。同类的书还有leinster和mclarty所写的。

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@2017-08-31 21:48:46