The Concentration of Measure Phenomenon pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:American Mathematical Society

作者:Michel Ledoux

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2001-09-01

价格:USD 62.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821828649

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 概率论
• 泛函分析
• 高维空间
• 随机矩阵
• 统计物理
• 信息论
• 几何概率
• 鞅论
• 傅里叶分析
• 数学分析

现代概率论与高维几何：超越直觉的探索 本书旨在为数学、物理、计算机科学及相关领域的读者，提供一套深入且严谨的现代概率论框架，重点关注在高维空间中随机变量和函数的行为。我们避开传统的、侧重于基础随机过程的叙述方式，而是直接切入概率论的“核心疆域”——信息几何与高维拓扑的交汇点。 全书分为五个主要部分，层层递进，旨在构建起一套完整的、用于分析极端事件和集体行为的数学工具箱。 --- 第一部分：概率度量空间的重构与基础测度理论的再审视 (Reconstructing Probabilistic Metric Spaces) 本部分是对概率论基础进行的一次“几何化”重塑。我们不再将概率视为一个简单的函数映射，而是将其视为一种在特定度量空间上的“密度”或“分布形状”。 第一章：基础概念的维度校准 首先，我们建立严格的测度论基础，但侧重于那些在高维情况下表现出奇异性的度量空间。重点讨论 $L^p$ 范数在无穷维极限下的收敛特性，以及如何使用弱收敛（Weak Convergence）而非点态收敛来描述随机序列的极限行为。我们引入Bochner测度的概念，用以刻画无限维希尔伯特空间上的高斯随机变量。 第二章：信息熵与几何分离 本章深入探讨香农熵的几何解释。我们展示如何将熵看作是信息度量空间上的“不确定性半径”。核心内容聚焦于费希尔信息度量（Fisher Information Metric），并将其与黎曼几何中的测地线概念联系起来。我们详细推导了费希尔信息矩阵在高斯分布族中的具体形式，并引入Hellinger距离作为衡量两个概率分布之间差异的有力工具，特别是在判别模型时。 第三章：概率空间上的泛函分析 我们将泛函分析的工具引入概率空间。讨论随机变量的期望如何被视为在特定函数空间上的积分算子。引入鞅论（Martingale Theory）的现代视角，将其置于序关系和偏序集理论的框架下，而非仅仅是时间演化的视角。这为后续处理依条件期望的逼近问题奠定了分析基础。 --- 第二部分：高维几何的随机渗透 (Stochastic Infiltration of High-Dimensional Geometry) 这是全书的核心论点之一：在维度 $d o infty$ 时，随机几何的性质如何迅速支配经典欧几里得几何的直觉。 第四章：球体上的非欧几里得行为 本章详细剖析了单位球体 $S^{d-1}$ 上的随机点分布。我们从球谐函数（Spherical Harmonics）的衰减率出发，展示了为什么在高维下，几乎所有的质量都集中在赤道附近的一层极薄的“壳层”中。我们引入极化现象（Polarization Phenomenon）的概念，并用它来解释为什么在高维随机投影中，点之间的距离会变得异常均匀。 第五章：随机矩阵理论的几何对偶 我们不再将随机矩阵视为代数对象，而是将其视为高维空间中线性变换的采样。本章专注于高斯随机矩阵的奇异值分布。详细阐述Wigner半圆律的精确边界条件，并将其推广到更一般的带状矩阵模型。我们使用自由概率论（Free Probability Theory）的工具，来理解随机投影对数据结构的破坏和保留机制。 第六章：凸几何与随机支撑集 本章探讨随机采样的凸包的性质。我们分析高维随机凸体的体积、表面积和平均宽度等几何量。重点在于计算在随机点集下，凸包的“支撑”部分（即包含几乎所有点的区域）的渐近行为，这对于数据降维和特征选择至关重要。我们引入Rademacher复杂度的几何解释，用以衡量函数空间的复杂度。 --- 第三部分：极端值理论与尾部行为的精确刻画 (Precise Characterization of Extreme Value Theory) 本部分专注于“罕见事件”的发生概率和后果，这些事件在高维空间中变得不那么罕见，而是成为了常态。 第七章：依条件概率的极限 传统极值理论关注单个随机变量的峰值。本书则关注依赖结构下的联合极端值。我们引入极大值过程（Extreme Value Process）的现代表述，重点分析在强相关和弱相关条件下的尖峰（Spikes）和拖尾（Tails）行为。 第八章：高阶矩的爆炸性增长 我们研究高维高斯分布的各阶矩。展示如何利用等周不等式（Isoperimetric Inequality）来建立随机变量与其平均值之间的精确界限。核心工具是Chernoff界和Hoeffding不等式的推广形式，这些界限在高维下能提供比切比雪夫不等式更紧密的估计。 第九章：随机过程的遍历性与长时间行为 针对具有时间结构的系统，我们考察遍历性定理的有效性。我们分析在复杂系统中，随机扰动如何影响系统的长期稳定状态。特别关注MCMC（马尔可夫链蒙特卡洛）方法的收敛速度，引入耦合方法（Coupling Techniques）来量化收敛的快慢。 --- 第四部分：随机几何中的张量方法 (Tensor Methods in Random Geometry) 现代数据分析和机器学习越来越依赖于高阶张量。本部分将概率论和张量分解理论相结合。 第十章：张量的特征值与随机背景 我们将随机矩阵理论推广到张量（三阶及以上）的情形。分析随机张量（如随机独立同分布采样的张量）的特征值和奇异值分布。引入随机张量秩（Random Tensor Rank）的概念，并探讨其对数据稀疏性和低秩近似的影响。 第十一章：张量分解的统计保证 深入探讨CP分解（Candes-Tao）和Tucker分解在高维稀疏数据中的鲁棒性。我们建立严格的统计保证，确定在给定噪声水平下，何时可以唯一地恢复出潜在的低秩结构。这部分内容强调了测量稀疏性（Incoherence）在张量恢复中的关键作用。 --- 第五部分：分析工具的集成与应用展望 (Integration of Analytic Tools and Application Perspectives) 最后一部分将前述工具应用于实际问题，并展望未来的研究方向。 第十二章：维数灾难的统计缓解 本章总结如何利用概率几何的洞察来应对高维环境下的挑战。讨论流形学习（Manifold Learning）背后的概率假设——即高维数据实际上嵌入在一个低维结构中。我们严格论证了局部线性嵌入（LLE）和Isomap等方法在随机采样数据上的理论有效性。 第十三章：随机优化与鞍点问题 我们将概率论与优化理论相结合。分析随机梯度下降（SGD）算法的收敛性。重点在于理解在高维、非凸损失函数中的鞍点（Saddle Points）的性质。我们利用随机矩阵理论来描述损失函数的 Hessian 矩阵的谱结构，从而预测 SGD 逃离鞍点的速度和方向。 结论：概率论的未来疆域 全书最后对当前的研究热点进行总结，包括随机网络上的动力学、高维回归中的正则化理论（Lasso与Elastic Net的概率解释），以及量子信息中的高维态的随机性。本书为读者提供了一个坚实的分析基础，使其有能力直接面对和解决现代科学领域中最具挑战性的高维随机问题。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆