Advanced Analytic Methods in Continuum Mathematics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Luban Press

作者:

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2006-08

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780975862506

丛书系列:

图书标签:

• Continuum Mathematics
• Advanced Analytics
• Mathematical Analysis
• Partial Differential Equations
• Functional Analysis
• Topology
• Measure Theory
• Real Analysis
• Differential Geometry
• Applied Mathematics

连续介质数学中的高级分析方法 (Advanced Analytic Methods in Continuum Mathematics) 图书简介 本书旨在为读者提供一个深入、严谨且全面的视角，以探索连续介质力学、固体力学、流体力学以及相关材料科学领域中至关重要的分析技术。本书的叙述重点在于经典偏微分方程（PDEs）的解析求解策略、渐近分析方法以及在高维空间中处理复杂边界条件和本构关系的能力。它并非简单地罗列公式，而是致力于构建一个坚实的数学框架，使读者能够理解这些工具背后的物理意义和数学原理。 核心内容与结构 本书的内容组织围绕着解析方法如何应用于描述物质在力、热、流等场作用下的响应，特别关注那些无法通过简单数值近似完全捕捉的精细物理现象。 第一部分：偏微分方程的理论基础与经典解法 本部分首先回顾了描述连续介质行为的核心偏微分方程组，例如Navier-Stokes方程、线弹性方程组以及热传导方程。重点不在于复述基础微积分，而在于理解这些方程的类型（椭圆型、抛物型、双曲型）如何决定了物理现象的本质（稳态、扩散、波传播）。 1. 傅里叶变换与拉普拉斯变换在边界值问题中的应用： 我们将详细探讨利用积分变换技术将偏微分方程转化为更容易求解的常微分方程或代数方程的过程。特别关注在无限或半无限介质中的 Green 函数构造，及其在求解具有复杂源项的非齐次问题中的核心作用。书中将深入分析有限域问题中特征值展开（傅里叶级数）的收敛性与完备性，并讨论当系统具有周期性或非周期性边界条件时，选择适当变换基的重要性。 2. 分离变量法与特殊函数： 对于具有规则几何形状（如矩形、圆柱、球体）的系统，本书将系统性地展示分离变量法（Separation of Variables）的应用。这必然涉及对 Bessel 函数族、Legendre 多项式以及 Airy 函数等特殊函数的深入理解。我们将阐明这些函数作为特定边界条件下本征解的物理意义——它们代表了系统的自然振动模式或稳态分布。书中对这些函数的正交性、递推关系及其在级数解构建中的作用进行了详尽的推导和应用实例。 第二部分：渐近分析与摄动理论 现代连续介质问题往往涉及小参数（如小应变、弱非线性、小马赫数），使得精确解析解难以获得。本部分的核心是教授如何利用这些小参数来构建可靠的近似解。 3. 微扰法（Perturbation Methods）： 本书系统介绍了线性微扰法，通过引入多项式展开来分离方程的主导部分和次要修正部分。针对线性系统，我们将探讨一阶和二阶修正的计算步骤，并强调如何处理本征值问题中的非正交模式（Non-Orthogonal Modes），例如在屈曲分析（Buckling Analysis）中遇到的特征值退化问题。 4. 奇异摄动理论（Singular Perturbation Theory）： 这是处理涉及尺度分离问题的关键工具。我们将重点讲解边界层理论（Boundary Layer Theory）和内/外区域匹配法（Inner/Outer Asymptotic Matching）。在流体力学中，这直接对应于研究低雷诺数下的粘性效应（如 Stokes 流动）或高雷诺数下湍流边界层的结构。在固体力学中，它用于分析冲击波或快速变化的应力梯度区域。书中将详细展示如何运用 WKB 近似法处理具有快速振荡解的方程。 5. 均匀化方法（Homogenization Techniques）： 当材料的微观结构（如复合材料中的纤维或多孔介质中的孔隙）尺度远小于宏观分析尺度时，均匀化方法是导出有效介质理论（Effective Medium Theory）的基石。本书将基于多尺度分析（Multi-Scale Analysis），侧重于介绍泛函分析在定义微观域（Unit Cell）周期性边界条件中的应用，以及如何通过对微观域的能量泛函进行变分平均来计算宏观有效的刚度张量或渗透率。 第三部分：复变函数方法与边界积分方程 在处理二维或轴对称问题时，复变函数理论提供了远比实变量方法更简洁的解析途径。 6. 复变函数在平面弹性问题中的应用： 我们将深入探讨 Kolosov-Muskhelishvili 势函数方法。这包括将平面应力或平面应变问题转化为求解全纯函数 $ phi(z) $ 和 $ psi(z) $ 的问题。重点在于如何利用 Cauchy 积分公式和留数定理来处理裂纹尖端、孔洞等应力集中区域的奇点解。书中将提供如何将物理边界条件（位移和应力）转化为复变函数路径积分的完整推导。 7. 边界积分方程方法 (Boundary Integral Equation Method, BIEM)： BIEM 被视为连接解析方法和数值方法的桥梁。它将 PDE 转化为仅涉及边界积分的方程。本书将侧重于推导弹性力学和势流理论中的基本解（Fundamental Solutions，即 Green 函数）的构造过程。随后，我们将详细说明如何利用这些基本解构建的 BIE 在处理自由曲面或不规则几何体时的优势，特别是如何有效地处理导数算子在边界上的应用，这通常涉及奇异积分方程的数值处理技巧，但本书将侧重于其解析构造的数学完备性。 结论与展望 本书的最终目标是培养读者将抽象的数学工具与具体的物理现象进行精准映射的能力。读者将不仅学会如何应用这些方法求解经典案例，更重要的是，能够识别何时何地（何种尺度、何种非线性程度）这些解析技术是适用或失效的，从而为更高级的、依赖于高性能计算的数值模拟提供深厚的理论基础和验证标准。全书案例的选择兼顾了工程实践中的重要性与数学上的清晰性。

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