A First Course in Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:J. David Logan

出品人:

页数:404

译者:

出版时间:2010-09-28

价格:USD 74.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9781441975911

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 微分方程
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一本引人入胜的数学探索之旅，开启你对变化世界规律的深刻理解。 本书将带你深入探索微分方程这一强大的数学工具，它不仅仅是抽象的符号和公式，更是描绘和理解我们周围瞬息万变的自然现象和科学模型的关键。从基础的概念到复杂问题的解决，我们将逐步揭示微分方程的优雅与力量。 第一部分：基础的奠基 我们将从最基础的微分方程类型开始，逐步建立坚实的理论基础。 导数与积分的复习与延伸： 了解导数和积分作为微分方程基石的重要性，并在此基础上进行更深入的探讨，为后续的学习做好准备。 一阶微分方程： 变量可分离方程： 学习如何将含有两个变量及其微分的方程分离，使之成为两个独立的积分问题，这是理解许多复杂方程的基础。 线性一阶微分方程： 掌握求解形如 $y' + P(x)y = Q(x)$ 的方程的方法，包括使用积分因子，理解这类方程在各种模型中的应用。 精确微分方程： 学习如何识别和求解形如 $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ 的方程，其中微分的形式恰好是某个函数的全微分。 伯努利方程： 探索一种特殊的非线性方程，以及如何通过变量替换将其转化为线性方程求解。 斜率场与数值方法初步： 引入斜率场（方向场）的概念，直观地展示方程解的走向，并初步了解如何通过欧拉法等数值方法逼近方程的解，这为理解方程的定性行为提供了重要视角。 第二部分：更复杂的挑战与结构 随着基础的巩固，我们将进入更高阶的微分方程，并揭示它们更丰富的结构。 二阶及高阶线性微分方程： 常系数线性齐次方程： 重点讲解特征方程法，学习如何通过求解代数方程来找到微分方程的特解，并理解不同根的情况（实根、重根、复根）对解的影响。 常系数线性非齐次方程： 引入待定系数法和常数变易法，学习如何求解存在非齐次项的方程，这是解决许多实际问题的关键。 欧拉-柯西方程： 学习一种特殊的变系数方程，以及如何通过变量替换将其转化为常系数方程求解。 线性方程组： 探讨多个微分方程组成的系统，如何使用矩阵方法（特征值和特征向量）来求解线性微分方程组，这在描述多个相互关联的动态系统中至关重要。 第三部分：幂级数解法与特殊函数 当遇到系数不恒定的微分方程时，传统的代数方法可能失效，我们将学习强大的幂级数解法。 幂级数解法： 学习如何假设解的形式为幂级数，并代入微分方程，通过系数的递推关系来求得方程的幂级数解。 奇点与正则奇点： 理解方程中可能出现的特殊点（奇点），并学习如何区分正则奇点，以及如何应用弗罗贝尼乌斯方法来求解在正则奇点附近的幂级数解。 第四部分：拉普拉斯变换的应用 拉普拉斯变换是一种强大的积分变换工具，能够将微分方程问题转化为代数方程问题，极大地简化了求解过程。 拉普拉斯变换的定义与性质： 学习拉普拉斯变换的基本定义、线性性质、移位性质、卷积定理等，为应用做好准备。 使用拉普拉斯变换求解微分方程： 掌握如何将微分方程及其初始条件转换为拉普拉斯域中的代数方程，求解后再通过拉普拉斯逆变换得到原方程的解。特别强调其在求解含有阶跃函数和脉冲函数等不连续输入的方程中的优势。 第五部分：数值解法的进阶与探索 虽然解析解能够提供精确的答案，但在很多情况下，解析解难以获得或不存在，这时数值解法就显得尤为重要。 改进的欧拉法和龙格-库塔法： 学习更精确的数值方法，如改进的欧拉法和四阶龙格-库塔法，以获得更准确的近似解。 数值解法的误差分析： 理解不同数值方法的收敛性、稳定性和误差来源，以及如何选择合适的数值方法。 贯穿全书的视角：模型与应用 本书不仅仅是理论的堆砌，更注重将微分方程与实际应用相结合。在每一部分的学习中，都会穿插各种各样的建模问题，帮助你理解微分方程如何在物理、工程、生物、经济等领域发挥作用。 物理学中的应用： 自由落体、弹簧振子、电路分析、传热问题等。 生物学中的应用： 种群增长模型、传染病传播模型、药物动力学等。 工程学中的应用： 控制系统、信号处理、振动分析等。 经济学中的应用： 简单的经济增长模型。 通过学习本书，你将不仅仅掌握求解微分方程的各种技巧，更重要的是培养运用数学语言来描述和分析动态系统的能力，为解决更广泛的科学与工程问题打下坚实的基础。这本《微分方程入门》将是你踏入更深层次数学殿堂的精彩起点。

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这本书的作者在处理偏微分方程（PDEs）的引入部分时，展现出一种近乎雕塑般的精确性。从最基础的拉普拉斯方程和热传导方程的物理直观推导开始，作者并没有急于将读者抛入复杂的傅里叶级数和分离变量法的泥沼。相反，他们花了大量篇幅来阐述为什么这些方程在描述自然现象时是不可避免的——比如，通过对物质守恒和能量守恒的微积分表达的精妙转换。我尤其欣赏作者在介绍边界条件时所采用的类比手法，将Dirichlet条件比作固定温度的墙壁，而Neumann条件则像是绝热的表面。这种物理图像的构建，使得后续的数学操作不再是枯燥的公式堆砌，而更像是对真实世界问题的求解过程。例如，在讨论一维波方程的解法时，D'Alembert公式的推导被分解成了一系列可管理的步骤，每一步都伴随着对初始条件（初始位移和初速度）如何“塑造”最终解的深入探讨。这种教学上的耐心，对于那些初次接触偏微分方程，尤其是有着理工科背景但微积分基础并非顶尖的学生来说，无疑是巨大的福音。它成功地搭建了一座坚实的桥梁，连接了常微分方程的稳态思维与偏微分方程的动态演化观念。

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我发现作者在讲解高阶线性常微分方程的解法时，采取了一种非常务实的“解耦”策略。面对常系数齐次方程，他们通过特征方程的根的性质（实根、重根、复根）来系统地构建通解的基，逻辑清晰，几乎没有歧义。但是，最令我印象深刻的是对非齐次方程的处理，特别是常数变易法（Variation of Parameters）。许多教材只是给出了最终的积分公式，但这本书详尽地推导了这一公式，明确地展示了如何利用拉格朗日给出的基函数线性无关性来构造特解。这种对基础原理的尊重，使得读者在面对系数不再是常数，而是函数的更一般情况时，能够迅速地找到解决问题的切入点，而不是被公式吓倒。此外，书中对欧拉-柯西方程的处理，作为连接常系数与变系数方程的一个重要桥梁，被安排得恰到好处，避免了读者在学习过程中因跨越性太大而产生的挫败感。

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对于那些追求严谨性和数学深度的人来说，这本书在处理线性代数与微分方程交叉地带的章节，特别是特征值问题的讨论，绝对是亮点中的亮点。作者并未满足于仅仅展示求解过程，而是深入剖析了算子理论在无限维空间中的应用，尽管是高度简化和入门级的。他们引入了施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）理论的初步概念，解释了为什么正交性在求解非齐次问题时至关重要，这比很多教材只是简单地使用傅里叶级数展开要高明得多。更值得称赞的是，书中对级数收敛性的讨论，虽然没有深入到泛函分析的层面，但对于“点态收敛”与“均方收敛”之间的差异，提供了清晰的几何解释。我清晰地记得，作者用一个动态的图景来展示一个方波如何通过增加傅里叶项数而逐渐逼近其真实形状，这种视觉化的辅助极大地增强了理论的直观性。对于希望理解“为什么傅里叶分析有效”而非仅仅“如何计算傅里叶系数”的读者，这些内容是无价之宝。

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全书的排版和图示质量也值得一提，这极大地提升了阅读体验。特别是对于涉及多变量函数和向量场的章节，作者使用的三维图示非常清晰，很少出现晦涩难懂的透视角度。例如，在讨论相平面分析（Phase Plane Analysis）时，引入了奇点（Critical Points）的概念，并用相轨迹的流场图直观地展示了结点（Node）、鞍点和焦点（Spiral）的稳定性。这些图不仅是装饰，它们是理解系统动态行为的关键工具。与一些只有文字和公式堆砌的教科书不同，这里的图例都带有详细的注释，明确指出哪个轨迹对应于哪个初始条件，以及解在无穷远处的渐近行为。这种对视觉辅助的重视，对于那些偏向空间想象而非纯粹符号操作的学习者来说，是理解非线性动力系统复杂性的一个巨大助力。整个阅读过程因此变得更加流畅和富有洞察力。

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这本书的习题设计简直是一场精心策划的冒险。不同于某些教材的习题要么过于基础、要么直接跳跃到需要研究生水平技巧的难度，这里的习题梯度非常平滑且富有启发性。前几章的练习题着重于计算技巧的熟练掌握，比如利用积分因子求解一阶线性ODE，或是熟练掌握拉普拉斯逆变换。然而，当进入更复杂的模型构建部分时，习题的性质发生了微妙的转变。例如，书中要求读者不仅要解出一个关于人口增长的方程，更要解释在特定参数下，解曲线的鞍点（saddle point）的物理意义，这迫使读者必须将数学形式与现实情境重新对焦。我发现，许多“思考题”——那些没有提供标准答案的挑战——往往指向了数值方法的初步探索，比如用欧拉法或改进的龙格-库塔法来验证解析解的长期行为。这种将解析能力与数值敏感性相结合的训练方式，无疑为后续学习数值分析打下了坚实的基础。

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整理手头的电子书。。。

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