Lectures on Algebraic Geometry I pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Spektrum

作者:Günter Harder

出品人:

页数:301

译者:

出版时间:2011-9-7

价格:USD 109.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783834818447

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• 代数几何
• 代数簇
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• 同调代数
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• 交换代数

代数几何导论（上） 引言 代数几何是数学中一个古老而又充满活力的分支，它致力于研究代数方程组的解集所构成的几何对象——代数簇。本书，代数几何导论（上），旨在为读者搭建一座通往这一迷人领域的桥梁。我们将从基础概念出发，逐步深入，带领读者领略代数几何的精妙之处。本书并非对某一特定教材内容的直接复述，而是力图勾勒出代数几何核心思想的脉络，提供一套系统性的学习框架。 第一部分：环论与代数数论的根基 代数几何的语言是代数，特别是交换代数。因此，深入理解交换代数的结构是学习代数几何的基石。在本部分，我们将回顾并深入探讨与代数几何紧密相关的环论概念。 交换环与理想： 我们将从最基本的定义开始，介绍交换环的性质，以及其中重要的概念——理想。理想的结构决定了环的性质，而环的商环则是构造代数簇的基础。我们将重点关注多项式环，这是代数几何中最核心的代数结构。 素理想与极大理想： 素理想和极大理想在交换代数中扮演着至关重要的角色，它们与代数簇的“点”和“子簇”有着深刻的联系。我们将探讨它们之间的关系，以及它们的谱（Spec）如何与代数簇的几何对象对应。 整扩张与有限生成代数： 整扩张的概念对于理解代数簇的性质至关重要，特别是当我们在研究几何对象的变形和参数化时。我们将探讨有限生成代数，它们是构造代数簇的“坐标环”的常见形式。 诺特环与阿廷环： 诺特环的定义（升链条件）是许多深刻结果的先决条件。我们将探讨诺特环的性质，并简要介绍阿廷环，它们是诺特环的一个特殊子类，具有更强的性质，并在某些几何情境下非常有用。 因子整环（UFD）与主理想整环（PID）： 虽然代数几何的主要对象不一定是 UFD 或 PID，但这些结构在理解具体例子和某些基本构造时非常有帮助。我们将回顾这些概念，并讨论它们在代数几何中的作用。 希尔伯特零点定理（特尔尼奥夫版本）： 这是代数几何的“基本定理”之一，它深刻地揭示了代数对象（理想）与几何对象（簇）之间的对应关系。我们将详细阐述这个定理，并展示它是如何工作的。 第二部分：簇的几何构建 在建立起坚实的代数基础后，我们将转向几何的构建，正式引入代数簇的概念。 仿射空间与仿射簇： 这是代数几何中最基础的几何对象。我们将定义仿射空间，并基于多项式方程组的解集来定义仿射簇。我们将通过具体的例子，如直线、抛物线、球面等，来熟悉这些基本几何形状。 坐标环与维纳的对应： 每一个仿射簇都对应着一个唯一的坐标环（在域的特定条件下），反之亦然。我们将深入研究这种对应关系，理解代数性质如何反映几何形状，以及几何操作如何转化为代数操作。 理想与子簇： 理想与代数簇的子簇之间存在着一一对应的关系（在域的特定条件下）。我们将探讨如何通过理想来刻画和描述代数簇的子集，以及如何从子簇回到理想。 不可约簇： 许多重要的代数簇并不是“整体”的，而是由更小的、不可分解的部分组成的。我们将定义不可约簇，并讨论如何判断一个簇是否是不可约的，以及不可约分解的概念。 维数： 维数是几何对象的一个基本性质。我们将从不同的角度引入代数簇的维数概念，包括基于链的定义，并将其与坐标环的代数性质联系起来。 幂零根与约化簇： 在处理多项式环时，幂零元素是需要特别注意的。我们将引入幂零根的概念，并定义约化簇，它们排除了“重复”的几何信息，使得代数簇的结构更加清晰。 第三部分：射影空间与射影簇 仿射空间虽然直观，但在处理无穷远点和进行某些几何变换时存在局限性。射影空间和射影簇提供了更广阔的视野。 射影空间： 我们将定义射影空间，它是仿射空间在无穷远处的“扩张”。我们将讨论射影空间的结构，以及点在射影空间中的表示方式。 齐次理想与射影簇： 射影簇是由齐次多项式方程组的解集构成的。我们将定义齐次理想，并探讨它与射影簇之间的对应关系。 齐次坐标与齐次理想的对应： 类似于仿射簇，齐次理想也与射影簇的子簇有着深刻的对应。我们将分析这种对应关系，以及它如何帮助我们理解射影几何的性质。 无穷远部分： 射影簇包含了仿射簇在无穷远处的信息，即“无穷远部分”。我们将探讨如何分析和理解一个射影簇的无穷远部分，以及它对整个簇的几何性质有何影响。 射影空间的性质： 我们将探讨射影空间的一些重要性质，例如其紧致性，以及这些性质如何传递到射影簇上。 第四部分：态射与性质的保持 代数簇并非孤立存在，它们之间可以通过态射（Morphisms）相互关联。态射是代数几何中的“映射”，它们保持代数簇的几何结构。 态射的定义： 我们将严格定义代数簇之间的态射，并展示它如何从坐标环的同态映射自然导出。 一些重要态射的例子： 我们将通过一些例子，如多项式映射、嵌入、商映射等，来具体理解态射的构造和性质。 双有理等价： 在代数几何中，我们常常关心两个簇是否“本质上”是相同的，即使它们不一定同构。双有理等价的概念应运而生，它允许我们忽略一些“零测集”的差异。我们将介绍双有理等价的定义，以及它在分类代数簇中的重要性。 结束语 代数几何导论（上） 仅仅是代数几何浩瀚海洋中的一隅。本书旨在为读者打下坚实的基础，激发对更深层次内容的探索兴趣。通过掌握本书所介绍的概念和工具，读者将能够进一步深入研究代数簇的更多精妙性质，如光滑性、奇点、上同调论等，并欣赏代数几何在理论物理、编码理论、密码学等领域日益增长的应用。代数几何是一个充满挑战但也极具回报的领域，希望本书能成为您在这段旅程中的得力助手。

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装帧和排版是这本书给我留下深刻印象的另一个方面。在如今许多追求轻便和快速阅读的时代，这本书坚持了传统的精装质量，拿在手里有足够的份量，这在潜意识里也提醒着我，我正在处理的是一套需要被郑重对待的学术内容。内页的留白处理得当，使得复杂的数学表达式在视觉上不至于显得拥挤不堪。尤其值得称赞的是那些关键定义的加粗和定理编号的清晰度，它们在漫长的篇幅中，总能准确地定位你的注意力焦点。我发现自己很少因为查找一个特定的定义或定理编号而浪费时间，这种物理上的易用性，极大地提升了我在高强度学习中的效率。如果说内容是灵魂，那么这精心的排版就是赋予其恰当形态的躯体，使得知识的“获取”过程本身也成为一种愉悦的体验，至少，在视觉上是如此。

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这本书在对某些核心概念的引入时，展现出了一种历史性的深度，它似乎并不满足于仅仅呈现当前最流行的观点，而是追溯了这些理论是如何在不同的历史阶段被构想和完善的。例如，在讲解某些拓扑空间或范畴论的初始概念时，作者会不经意地穿插一些对早期数学家思路的探讨，虽然这些探讨不直接构成严格的证明链条，但它们极大地丰富了读者的“直觉工具箱”。我感觉自己不仅仅是在学习一套纯粹的数学体系，更是在参与一场关于数学思想演进的对话。这种“背景知识”的补充，对于想要深入研究该领域源头的人来说，是无价之宝。它让你明白，某些看似“理所当然”的公理和定义，背后凝聚了多少代数学家的心血和挣扎，从而对最终形成的理论结构产生更深层次的敬畏。

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这本书的封面设计透露着一种严谨而古典的美学，深沉的蓝色背景上印着烫金的标题，让人联想到那些尘封在古老图书馆角落里的经典著作。初次翻开时，扑面而来的是一种几乎可以触摸到的知识的厚重感，纸张的质地很不错，墨水的清晰度也无可挑剔，这对于需要长时间盯着晦涩公式和证明的读者来说，无疑是一种视觉上的慰藉。我特别欣赏它在章节布局上的用心，每一部分的过渡都显得自然而有逻辑，即便是初学者，也能大致跟上作者构建这座宏伟理论大厦的步伐。那些开篇的引言，虽然简短，却总能精准地抓住某个核心概念的精髓，像是为即将到来的技术性攀登提供了一张简洁而有力的路线图。读完第一章后，我感觉自己像是被引导着穿越了一个充满符号和抽象结构的新世界，那种“豁然开朗”的体验是其他许多现代教材难以给予的，它不仅仅是知识的传递，更像是一种智力上的探险邀请。

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这本书的叙述风格，老实说，颇具挑战性，它绝非那种迎合大众口味的“友好型”读物。作者似乎坚信，真正的理解只能通过艰苦的思索和反复的推敲才能获得，因此，行文间很少出现冗余的解释或过度的铺垫。对于那些已经对拓扑学和抽象代数有一定基础的读者来说，这种“直插核心”的写作方式无疑是高效且令人振奋的，每一步推导都像是一场精密的数学手术，干净利落，不留一丝赘述。然而，对于依赖详尽例证和步骤分解的读者，初读时可能会感到有些吃力，仿佛置身于一片没有参照物的迷雾之中。我花了相当长的时间去重构作者省略掉的中间步骤，但这过程本身，反而成了巩固理解的最好方式。它迫使你主动去填补知识的空白，而不是被动地接受既定的结论，这才是真正的“硬核”学习体验。

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从一个持续学习者的角度来看，这本书的价值在于它的“自洽性”和“完整性”。它构建的体系非常封闭而有力，每一个概念都紧密地嵌入到前一个概念所建立的框架之内，使得理论的推导过程拥有极强的内聚力。这不像一些拼凑起来的讲义，容易在不同主题间产生断裂感。在这里，从最基础的集合论基础到后面更高级的概形理论的初步涉猎，都保持着一致的语调和严密的逻辑链条。这种高强度的连贯性意味着，一旦你掌握了前半部分的基础，后半部分的吸收速度会显著加快，因为你已经内化了作者的“思维模式”。对于那些立志于将代数几何作为自己研究方向的人来说，这本书更像是一份“基石蓝图”，而不是一个简单的入门指南，它要求你投入时间，但回报是构建了一个坚不可摧的理论地基。

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流形作为局部环层空间：从坐标环（对象是仿射空间）到函数环（对象流形例如曲线）的转变。任意拓扑空间都可以看做为局部环层空间（X，0x），模层

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流形作为局部环层空间：从坐标环（对象是仿射空间）到函数环（对象流形例如曲线）的转变。任意拓扑空间都可以看做为局部环层空间（X，0x），模层