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出版者:高等教育出版社

作者:南京理工大学应用数学系编

出品人:

页数:381 页

译者:

出版时间:2004年12月1日

价格:26.40

装帧:平装

isbn号码:9787040154832

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学
• 微积分
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好的，这是一份针对一本名为《高等数学（下册）》的数学教材的详细图书简介，内容严格聚焦于“下册”通常涵盖的主题，并且力求详实、专业，不提及任何与“高等数学（上册）”或“人工智能生成”相关的内容。 --- 图书简介：《高等数学（下册）》 适用对象： 本科理工农医类专业学生，高等院校数学基础课程教学，以及需要深入理解微积分核心理论的自学者。 书籍定位： 本《高等数学（下册）》是系统学习微积分理论的进阶篇章，它以前续关于函数、极限、导数和不定积分的扎实基础为依托，将读者引入到高等数学中最具应用价值和理论深度的领域——定积分的应用、多元函数微积分、微分方程以及必要的级数理论。本书旨在培养读者严谨的数学思维、精确的计算能力和将数学模型应用于实际问题的综合素养。 --- 第一部分：定积分的深化与应用 本部分承接上册对不定积分的介绍，全面深入地探讨定积分的理论基础、计算技巧及其在科学工程中的广泛应用。 1.1 定积分的概念与性质： 详细阐述黎曼和的构造过程，严谨地定义定积分，并探讨其存在性条件（如连续函数和有界间断点有限的函数）。重点分析定积分的基本性质，如区间可加性、线性性质以及比较性质，为后续的计算和应用奠定基础。 1.2 牛顿-莱布尼茨公式的精讲： 深入剖析微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），阐明定积分与不定积分之间的本质联系。本章节将通过大量的实例，展示如何利用原函数高效地求解定积分。 1.3 定积分的计算方法： 除了基本公式的应用外，本部分着重介绍定积分的特殊计算技巧。包括分部积分法在定积分中的具体应用（注意积分上下限的变化），以及变量替换法在定积分中的精确操作，强调替换后积分上下限的对应转换。 1.4 定积分的几何应用： 这是定积分理论转化为实际应用的关键。详细介绍如何利用定积分计算平面图形的面积（包括曲边梯形、弓形等）、旋转体的体积（圆盘法、圆环法、薄壳法）以及曲线的弧长。内容覆盖了从二维到三维空间中常见几何量测算的全过程。 1.5 定积分的物理与工程应用： 将理论延伸至物理学领域。包括计算变力所做的功、水池壁面压力、质心（重心）的计算，以及转动物体的表面积等。这些应用案例旨在展示定积分作为一种“求和”工具的强大威力。 --- 第二部分：多元函数微积分 本部分是高等数学中理论体系最为庞大和复杂的部分，将一元函数的概念推广到二维乃至多维空间。 2.1 多元函数的概念与极限： 引入空间直角坐标系，定义二元及多元函数的概念。重点探讨空间中的距离、邻域、收敛性，并给出多元函数极限的精确定义，强调“沿着不同路径趋近”的限制条件。 2.2 偏导数与全微分： 阐释偏导数的几何意义（曲面上的切线斜率）。系统讲解高阶偏导数，并引入“可微性”的概念，区分可微与偏导数存在的差异。重点推导全微分公式，并利用全微分进行近似计算。 2.3 链式法则与隐函数/反函数求导： 深入讲解多元函数的链式法则，这是处理复合函数求导的核心工具。详细介绍隐函数求导法则的推导与应用，以及反函数在多元情况下的求导规则。 2.4 空间曲线的导数与切法向量： 将导数的概念扩展到空间曲线，定义曲线的切向量和切线方程，以及法平面和法线方程，为三维空间中的运动分析提供基础。 2.5 方向导数与梯度： 引入方向导数，解释其表示函数在特定方向上的变化率。重点讲解梯度（Gradient）的概念，阐述梯度向量的方向与大小的物理意义，以及梯度在极值问题中的关键作用。 2.6 多元函数的极值： 详尽讨论多元函数在开区域和闭区域（包括边界）的极值问题。讲解利用一阶偏导数确定驻点，并运用二阶偏导数判别极值类型（Hessian矩阵的判别法）。着重分析和解决带约束条件的极值问题，特别是拉格朗日乘数法（Lagrange Multipliers）的理论构建与解题步骤。 --- 第三部分：多重积分 多重积分是定积分在更高维度空间的自然推广，是解决体积、质量、质心等复杂问题的核心工具。 3.1 二重积分的概念与性质： 构造二重积分的黎曼和，定义二重积分。详细讨论二重积分的性质，包括积分的区域可加性、线性性质等。 3.2 二重积分的计算： 重点讲解将二重积分转化为定积分的两种主要方法——直角坐标系下的累次积分（Fubini定理的应用） 和 极坐标变换。对于不规则区域，本书提供详细的积分次序互换（Change of Order）的技巧与示例。 3.3 三重积分与坐标变换： 推广到三维空间，定义三重积分，并探讨其在计算空间立体体积、质量、质心和转动惯量中的应用。重点讲解在三维空间中常用的坐标系变换：柱坐标系 和 球坐标系 的雅可比行列式及其在积分中的应用。 --- 第四部分：场论基础与积分学（选讲/进阶） 本部分引入向量微积分的概念，为后续的物理学和工程力学打下基础。 4.1 曲线积分（线积分）： 定义第一类曲线积分（与弧长有关）和第二类曲线积分（与力场做功有关）。详细讲解如何利用参数方程将曲线积分转化为定积分求解。 4.2 格林公式： 介绍平面向量场的曲线积分与区域上二重积分之间的联系——格林公式（Green's Theorem）。此公式是连接二维散度与旋度概念的桥梁，是介绍斯托克斯公式和高斯公式的理论基础。 4.3 旋度与散度（概念引入）： 简要介绍向量场中的散度（Divergence）和旋度（Curl）的概念及其物理意义，为理解流体动力学和电磁场理论做铺垫。 --- 第五部分：无穷级数 本部分关注函数的无穷序列表示法，这是傅里叶分析、微分方程求解的关键工具。 5.1 数项级数： 回顾级数收敛的必要条件。系统介绍正项级数的各种判别法（比较判别法、比值判别法、根值判别法）。深入探讨交错级数及其莱布尼茨判别法，并区分条件收敛与绝对收敛。 5.2 幂级数： 定义幂级数，重点分析幂级数的收敛半径和收敛区间的确定方法。 5.3 泰勒级数与麦克劳林级数： 阐述函数展开成泰勒级数的充要条件（高阶导数存在）。详细推导常见函数（如 $e^x, sin x, cos x, (1+x)^alpha$）的麦克劳林展开式，并分析余项的余项（Lagrange余项或Peano余项），从而严格证明展开式的有效性。 5.4 函数的展开与应用： 介绍如何利用已知函数的幂级数进行四则运算、求导、积分，以及利用级数进行近似计算和求解常微分方程的级数解法。 --- 总结： 《高等数学（下册）》是一部结构严谨、内容丰富的教材。它不仅仅教授工具和公式，更侧重于理论的推导、概念的精确理解以及实际问题的建模与求解能力的培养。通过对定积分、多元微积分、多重积分以及无穷级数的系统学习，读者将完全掌握现代科学计算和工程分析所需的核心微积分知识体系。

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从个人使用体验上来说，这本书的“厚度”和“密度”达到了一个完美的平衡点。它不是那种试图把所有相关知识点都塞进去的“百科全书”，而是精心筛选和组织过的核心内容。在讲解多元函数极值和拉格朗日乘数法时，作者非常注重数学建模的思想引导。他们不仅展示了如何求解约束条件下的最优化问题，更是在前言和结论部分反复强调了在经济学、工程学中，寻找最优解的理论基础和实际操作意义。我尤其喜欢其中关于二重积分在物理学中应用的一章，它把曲面积分和线积分的介绍穿插得很有节奏感，避免了在短时间内信息过载。这本书的语言风格非常“绅士”，既不咄咄逼人，也不过于随意，恰到好处地保持了一种学术上的专业距离感，让人在学习时既感到被尊重，又被鼓励去挑战更深层次的理解。

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这本书的价值远超一本普通的教材，它更像是一位经验丰富的导师，在领你攀登知识高峰的路上，为你规划好了每一步的路线。我最欣赏的一点，是它对“几何直觉”的维护。在讲解曲面积分时，很多教材会直接给出定义，但这本书则花了大量的篇幅，从曲面的参数化表达出发，通过微分几何的初步概念，层层递进地构建了面积元$dS$的概念，这使得我对曲面积分的物理意义，比如计算流过某一表面的净流量，有了非常直观的理解。这套书的“可重读性”非常高，第一次读可能只是为了应付考试，但当你学完后续的专业课（比如流体力学或控制论）再回过头来看，会发现书中很多看似简单的定理，其实蕴含着深刻的底层原理。它真正做到了让读者“会用”和“理解原理”并重。

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这本《高等数学（下册）》简直是数学学习的“救星”，尤其对于我这种在微积分的海洋里挣扎了许久的人来说。它不像其他教材那样，上来就用一堆晦涩难懂的符号轰炸你，而是采取了一种非常循序渐进的方式。比如讲到多重积分的时候，作者没有急于抛出公式，而是先用非常形象的例子，比如计算不规则形状物体的质量或者液体的体积，来阐述为什么要引入二重或三重积分的几何意义。我特别欣赏它在概念引入上的那份耐心，每一个定理的证明都拆解得极为清晰，逻辑链条完整到仿佛作者就在我耳边低语，一步步引导我推导出结论。学完这部分内容后，我终于能理解为什么定积分可以用来求面积和体积，那种豁然开朗的感觉，是之前看其他资料所不曾有过的。而且，书中的例题设计得非常巧妙，基础的计算题帮你打牢基础，而后面的应用题则充满了挑战性，能真正考验你对知识的掌握深度和灵活运用能力。对于期末考试复习来说，这本书的习题精选简直是宝藏，覆盖了各个知识点，让我感觉胸有成竹。

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读完这套教材的后半部分，我感觉自己对“抽象”这个词有了全新的认识。这本书在处理偏微分方程和向量分析这些硬核内容时，展现出了一种罕见的清晰度。我以前对梯度、旋度和散度的理解总是停留在死记硬背公式的层面，感觉它们就是几个莫名其妙的算子。但这本书通过空间向量场和物理现象的类比，比如热传导、流体力学中的势场，把这些概念“具象化”了。特别是关于格林公式和斯托克斯定理的讲解，它没有简单地罗列公式，而是通过讲解这些定理在二维平面和三维空间中的几何意义，让我明白它们其实是微积分基本定理在更高维度上的推广，这种“宏观视角”的提升是极其宝贵的。阅读体验上，排版非常舒服，公式居中且编号清晰，注释也足够专业，即便是面对那些需要大量空间想象力的证明时，插图也总是恰到好处，避免了陷入纯粹的符号迷宫。这套书的严谨性毋庸置疑，但它高明之处在于，它在保持数学严谨性的同时，从未牺牲读者的可理解性。

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说实话，我原本对高等数学的“下册”内容一直抱有畏惧心理，总觉得涉及到级数和微分方程的部分会复杂到令人崩溃。但《高等数学（下册）》的处理方式，让我彻底改变了看法。关于无穷级数的收敛性判断，书里把比值检验法、根值检验法、积分检验法等各种工具的适用范围讲得明明白白，而且还配有大量的“反例”分析，告诉我为什么在某种情况下使用某种方法是错误的，这比单纯告诉你“怎么做”要深刻得多。在学习傅里叶级数时，它没有跳过冗长的欧拉公式推导，但每一步的过渡都非常平滑，并且很快就展示了其在信号处理和周期函数逼近中的强大威力，让我看到了理论的实用价值。这本书的编排哲学似乎是：先给你工具，再教你如何使用工具，最后让你知道这个工具的价值所在。对于自学党来说，这种结构简直是量身定做的，几乎没有“卡壳”的时候。

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