现代常微分方程理论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:上海大学出版社

作者:盛立人

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1900-01-01

价格:20.0

装帧:平装

isbn号码:9787810584234

丛书系列:

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• 常微分方程
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《微分几何及其应用》 概述： 本书是一部系统介绍微分几何基本理论及其在数学和物理学中广泛应用的著作。微分几何是研究具有光滑结构的流形上几何性质的数学分支，它提供了一种强有力的语言和工具来描述和分析自然界中的许多现象。本书旨在为读者提供坚实的理论基础，并引导他们探索微分几何的深刻思想及其在现代科学研究中的重要地位。 内容梗概： 本书从欧几里得空间中的曲线和曲面出发，逐步引入更一般化的流形概念，包括光滑流形、切空间、向量场、张量场等基本对象。在此基础上，我们深入探讨了黎曼几何的核心内容，如度量张量、联络、曲率以及测地线等概念。这些概念构成了描述几何形状和距离的数学框架。 核心理论部分： 1. 流形基础： 光滑流形： 介绍流形的局部欧几里得性质，以及如何通过坐标卡和图册来描述抽象的几何空间。 切空间与切丛： 定义流形上每一点的切空间，并引入切丛的概念，它是流形上所有切空间的集合，为分析向量场提供了基础。 向量场与李导数： 研究流形上的向量场，它们可以看作是描述空间方向和变化的“箭头”。李导数作为衡量向量场作用下函数或张量变化的工具，在分析动力系统和几何变换中至关重要。 张量与张量场： 推广向量的概念，引入张量及其在流形上的张量场。张量是描述多线性关系的重要数学对象，在物理学中扮演着核心角色。 2. 黎曼几何： 黎曼度量： 引入黎曼度量张量，它赋予流形上的切空间内积结构，从而定义了距离、角度和体积的概念，是黎曼几何的基石。 仿（射）联络： 定义流形上的仿（射）联络，它允许我们在不同点之间“平行地”移动向量，是定义测地线和协变导数的前提。 协变导数： 基于联络，我们引入协变导数，它允许我们将向量场沿曲线求导，从而研究向量场在流形上的变化情况。 曲率： 深入研究黎曼曲率张量，它是衡量流形几何弯曲程度的关键不变量。我们还将讨论里奇曲率和标量曲率，以及它们与流形整体性质的关系。 测地线： 定义测地线，即在黎曼流形上“最短”或“最直”的曲线，它们是自然界中许多运动轨迹（如行星轨道）的数学模型。 应用领域： 本书的重点不仅在于介绍理论，更在于展示微分几何在众多科学领域的强大应用。 1. 广义相对论： 时空几何： 广义相对论将引力描述为时空（一个四维黎曼流形）的几何性质。本书将详细介绍如何使用微分几何的语言来理解爱因斯坦场方程，以及如何分析黑洞、引力波等现象。 曲率与物质能量： 探讨时空的曲率如何由物质和能量的分布决定，以及这种几何效应如何表现为我们所观测到的引力。 2. 整体微分几何： 拓扑与几何的联系： 介绍整体微分几何的研究方法，即如何利用几何性质（如曲率）来推断流形的拓扑结构，以及反之亦然。例如，我们将讨论高斯-博内定理及其重要性。 流形的分类： 探索具有特定几何性质的流形的分类问题，以及这些分类如何揭示数学结构的美妙。 3. 其他应用： 理论物理： 微分几何的概念在规范场论、弦理论等现代物理学前沿领域有着不可或缺的作用。 计算机科学： 在计算机图形学、机器人学和机器学习等领域，微分几何的工具也日益受到重视，用于描述和处理复杂的几何数据。 本书特色： 循序渐进： 从易于理解的低维空间概念开始，逐步过渡到抽象的高维流形，确保读者能够逐步掌握复杂理论。 理论与应用并重： 不仅提供严谨的数学推导，还通过丰富的应用实例来展示微分几何的强大生命力。 数学语言精确： 采用标准数学符号和严谨的逻辑推理，培养读者严谨的数学思维。 精选习题： 每章配有精心设计的习题，帮助读者巩固所学知识，并激发进一步的探索。 目标读者： 本书适合数学、物理学、计算机科学等相关专业的本科高年级学生、研究生以及对微分几何感兴趣的科研人员。具备一定微积分、线性代数和基础拓扑学知识的读者将更容易理解本书内容。 结论： 《微分几何及其应用》致力于揭示微分几何这一古老而又充满活力的学科的魅力。它不仅是理解现代物理学深刻思想的钥匙，也是探索数学本身深层结构的重要工具。通过本书的学习，读者将能够运用微分几何的语言，更深刻地理解我们所处世界的几何规律，并为进一步的科学研究打下坚实的基础。

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这本书的习题设计堪称一绝，它完美地平衡了理论巩固与创新应用之间的鸿沟。不同于那种机械重复计算的题库式练习，这里的习题明显经过精心筛选和编排。基础部分用来夯实基本功，确保读者对核心工具的熟练掌握；而中后期的挑战题，则往往需要综合运用多个章节的知识点，甚至需要读者跳出书本框架进行一定的灵活变通。尤其是一些开放性的研究型习题，它们更像是给出了一个研究方向的起点，而不是一个明确的终点。我花费了大量时间在攻克这些难题上，每一次突破带来的成就感，都远超完成一次简单作业的满足。这套习题集本身就可以被视为一本小型的方法论教材，它真正教会了我如何用微分方程的语言去“观察”世界。

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这本书的另一个亮点是其对“现代”这一概念的诠释，它没有停留在传统的常微分方程范畴，而是非常自然地将讨论延伸到了偏微分方程（PDE）的边缘地带，探讨了如何通过系统化的手段将ODE的框架拓展到更复杂的系统。尤其是在处理边界条件和定性分析时，作者巧妙地引入了一些关于稳定性和分支理论的初步概念，虽然篇幅不长，但极具前瞻性。这使得初学者在扎实掌握ODE的根基后，能够清晰地看到前方的学术路径，而不是仅仅停留在解出特定形式方程的层面。这本书为我后续深入学习动力系统和非线性分析提供了极其宝贵且前瞻性的路线图，是连接基础课程与前沿研究的绝佳桥梁。

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这本书的装帧和印刷质量简直是教科书的典范。封面设计简洁大气，内页纸张质感上乘，字迹清晰锐利，排版布局赏心悦目，让人在长时间阅读时眼睛也不会感到疲劳。从拿到书的那一刻起，就能感受到出版方在细节上的用心。翻开扉页，目录结构清晰明了，每一章的标题都精准地概括了其核心内容，使得初次接触的读者也能迅速把握全书的脉络。特别是那些复杂的公式推导部分，作者的处理方式非常精妙，不仅保证了数学上的严谨性，同时又兼顾了视觉上的易读性。这种对物理实体本身的尊重，是许多现代数学著作中难以见到的优点。它不仅仅是一堆知识的堆砌，更是一件值得在书架上珍藏的艺术品。这种对细节的执着，无疑为深度学习打下了坚实的基础。

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我特别欣赏作者在论证过程中所体现出的那种审慎的学术态度。全书的证明过程逻辑链条极其紧密，几乎没有可以被质疑的跳跃步骤。对于那些依赖于复杂分析基础的引理或定理的引用，作者总是会适当地给出简要回顾，或者明确指出其出处，使得那些对背景知识略有遗忘的读者也能轻松跟上推导的节奏。这种对严谨性的坚持，在某些需要引入较多拓扑学或泛函分析工具的地方尤为突出。可以明显感觉到，作者在构建理论体系时，是层层递进，步步为营，确保每一步的结论都坚实可靠。这种深度和广度兼具的论述方式，让读者在获得知识的同时，也潜移默化地接受了高等数学研究应有的规范。

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深入研读了前几章后，我最大的感受是作者在内容组织上的匠心独运。他没有急于展示那些高深的定理和抽象的技巧，而是选择了一种非常温和且富有启发性的引导方式。首先，他从实际物理现象或经典数学问题出发，引出需要解决的方程组，这种“问题导向”的教学方法极大地激发了我的求知欲。每引入一个新的概念，作者都会附带简短但深刻的历史背景介绍，这使得冰冷的数学概念瞬间拥有了“人情味”和时代感。阅读过程中，我发现作者非常擅长在关键转折点设置“思考题”——这些问题往往不是直接要求计算，而是引导读者去思考不同方法背后的哲学差异。这种亦师亦友的叙事口吻，让枯燥的理论学习过程变得像一场引人入胜的智力探险，远超我预期的学术深度。

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