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出版者:W. H. Freeman

作者:Judith L. Gersting

出品人:

页数:800

译者:

出版时间:2002-07-19

价格:USD 107.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780716743583

丛书系列:

图书标签:

• math
• Mathematics
• Discrete
• 数学结构
• 计算机科学
• 离散数学
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• 集合论
• 图论
• 组合数学

《算法的根基：离散数学与计算思维》 本书旨在为计算机科学的初学者和进阶者提供坚实的数学基础，深入剖析支撑现代计算理论与实践的核心概念。我们并非简单地罗列公式，而是力求展现数学结构如何巧妙地转化为解决计算机科学问题的强大工具。 第一部分：逻辑与证明的艺术 我们从逻辑学的基本原理开始，探讨命题逻辑和谓词逻辑，学习如何构建严谨的论证，识别逻辑谬误。这部分内容是理解算法正确性、程序验证以及形式化方法的基础。你将掌握演绎推理、归纳推理等证明技巧，学会如何清晰、准确地表达数学思想，并将其应用于计算机系统设计与分析中。我们将通过丰富的实例，例如布尔代数在电路设计中的应用，来说明逻辑的实际价值。 第二部分：集合论的语言 集合论是构建一切数学对象的基础。本书将深入介绍集合的基本概念，如元素、子集、并集、交集、差集等，并探讨集合运算的性质。在此基础上，我们将引入关系与函数的概念，这是理解数据结构、数据库理论以及函数式编程的关键。你将学习如何利用集合来建模现实世界的问题，并理解各种数据结构的内在联系。特别是，我们将详细讲解关系代数在数据库查询优化中的作用。 第三部分：组合学的智慧 组合学是研究计数与排列的艺术，它在算法分析、概率计算以及编码理论中扮演着至关重要的角色。本书将系统介绍排列、组合、二项式定理、鸽巢原理等核心概念。通过这些工具，你将学会如何计算复杂场景下的可能性，理解随机算法的设计思路，并为分析算法的时间和空间复杂度打下基础。我们还会探讨生成函数等进阶工具，展示如何用代数方法解决组合问题。 第四部分：图论的视野 图论是计算机科学中最具表现力的数学分支之一。本书将全面介绍图的基本概念，如顶点、边、度、连通性等，并深入探讨各种重要的图算法，包括遍历算法（深度优先搜索、广度优先搜索）、最短路径算法（Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法）以及最小生成树算法（Prim算法、Kruskal算法）。你将学习如何用图来建模网络、社交关系、问题求解路径等，并理解这些算法在路由、调度、社交网络分析等领域的广泛应用。 第五部分：代数结构的探索 代数结构为我们提供了抽象的框架来理解和操作数学对象。本书将介绍群、环、域等基本的代数结构。虽然这些概念可能初看起来较为抽象，但它们在密码学、编码理论、自动机理论以及形式语言理论中有着不可替代的作用。你将理解模运算的强大威力，认识到有限域在现代通信和安全领域的关键作用。 学习目标： 培养严谨的计算思维： 掌握逻辑推理和证明技巧，能够清晰、准确地分析和构建算法。 理解数据结构的数学本质： 认识到集合论、图论等概念如何支撑各种数据结构的组织和操作。 掌握算法分析与设计的基础： 运用组合学和图论的知识，评估算法的效率，并设计出更优的解决方案。 为进阶学习铺平道路： 为学习更高级的计算机科学理论，如可计算性理论、计算复杂度理论、形式语言与自动机等打下坚实的基础。 提升解决复杂问题的能力： 将抽象的数学思想应用于实际的计算机科学问题，培养解决未知挑战的创新能力。 本书特色： 理论与实践并重： 每个概念都辅以大量的计算机科学应用实例，帮助读者理解抽象数学知识的实际意义。 循序渐进的教学方法： 内容组织逻辑清晰，难度逐步提升，适合不同程度的学习者。 丰富的习题集： 每章都配有精心设计的练习题，涵盖不同难度和类型，巩固所学知识。 强调数学建模能力： 鼓励读者将实际问题转化为数学模型，并运用所学知识求解。 本书适合所有希望深入理解计算机科学核心原理的读者，包括计算机科学专业的本科生、研究生，以及对算法、数据结构、理论计算机科学感兴趣的开发者和研究人员。掌握本书中的数学工具，将使你在面对复杂的计算挑战时，拥有更清晰的视野和更强大的解决能力。

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说实话，我拿到这本书时，内心是有点忐忑的，毕竟“Mathematical Structures”这个标题本身就自带一种令人望而却步的气场。然而，读下去后，我发现这完全是一次惊喜的体验。它更像是一本深入浅出的导览图，带领我们在计算机科学的广阔领域中，探索那些隐藏在代码和数据结构之下的数学骨架。我对其中关于集合论和关系代数那几章印象尤其深刻。作者没有将这些概念束之高阁，而是巧妙地将它们与数据库查询语言的底层实现、形式化验证的方法论结合起来。这种跨学科的视角，极大地拓宽了我对“计算机科学”这个定义的理解。它不再仅仅是关于编程语言和操作系统，而更像是一门关于形式化思维和逻辑构建的艺术。我能感受到作者在组织材料时花费的心思，他似乎总是在最恰当的时机引入一个新的数学概念，并立即展示它在现实计算问题中的威力。这本书的价值在于，它帮助我从“如何做”的层面，提升到了“为何如此”的认知高度。

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这本书，我得说，简直是为那些想在计算机科学的底层逻辑上扎下深根的人量身定做的。初捧此书，我带着对那些抽象数学概念的好奇与敬畏。它并没有像某些教科书那样，上来就用冷冰冰的符号堆砌出令人望而生畏的公式墙。相反，作者似乎深谙如何将那些看似艰涩的数理结构——比如离散概率、图论的精妙编织、布尔代数那严谨的逻辑推演——融入到计算机科学的实际应用场景中。我特别欣赏它在阐述算法复杂性时所采用的视角，它不是简单地告诉我们“这个算法是$O(n^2)$”，而是深入剖析了是什么样的数学结构决定了这种性能瓶颈，以及如何通过重构底层逻辑来优化它。书中对证明过程的讲解，丝毫不含糊，每一步推导都像是在精心铺设一条通往真理的阶梯，既保证了严谨性，又兼顾了可读性。对于那些希望不仅仅是会用工具，而是想理解工具背后“为什么”的读者来说，这本书提供了一个坚实的哲学和数学基础。它教会我的，是如何用一种结构化、可验证的方式去思考问题，这对于构建健壮、高效的软件系统来说，是至关重要的软实力。

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坦率地说，市场上充斥着大量声称能“打好基础”的教材，但大多读起来都像是对现有知识点的简单罗列。这本书的独到之处在于，它成功地建立了一座坚固的桥梁，连接了理论数学的抽象美感与工程实践的迫切需求。我尤其欣赏它对有限状态自动机（FSA）和正则表达式背后的数学原理的深入剖析。作者没有满足于给出标准的转换图，而是追溯了这些模型在计算理论中的起源和演变，这使得我对编译原理和文本处理的理解上升到了一个全新的层面。书中穿插的那些历史典故和数学家的思考路径，也为这段旅程增添了不少人文色彩，让人不觉得是在独自面对冰冷的符号。它教会我们，每一次成功的工程设计，背后都隐藏着一个优雅的数学结构在支撑。这本书的深度和广度令人叹服，它不仅是工具书，更是一部激发思考的智力伙伴。

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这本书的阅读体验，可以总结为一种渐进式的“顿悟之旅”。起初，某些关于抽象代数在密码学中应用的章节，确实需要放慢速度，反复咀嚼。但正是这种需要“慢下来”的过程，带来了最深刻的理解。作者在处理数论和模运算时，那种对数字内在规律的洞察力，如同剥洋葱般层层递进，最终展示出RSA等公钥加密算法的精妙所在。它不是把密码学当成一个“黑箱”来介绍，而是将它还原为最基本的代数操作。另一个让我印象深刻的点是，书中对算法设计模式的数学归因。例如，动态规划的优化，是如何从优化子问题的结构重叠这一数学事实中自然涌现出来的。这本书的语言风格严谨而不失启发性，它要求读者投入精力，但回报是丰厚的——你得到的将不再是零散的知识点，而是一个融会贯通的、用数学语言构建起来的计算机科学世界观。它是一本值得反复翻阅的案头经典。

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作为一名偏爱应用层面的开发者，我一度对纯理论书籍敬而远之。然而，这本书的叙事风格成功地打破了我的偏见。它不是那种枯燥的纯理论汇编，更像是一本“数学思维训练手册”。我特别欣赏它对归纳法和递归结构的详尽论述，这些概念在处理树形结构、解析语法乃至证明程序正确性时，都是核心中的核心。书中关于逻辑系统和命题演算的章节，用一种近乎建筑学的严谨性，构建起了形式化验证的大厦。阅读过程中，我发现自己看待编程中的错误和边界条件的方式都发生了微妙的变化——我开始本能地去寻找那个最根本的、结构性的漏洞，而不是仅仅停留在表面现象的调试。这本书的排版和图例设计也非常出色，那些复杂的数学图示，例如用来解释连通性和最短路径的图形，清晰明了，极大地辅助了理解。它需要的不是死记硬背，而是心智上的参与和推演，读完后，你会感觉自己的“逻辑肌肉”得到了极大的锻炼。

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