A Course in the Geometry of N-Dimen pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Kendall, M G

出品人:

页数:80

译者:

出版时间:2004-7

价格:$ 8.98

装帧:

isbn号码:9780486439273

丛书系列:

图书标签:

• 几何学
• N维几何
• 微分几何
• 拓扑学
• 数学
• 高等数学
• 几何
• 维度
• 课程
• 学术

《几何学进阶：多维空间中的结构与变换》 简介 本书旨在为对高等几何学抱有浓厚兴趣，并希望深入探索多维空间几何结构、拓扑性质及其代数基础的读者提供一套严谨而全面的导引。它并非专注于某一特定方向（如流形、微分几何或代数几何），而是力求构建一个坚实的、跨越多个关键领域的几何学基础框架，侧重于从基础线性代数概念出发，逐步过渡到抽象空间中的几何直觉与精确描述。 本书内容横跨欧几里得空间的高阶推广、拓扑学的基本要素，以及对刚性与形变保持的深入分析，旨在培养读者在更高维度下进行几何推理的能力。 --- 第一部分：欧几里得空间的高维概览与度量结构（1-4章） 第1章：向量空间回顾与几何基础的重构 本章首先对线性代数的核心概念进行系统的回顾，但重点在于其几何诠释。我们不再将向量空间视为单纯的代数结构，而是作为我们构建几何世界的“骨架”。详细讨论内积空间（Inner Product Spaces）的定义，并着重分析实内积空间（即欧几里得空间 $mathbb{R}^n$）的度量、长度和角度的概念。我们引入正交性、施密特正交化过程，并探究正交基在简化几何计算中的核心作用。重点讨论矩阵的奇异值分解（SVD）在理解高维空间中线性变换对“形状”影响上的几何意义。 第2章：欧几里得空间的刚性运动与等距变换 在欧几里得空间中，几何研究的核心在于那些不改变距离的变换，即等距变换（Isometries）。本章详细分类和分析了这些变换：平移（Translations）、旋转（Rotations）以及反射（Reflections）。我们使用李群理论的初步概念来描述旋转群 $O(n)$ 和特殊正交群 $SO(n)$，阐明它们如何通过正交矩阵来实现。通过分析固定点集合和不动子空间，读者将理解高维空间中“轴”和“平面”的推广形式。本章特别强调了轴线定理在高维空间中的推广及其在机器人学和计算机图形学中的基础应用。 第3章：二次型、椭球体与高维曲率的初步接触 本章从代数角度深入探讨高维几何对象。二次型（Quadratic Forms）是描述二次曲面（如椭球体、双曲面）在任意维度下的代数工具。我们利用特征值分解来对二次型进行规范化（Canonical Forms），从而清晰地识别出高维“椭球”的半轴长度和方向。此外，本章引入了曲率的直观概念，通过分析球面（或高维超球）的表面积和体积随维度变化的行为，初步探讨了高维几何直觉的“反常”之处。 第4章：仿射几何与坐标系无关的描述 本章将研究从向量空间到仿射空间（Affine Space）的过渡。仿射空间去除了原点概念，仅保留了相对位置和线性组合的结构。我们定义仿射子空间（如直线、平面、超平面），并阐述如何使用向量来描述这些空间，而不依赖于特定的原点选择。本章强调了仿射变换（包括伸缩和平移）在保持“共线”和“比例”方面的性质。 --- 第二部分：拓扑学基础与连续形变（5-7章） 第5章：度量空间与邻域结构 为了跳出严格的距离限制，本章引入拓扑学中最核心的概念——度量空间（Metric Spaces）。我们定义距离函数，并基于此导出邻域（Neighborhoods）、开集（Open Sets）和闭集（Closed Sets）的概念。本章详细讨论了开球和闭球在高维空间中的性质，以及完备性（Completeness）的概念，这对于分析收敛性至关重要。读者将开始理解拓扑空间如何提供一个比欧几里得空间更具弹性的框架来研究连续性。 第6章：连续函数与拓扑等价 连续函数的拓扑定义——即原像下保持开集的映射——是本章的核心。我们随后探讨拓扑性质的保持，特别是“拓扑等价”（Homeomorphism，或称同胚）。通过大量的实例（如圆盘与正方形的同胚，甜甜圈与咖啡杯的拓扑等价性），读者将建立起“拉伸而不撕裂”的几何直觉，并理解拓扑学关注的是结构上的不变性而非度量上的精确性。 第7章：连通性与紧致性 本章关注空间在“分离”和“界限”方面的性质。连通性（Connectedness）讨论一个空间是否能被两个不相交的开集完全分开。紧致性（Compactness），特别是 Heine-Borel 定理在高维欧几里得空间中的表现，是极其重要的工具，它保证了连续函数在紧集上存在最大值和最小值。我们分析了这些性质在高维紧集上的作用，以及它们如何简化高阶分析问题。 --- 第三部分：黎曼几何的先驱：流形与曲面的概念（8-10章） 第8章：微分流形的初步构造 本章是通往现代几何的桥梁。我们从欧几里得空间中的可微曲面出发，抽象出微分流形（Differentiable Manifold）的概念。流形通过“图册”（Atlas）和“坐标变换”（Transition Maps）来局部地模仿欧几里得空间，而要求这些变换是光滑的。本章详细阐述了什么是光滑性（C^k 或 C$infty$）以及为什么局部坐标系下的光滑性保证了全局的几何结构。 第9章：切空间与一阶结构 在流形上，我们不能直接定义向量加法，但可以在每一点上定义一个“切空间”（Tangent Space）。本章将切空间视为流形在该点“最接近”的线性近似，并将其与该点上的所有可能曲线的切向量构成的向量空间联系起来。我们展示了如何通过导数和方向导数来定义切向量，从而在局部建立起一个量化变化的框架。 第10章：度量张量与黎曼几何的黎明 为了在流形上重新引入距离和角度的概念，本章定义了度量张量（Metric Tensor）。这是一个定义在每个切空间上的对称正定二次型，它允许我们在流形上计算任意两条曲线之间的夹角，或计算流形上的长度积分。通过在二维曲面上应用度量张量，我们初步引入了高斯曲率的概念，展示了如何在没有嵌入背景空间的情况下，仅凭流形自身的结构来衡量其弯曲程度。 --- 总结 本书通过对刚性变换的精确分析（第一部分）、对连续形变的拓扑描述（第二部分）以及对局部光滑几何结构的构建（第三部分），为读者提供了一个多层次、相互关联的几何学视野。它强调从代数到拓扑再到微分几何的平滑过渡，是准备进入高等微分几何、代数拓扑或理论物理领域研究的理想预备读物。本书的训练重点在于抽象思维的培养和几何直觉的严谨化。

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