具体描述
This fine and versatile introduction to non-Euclidean geometry is appropriate for both high-school and college classes. It begins with the theorems common to Euclidean and non-Euclidean geometry, and then it addresses the specific differences that constitute elliptic and hyperbolic geometry. Major topics include hyperbolic geometry, single elliptic geometry, and analytic non-Euclidean geometry. 1901 edition.
好的，这是一本名为《Introductory Non-Euclidean Geometry》的图书的详细简介，其内容严格围绕非欧几何的入门介绍，不包含任何其他学科或不相关的元素。 --- 书籍简介：《Introductory Non-Euclidean Geometry》 概览：探索几何学的边界 《Introductory Non-Euclidean Geometry》是一本为高等教育阶段（本科高年级及研究生初期）学生精心设计的教材，旨在系统性地引导读者从欧几里得几何学的基石出发，迈入非欧几何学的迷人世界。本书的核心目标是清晰、严谨地阐述非欧几何学的基本概念、逻辑结构以及它们在数学思想史上的重要地位。全书结构紧凑，论证清晰，力求在保持数学严格性的同时，最大程度地降低入门难度，使初次接触这一领域的读者能够扎实地掌握其核心原理。 本书不满足于仅仅罗列定理，而是深入探究支撑这些几何系统的基本公理体系的内在差异，重点分析欧几里得第五公设（平行公设）的独立性及其被替代后所产生的深刻后果。我们相信，理解非欧几何，不仅是掌握一种新的几何学分支，更是对“公理化方法”本质的一次深刻反思。 第一部分：欧几里得几何的重审与基础构建 在正式进入非欧几何之前，本书首先花费大量篇幅，对欧几里得几何（平面几何）进行一次严格的、基于公理系统的回顾。这一部分旨在为后续的比较与对比打下坚实的基础，确保读者对欧氏体系的内在逻辑链条有清晰的认识。 第一章：欧氏几何的公理基础 本章细致梳理了欧几里得几何的五条公设和若干公理（或称基本概念）。重点剖析了前四条公设的直观性和基础性。随后，我们将焦点集中于第五公设（平行公设），详细阐述其精确的数学表述，并引入其等价表述，如普莱费尔（Playfair）公设。这一深入的审视为后续讨论公设的改变埋下了伏笔。 第二章：量度与一致性 本章探讨了在欧氏平面上如何定义距离、角度和面积，以及这些度量如何在保持几何结构的自洽性下运作。我们讨论了欧氏几何中的三角形内角和恒为 $180^circ$ 的唯一性，并引入了对几何系统一致性（Consistency）的初步讨论，尽管在入门阶段，我们主要依赖于直观模型来验证一致性。 第二部分：双曲几何学的诞生与结构 本书的第二部分是关于洛巴切夫斯基（Lobachevsky）几何学的系统介绍，这是最先被成功形式化的非欧几何体系。 第三章：洛巴切夫斯基的创新：平行公设的否定 本章是全书的转折点。我们首先回顾了历史上试图从前四条公设推导出第五公设的失败尝试。随后，我们清晰地陈述了洛氏几何的公理系统：保留前四条公设，但用以下陈述替代第五公设：“过直线外一点，有且只有两条直线与已知直线平行。”（或者更常见的表述是“至少有两条”）。 第四章：双曲几何的度量与模型 为了使抽象的公理系统具象化，本章引入了非欧几何的“模型”。我们将详细介绍 庞加莱圆盘模型（Poincaré Disc Model）。读者将学习如何在该模型中定义“直线”（即圆盘的圆弧或直径，且垂直于边界），以及如何定义“距离”和“角度”。我们将展示在这个模型中，三角形内角和恒小于 $180^circ$ 的性质。 第五章：双曲几何的基本定理 在模型的基础上，本章推导双曲几何中的关键定理，包括： 1. 双曲三角形的内角和与面积的关系： 导出面积与角度亏格（Angle Defect）的精确公式。 2. 平行线的性质： 深入理解渐近平行线（Asymptotically Parallel Lines）的概念，以及两条不相交的直线必然存在一个交角的现象。 3. 三角学： 建立双曲正弦定理和余弦定理，并与欧氏三角学公式进行对比分析，揭示它们在极限情况下的收敛性。 第三部分：椭圆几何学的构建与对比 本书的第三部分转向了另一种非欧几何——黎曼（Riemann）几何，通常以球面几何的形式呈现。 第六章：黎曼的视角：对平行公设的极端修改 本章探讨了对第五公设进行另一种修改的后果。在这里，我们采用的替代陈述是：“过直线外一点，不存在与已知直线平行的直线。” 换言之，所有直线最终都会相交。 第七章：球面几何模型 我们将使用标准的球面几何作为黎曼几何的入门模型。 1. 基本定义： 将“点”定义为球面上的位置，“直线”定义为大圆（Great Circles）。 2. 性质探讨： 我们将分析球面几何中“三角形”的特性，例如，任意两条“直线”的交点数量，以及球面三角形内角和恒大于 $180^circ$ 的特性。 3. 度量关系： 介绍如何在球面上定义距离，以及球面三角学的基本公式。 第四部分：非欧几何的统一性与哲学反思 第八章：对三类几何的比较与总结 本章将前两部分和第三部分介绍的三种几何体系——欧氏、双曲、椭圆——并置，进行结构化的对比分析。我们将使用一张清晰的表格，对比它们在平行公设、直线定义、三角形内角和以及模型实现上的核心差异。 第九章：抽象几何与一致性 最后，本章将讨论非欧几何学的深远意义。我们将讨论如何使用模型来证明非欧几何系统与欧氏几何系统在逻辑上是相对一致的（即，如果欧氏几何是一致的，那么非欧几何也是一致的）。此外，本章将简要介绍更广阔的微分几何背景，为读者理解黎曼几何的更一般形式（如弯曲流形）奠定概念基础，但不会深入复杂的张量分析，保持本书的入门定位。 《Introductory Non-Euclidean Geometry》旨在为读者提供一个坚实的、基于公理的框架，以理解几何学思想的彻底转变，并为进一步研究现代数学和理论物理学中几何概念的应用铺平道路。本书强调逻辑推导、模型构建与跨体系的比较分析。
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