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☆☆☆☆☆

出版者:

作者:McCarty, George

出品人:

页数:270

译者:

出版时间:2006-1

价格:$ 55.94

装帧:

isbn号码:9780486450827

丛书系列:

图书标签:

• 拓扑学
• 点集拓扑
• 代数拓扑
• 微分拓扑
• 拓扑空间
• 连续函数
• 同伦
• 同调论
• 纤维丛
• 拓扑群

好的，这里为您构思了一份名为《拓扑学：几何与空间的深层结构》的图书简介。这份简介将聚焦于纯粹的数学内容，避免提及“Topology”一词，着重于描述这门学科的核心概念、历史脉络、关键工具及其在现代数学中的地位。 拓扑学：几何与空间的深层结构 一部全面而深刻的几何学分支探索之旅 本书带领读者深入探索一个古老而又充满活力的数学领域——那些致力于研究空间在连续形变下保持不变的内在性质的学科。我们不再仅仅关注欧几里得几何中严格的度量和角度，而是转向研究空间拓扑结构本身，即其连通性、紧致性、边界以及内部的连接方式。 本书旨在为初学者提供坚实的基础，同时为有经验的研究者提供深入的见解。我们将以严谨的笔触，结合直观的几何图像和精确的代数工具，构建起一个完整而系统的知识体系。 第一部分：基础概念的奠基——从度量到结构 本卷聚焦于构建研究拓扑空间所必需的基本语言和概念。我们将从集合论的视角出发，系统地引入拓扑学的核心要素。 1. 拓扑空间与开集系统： 我们将详细探讨拓扑空间的定义，即通过开集族来定义邻域和连续性的方法。通过分析不同类型的开集构造——从经典的欧几里得空间中的开球出发，到更抽象的子空间、商空间以及乘积空间的构造——读者将理解如何从最基本的集合出发，赋予其“形状”的属性。我们将特别强调“邻域公理”的重要性，及其如何保证我们对“接近性”的直观理解得以形式化。 2. 连续性与同胚： 连续函数是拓扑学中最核心的概念之一。我们不仅会给出 $epsilon-delta$ 语言的拓扑推广，更重要的是，我们将引入“同胚”（Homeomorphism）这一概念，作为研究拓扑性质的等价关系。同胚的概念允许我们将一个复杂的形状视为另一个更简单的形状的“拉伸”或“扭曲”，从而实现对空间本质结构的探究。我们将通过大量的例子，展示哪些形变被允许（保持拓扑性质），哪些形变则不行（破坏拓扑性质）。 3. 连通性与路径的性质： 空间是如何被“连接”起来的？本章深入探讨了连通空间、路径连通空间的概念。我们将展示如何利用开集的性质来判断一个空间是否为整体连通的。路径连通性则为后续的代数拓扑打下了基础，它允许我们将空间的结构信息编码为可以计算的代数不变量。 4. 紧致性： 紧致性是一个深刻而强大的性质，它本质上是“有限性”在无限空间中的推广。我们将严格定义紧致空间，并阐述其在实数线上的一个重要推广——Heine-Borel 定理。紧致性的重要性在于，它保证了某些连续函数（如连续函数的极值定理）的性质，是分析学与几何学交叉领域不可或缺的工具。 第二部分：不变量的挖掘——代数工具的引入 当直接观察空间结构变得困难时，数学家们转向了代数工具。本部分介绍如何利用代数结构来区分那些在拓扑上不同的空间。 5. 基本群与连通度的分类： 基本群（Fundamental Group）是代数拓扑的第一个里程碑。我们将详细介绍如何构造一个空间上的环路集合，并赋予其群结构。这个群记录了空间中“洞”的数量和类型。通过计算不同空间的环路群，我们可以明确区分一个圆环面（Torus）和一个球面（Sphere）。我们将引入霍莫托皮（Homotopy）的概念，这是对路径形变的一种更高层次的抽象。 6. 同调论的基础： 相较于基本群对环路的依赖，同调论提供了一种更具系统性和计算性的方法来探测空间中的“洞”。我们将从单纯同调（Simplicial Homology）的直观概念出发，逐步过渡到奇异同调（Singular Homology）。奇异同调通过考虑所有可能的映射到空间中的单纯形（如点、线段、三角形）来构建链复形，并利用边界算子和链复形的同调群来提取空间的拓扑不变量。我们将展示如何证明同调群是同胚不变量，从而为拓扑分类提供强大的代数武器。 7. 欧拉示性数： 作为一个简洁而有力的拓扑不变量，欧拉示性数（Euler Characteristic）将会在本章被深入探讨。我们将展示它如何与对象的顶点、边、面的数量相关联，并展示其在曲面分类理论中的关键作用。 第三部分：深入曲面世界——几何与拓扑的交汇 本部分将理论应用于最直观的对象——二维流形，即曲面。这里，几何的直觉与拓扑的严谨性达到了完美的统一。 8. 连通流形与可定向性： 我们将定义流形的概念，并重点关注二维流形（曲面）。讨论如何通过局部坐标系来描述一个曲面，以及如何判断一个曲面是否具有“可定向性”（例如，莫比乌斯带的非定向性）。 9. 经典曲面的分类： 继承了黎曼和克莱因的工作，我们将阐述著名的曲面分类定理：所有紧致、连通、可定向的曲面，都可以通过其亏格（Genus，即“洞”的数量）来唯一确定。我们将详细分析球面、环面、以及各种亏格曲面的拓扑结构，并展示如何利用前文介绍的代数工具（如基本群和同调群）来严格证明这些分类结果。 10. 拓扑学与其他领域的桥梁： 最后，本书将简要概述拓扑学如何作为连接其他数学分支的枢纽。我们将触及微分拓扑（Manifold上的光滑结构）、代数几何（代数簇的拓扑性质）以及统计物理中对高维相空间的分析等前沿领域，展示这门学科的广阔影响力和持续的生命力。 目标读者： 本书适合数学、物理学、计算机科学专业的高年级本科生和研究生，以及任何对空间结构本质有浓厚兴趣的数学爱好者。阅读本书需要具备集合论、基础分析学以及线性代数知识。 核心价值： 本书不仅是一本教科书，更是一次思维的重塑过程。它将引导读者超越表面的形状差异，去发现隐藏在万物之下的、关于连接、连续和形态的普适真理。通过对严谨证明的锤炼和对几何直觉的培养，读者将能够掌握分析和构建复杂空间结构的能力。

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