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出版者:中国时代经济出版社

作者:石瑞青

出品人:

页数:306

译者:

出版时间:2007-9

价格:12.00元

装帧:

isbn号码:9787802213876

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《现代数学导论》 这本书旨在为读者提供一个对现代数学学科的全面而深入的概览。它并非局限于某个特定分支，而是以一种整合性的视角，展现了数学概念的丰富性、逻辑的严谨性以及其在解决现实世界问题中的强大力量。全书共分为八个主要部分，每个部分都精心设计，循序渐进，旨在构建坚实的数学基础，并引导读者领略数学之美。 第一部分：数学的基石——逻辑与集合论 本部分是理解后续所有数学内容的基础。我们首先会探讨形式逻辑的基本原理，包括命题逻辑、谓词逻辑、量词的使用以及证明的基本方法（如直接证明、反证法、数学归纳法）。随后，我们将深入集合论，介绍集合的基本概念、运算（并、交、差、补）、关系（等价关系、偏序关系）和函数。通过对无限集合的探讨，例如可数集与不可数集，读者将初步领略到数学的抽象魅力和令人惊叹的无限性。 第二部分：代数的语言——群、环与域 代数是数学中研究结构和运算的重要分支。本部分将从最基本的代数结构——群开始，介绍群的定义、性质、子群、陪集、正规子群以及同态与同构。在此基础上，我们将引入环的概念，探讨环的定义、性质、理想、商环以及域的结构。这些抽象代数工具不仅是理解更高级数学理论的关键，也是密码学、编码理论等现代应用的基础。 第三部分：数的奥秘——数论基础 数论是数学中最古老也最具活力的分支之一，它专注于整数的性质。本部分将介绍整除性、素数、最大公约数与最小公倍数、欧几里得算法等基本概念。我们还会探讨同余理论，这是数论中的核心工具，并介绍一些著名的数论定理，如费马小定理和欧拉定理。这些看似纯粹的数论知识，在现代密码学中扮演着至关重要的角色。 第四部分：空间的描绘——线性代数 线性代数是处理向量空间、线性映射以及线性方程组的数学工具。本部分将从向量和矩阵的概念入手，介绍向量的线性组合、线性无关、基与维数。我们将深入探讨矩阵的运算、行列式、逆矩阵以及特征值与特征向量。线性代数在计算机图形学、数据科学、物理学、工程学等诸多领域有着广泛而深刻的应用。 第五部分：连续的探索——微积分初步 微积分是研究变化率和累积量的数学工具，是现代科学技术不可或缺的语言。本部分将介绍极限的概念，它是理解导数和积分的基石。我们将详细阐述导数的定义、几何意义及其在函数分析中的应用，包括单调性、极值和凹凸性。接着，我们将引入积分的概念，讨论定积分与不定积分，并阐述微积分基本定理。 第六部分：几何的形态——拓扑学入门 拓扑学是研究空间在连续变形下不变性质的学科，它为我们提供了一种更抽象、更本质的理解空间的方式。本部分将介绍拓扑空间的基本概念，如开集、闭集、邻域、连续映射等。我们将探讨连通性、紧致性等重要的拓扑性质，并通过一些经典的例子，如球面、环面等，来展示拓扑学的奇妙之处。 第七部分：概率的计算——概率论基础 概率论是研究随机现象规律性的学科，它为我们量化不确定性提供了数学框架。本部分将介绍概率空间、随机事件、概率的公理化定义，以及条件概率和独立性。我们将深入探讨随机变量及其概率分布（离散型和连续型），并介绍期望、方差等重要的统计量。 第八部分：算法的逻辑——计算理论导引 本部分将目光投向计算的本质和极限。我们将介绍可计算性理论，探讨图灵机模型，并介绍不可解问题，如停机问题。随后，我们将讨论计算复杂度理论，区分多项式时间可解问题和指数时间可解问题，并介绍P类和NP类问题。这部分内容为理解算法的效率和计算机科学的理论边界提供了深刻的洞见。 《现代数学导论》力求以清晰的逻辑、严谨的推理和丰富的实例，带领读者一步步走进数学的殿堂。本书不仅适用于数学专业的学生，也欢迎所有对数学的逻辑之美、严谨之美以及应用之美感兴趣的读者。通过对本书的学习，读者将能够更好地理解现代科学技术背后的数学原理，并为进一步深入学习和研究打下坚实的基础。

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全书的装帧设计和排版风格也值得称赞，它传递出一种克制而高雅的学术气质。但更重要的是，它在内容组织上采取了一种“自下而上”的建构方式。它从最直观的、可以被视觉化的物理场景入手，比如弹簧的运动、液体的流动轨迹等，逐步抽象出更高阶的数学结构。这种由具体到抽象的引导，极大地降低了初学者的入门门槛，同时也让有基础的读者能够重新审视那些被视为理所当然的基本假设。书中对“解的存在性和唯一性”的讨论，并非停留在抽象的证明层面，而是结合了物理意义，探讨了在什么条件下，一个物理过程的未来是可预测的，什么时候它将陷入混沌。这种将数学逻辑与物理直觉完美融合的处理手法，使得整部作品既有严密的逻辑链条，又不失鲜活的生命力，是一本能够激发深度思考的佳作。

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这本书在处理“近似”和“误差控制”这些关键概念时，展现出了一种近乎外科手术般的精准度。它没有给人一种“只要会解方程就万事大吉”的错觉，反而毫不避讳地揭示了在现实世界中，精确解往往是可望而不可即的，因此对模型稳定性的判断和误差范围的估计变得至关重要。作者似乎非常钟情于对“非线性”世界的探索，他用大量的篇幅来论证，即使是微小的初始扰动，也可能在长期演化中导致灾难性的后果，这种对系统敏感性的揭示，读起来令人既敬畏又警醒。书中对数值方法的介绍并非作为替代品，而是作为理解理论极限的一种工具。它教会了读者如何“有智慧地放弃”——放弃对完美解的执着，转而追求在可接受误差范围内的最优控制。这种务实而又深刻的探讨，对于任何希望将数学工具应用于复杂系统建模的人来说，都是极具价值的。

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这本书的阅读体验，仿佛是置身于一个充满历史厚重感的学术沙龙之中。作者的笔触稳健而老练，他不仅仅是在传授知识，更像是在娓赎一段数学思想的传承史。对于那些对学科源流和先驱们的争论感兴趣的读者来说，这本书简直是宝藏。它会不时地穿插一些关于早期数学家们在解决特定难题时所经历的心路历程的描述，这种人文关怀使得冰冷的数字焕发出了人性的光辉。例如，书中对某些积分方法的引入，并不是直接给出公式，而是追溯到那个时代，人们是如何一步步克服了计算的壁垒，才达到了今天的理解高度。这种对“过程”的强调，让读者能够更深刻地体会到数学发现的艰辛与美妙。它对于理论背景的铺陈非常扎实，但又不显得冗长，每一次的知识点引入都服务于一个更大的逻辑目标，读完后会有一种强烈的“豁然开朗”感，仿佛历史的迷雾被拨开了。

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我必须承认，这本书的叙事节奏把握得极其出色，它采用了一种类似于侦探小说的结构来组织材料。每一章节都像是一个新的线索被抛出，读者需要跟随作者的引导，逐步拼凑出整个问题的全貌。它巧妙地避开了传统教材那种线性、平铺直叙的讲解方式，而是通过一系列精心构造的“案例研究”来推进理论的发展。这种“问题导向”的学习方法极大地激发了我的好奇心。我印象最深的是关于“振荡现象”的那部分章节，作者没有急于给出最终的解析通解，而是先描绘了不同参数下系统行为的定性变化——比如从缓慢衰减到持续振荡的临界点，这种对系统“气质”的描述，比单纯的公式推导要震撼得多。它让我感觉自己不是在解一道题，而是在观察一个有生命的、不断演化的复杂实体。对于那些希望深入理解数学模型在实际工程和科学领域中“为什么”会起作用的人来说，这本书无疑提供了一种全新的、更具洞察力的视角。

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这部作品的视角相当独特，它没有直接深入到那些复杂的数学符号和枯燥的定理推导中去，反倒像是一场精心编排的哲学思辨之旅。作者似乎在试图解构我们对“变化”这一基本概念的理解，并将这种理解投射到了一系列抽象的、却又与现实世界千丝万缕联系着的场景之中。它更像是在探讨“动态系统”的本质，而不是单纯的解题技巧。举例来说，其中对于“平衡点”的讨论，并非仅仅是寻找那个使导数为零的数值，而是深入剖析了系统在长期演化中可能出现的稳定与失稳的边界状态，这种宏大的叙事格局，让人联想到古典物理学中对宇宙运行规律的早期探索。阅读过程中，我不断地被引导去思考，那些看似无序的自然现象背后，是否潜藏着某种优雅而必然的数学骨架。全书的语言富有文学色彩，大量运用了比喻和类比，使得原本高深的议题变得触手可及，让人在享受思维被挑战的同时，也体验到了一种智力上的愉悦感。它成功地将一门严谨的学科，转化为了一部引人入胜的智力探险记。

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