Essays in Constructive Mathematics pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Edwards, Harold M.

出品人:

页数:211

译者:

出版时间:2004-11

价格:$ 123.17

装帧:HRD

isbn号码:9780387219783

丛书系列:

图书标签:

数学
数学
构造数学
逻辑学
集合论
基础数学
理论计算机科学
数学哲学
递归论
类型论
证明论

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具体描述

This book aims to promote constructive mathematics not by defining it or formalizing it but by practicing it. This means that its definitions and proofs use finite algorithms, not algorithms' that require surveying an infinite number of possibilities to determine whether a given condition is met. The topics covered derive from classic works of nineteenth century mathematics---among them Galois' theory of algebraic equations, Gauss's theory of binary quadratic forms and Abel's theorem about integrals of rational differentials on algebraic curves. It is not surprising that the first two topics can be treated constructively---although the constructive treatments shed a surprising amount of light on them---but the last topic, involving integrals and differentials as it does, might seem to call for infinite processes. In this case too, however, finite algorithms suffice to define the genus of an algebraic curve, to prove that birationally equivalent curves have the same genus, and to prove the Riemann-Roch theorem. The main algorithm in this case is Newton's polygon, which is given a full treatment. Other topics covered include the fundamental theorem of algebra, the factorization of polynomials over an algebraic number field, and the spectral theorem for symmetric matrices. Harold M. Edwards is Emeritus Professor of Mathematics at New York University. His previous books are Advanced Calculus (1969, 1980, 1993), Riemann's Zeta Function (1974, 2001), Fermat's Last Theorem (1977), Galois Theory (1984), Divisor Theory (1990) and Linear Algebra (1995). Readers of his Advanced Calculus will know that his preference for constructive mathematics is not new.

探寻逻辑的边界：一部关于纯粹数学与哲学思辨的著作书名：论数学基础的重建与直觉主义的进阶内容简介本书深入探讨了二十世纪初以来数学哲学领域最具争议和影响力的思潮之一——数学直觉主义（Intuitionism）的精髓及其对现代数学逻辑结构所带来的深远影响。全书旨在提供一个全面而深入的分析框架，用以理解构造性数学（Constructive Mathematics）如何挑战和重构传统（柏拉图式或经典）数学的根基。第一部分：逻辑的坍缩与基石的重塑本书的开篇部分，首先聚焦于对经典数学逻辑（Classical Logic）中“排中律”（Law of Excluded Middle）和“无矛盾律”（Law of Non-Contradiction）的哲学性审视。作者认为，数学真理的本质不应依赖于形而上的存在性断言，而必须植根于可构造性（Constructibility）。第一章：从“存在”到“可达”——数学实在论的转向本章详细回顾了十九世纪末和二十世纪初，哥廷根学派与布劳威尔学派之间的激烈论战。它不仅是关于数学方法的争论，更是关于知识论和人类心智在数学建构中角色的深刻哲学辩论。我们探讨了直觉主义对“数学对象”的定义：一个数学对象只有在我们可以提供一个明确的、有限的步骤来构造出它的实例时，它才被认为是“存在的”。这与经典数学中，通过证明其不存在的矛盾来断定其存在的论证方式形成了鲜明的对比。第二章：类型论与集合论的构造性替代方案本书继而探讨了在排除了“无穷的完成性”（Finished Totality of the Infinite）之后，如何重建数学的公理体系。我们详细剖析了蒯因的经典类型论（Quine’s Type Theory）以及基于高阶直觉类型论（Higher-Order Intuitionistic Type Theory, ITH）的尝试。这些理论试图在不依赖于经典ZF集合论的全部公理（尤其是选择公理和无穷公理的经典表述）的情况下，建立起一个稳固且逻辑自洽的数学基础。重点讨论了如何用“证明即程序”（Proofs as Programs）的思想，来弥合逻辑推理与算法实现之间的鸿沟。第二部分：构造性分析与范畴论的邂逅在建立了直觉主义逻辑的框架之后，本书的第二部分致力于将这些原则应用于具体的数学分支，特别是分析学和拓扑学，这些领域在经典数学中对“无穷”的依赖性最深。第三章：收敛与极限的直觉重构传统分析学依赖于对实数集合的完整描述，以及 $epsilon-delta$ 语言中对“存在一个界限”的非构造性断言。本章挑战了这一点，探索了构造性分析学（Constructive Analysis）如何重新定义收敛性、连续性和可微性。例如，一个函数被认为是连续的，不是因为它“在每一点上都满足一个界限条件”，而是因为我们有“一个有效的算法，输入任何 $epsilon$，就能输出相应的 $delta$”。我们深入研究了布劳威尔对“弱”拓扑空间（Weak Topologies）的贡献，以及如何用“逼近点”（Approximation Points）的概念来替代经典测度论中的某些“不可知”集合。第四章：范畴论视域下的直觉主义几何本书的这一部分采取了一个更现代的视角，探讨了范畴论（Category Theory）如何为直觉主义逻辑提供一个优雅的几何解释。特别是，Topos 理论（Topos Theory）被视为直觉主义逻辑的自然模型。Topos 提供了一种数学宇宙，其中的内部逻辑不再必然是经典逻辑，而是天然地遵循了直觉主义的推理规则。我们分析了如何将经典拓扑空间的许多概念（如纤维丛、函子）用 Topos 理论中的语言进行重新诠释，从而使得这些理论的构造性本质得以凸显。第三部分：应用与挑战：构造性在计算科学中的回响本书的结论部分超越了纯粹的数学哲学，探讨了构造性数学对当代科学，尤其是计算科学和信息理论的实际影响。第五章：直觉主义、计算与可证明性 K. প্রতিফলন布鲁尔与居尔德·伦丁（Per Martin-Löf）的见解深刻地揭示了构造性数学与计算机科学之间的内在联系。本章详述了Curry-Howard同构（即：程序等同于证明，数据类型等同于命题）的深远意义。我们讨论了如何利用直觉主义的公理体系来构建依赖类型系统（Dependent Type Systems），这些系统不仅是逻辑一致的，而且它们能够保证程序编译的正确性（即：类型检查的成功等同于数学证明的有效性）。这为形式化验证和高可靠性软件的开发提供了理论基石。第六章：开放性问题与未来展望本书以对当前构造性数学领域未解决问题的探讨收尾。这包括如何高效地处理不可计算的数学对象（例如，无法被图灵机有效定义的实数序列）的构造性表达；如何将直觉主义原则更广泛地引入到代数几何和泛函分析中；以及如何在保持严格性的同时，发展出更具实用性的、“温和”的构造性系统，以避免过度限制数学家的研究广度。本书的特色在于：它不仅是对布劳威尔学派思想的复述，更是一种将二十世纪数学基础危机中的深刻洞察，与二十一世纪计算科学的前沿工具相结合的全新尝试。它要求读者放弃对传统数学直觉的依赖，以一种更具能动性和建构性的视角，重新审视数学知识的本质与界限。