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出版者:Addison-Wesley

作者:Thomas, George B./ Finney, Ross L./ Weir, Maurice D./ Giordano, Frank R.

出品人:

页数:1280

译者:

出版时间:2002-4

价格:$ 216.96

装帧:HRD

isbn号码:9780201755275

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 高等数学
• 数学分析
• Thomas
• Calculus
• 理工科
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• 工程数学
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• 极限
• 导数

好的，这是一份为一本名为《拓扑学基础》的图书撰写的详细简介。 --- 《拓扑学基础：从点集到流形》 作者： 史密斯 (John Smith) 出版社： 环球科学出版社 ISBN： 978-1234567890 --- 图书简介 《拓扑学基础：从点集到流形》是一部全面而深入的拓扑学入门教材，旨在为数学、物理学以及相关工程领域的研究者和高年级本科生提供坚实的理论基础和清晰的直观理解。本书的叙述风格严谨而不失启发性，注重概念的起源、发展脉络及其在现代数学中的核心地位。 拓扑学，作为几何学的核心分支，研究的是空间在连续形变下保持不变的性质。它超越了欧几里得几何的度量和角度限制，关注的是“邻近性”、“连通性”和“紧致性”这些本质的结构属性。本书从最基础的点集拓扑学出发，逐步过渡到代数拓扑学的初步概念，为读者构建起一座从离散结构到连续空间的桥梁。 第一部分：点集拓扑学的基石 本书的第一部分聚焦于构建拓扑学的基本框架——点集拓扑学。这一部分的目标是形式化“连续性”和“收敛性”的概念，使其摆脱对实数线（$mathbb{R}^n$）的依赖。 1. 度量空间与拓扑空间： 我们从读者较为熟悉的度量空间（Metric Spaces）开始，详细阐述了开球、闭球、开集和闭集的定义及其性质。通过引入拓扑的概念，即由一组满足特定公理（开集的性质）的子集构成的集合，本书将拓扑学的研究范围从度量空间推广到了更一般的拓扑空间。我们深入探讨了“邻域基”、“可数性”以及“分离公理”（如$T_1, T_2$或Hausdorff空间）的重要性，这些公理是保证我们能够区分空间中不同点的关键工具。 2. 连续性与同胚： 连续函数的拓扑定义是本书的核心内容之一。我们阐明了连续性在拓扑空间中的等价定义（如原像下保持开集的性质）。在此基础上，同胚（Homeomorphism）的概念被引入，它定义了两个拓扑空间在拓扑意义上的等价性。通过大量的例子和反例，读者将掌握如何判断两个空间是否同胚，从而区分出具有不同拓扑属性的几何对象。 3. 连通性与紧致性： 连通性（Connectedness）和紧致性（Compactness）是拓扑学中最重要的两个全局性质。我们详细分析了路径连通性与一般连通性的区别，并证明了“紧致集的连续像仍然是紧致的”这一关键定理。对于紧致性，我们不仅研究了其在有限开复盖定义下的等价性，还讨论了Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 中的应用，并将其推广到一般的拓扑空间中。 4. 乘积空间与商空间： 为了构造更复杂的拓扑空间，本书系统地介绍了乘积拓扑和商拓扑。乘积拓扑（例如 $mathbb{R}^2$ 的构造）使我们能够将低维空间的性质提升到高维。而商空间（Quotient Spaces）则提供了一种强大的工具来“粘合”或“收缩”空间，这是理解如何从基本形状（如圆盘）构造出复杂形状（如圆环或球面）的关键。 第二部分：从欧几里得空间到流形 在奠定了点集拓扑的理论基础后，第二部分将视角转向更具几何意义的对象，特别是流形（Manifolds）。 1. 欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的精细结构： 我们重新审视 $mathbb{R}^n$，引入了拓扑流形的概念：一个局部看起来像 $mathbb{R}^n$ 的空间。本书清晰地定义了图册（Atlas）和坐标变换，这些是连接局部结构到全局结构的桥梁。 2. 嵌入与嵌入定理： 流形理论的核心在于理解空间如何“嵌入”到更高维的欧几里得空间中。我们介绍了著名的Urysohn 嵌入定理和Tietze 延拓定理，这些定理不仅是理论上的里程碑，也为微分几何和分析学的深入研究奠定了基础。 3. 黎曼流形的初步概念（选讲）： 虽然本书主要关注拓扑结构，但为了连接到几何学，我们对微分流形的概念进行了介绍，解释了为什么在拓扑流形上引入光滑结构（即光滑的坐标变换）是必要的。这部分内容为读者未来学习微分几何和广义相对论做好铺垫。 第三部分：拓扑不变量与代数拓扑的开端 本书的最后部分，旨在向读者展示如何利用代数工具来区分拓扑空间，这便是代数拓扑学的初步尝试。 1. 基本群（Fundamental Group）： 我们引入了路径和环的概念，并定义了基本群 $pi_1(X, x_0)$，它度量了一个空间中“洞”的数量。我们详细计算了圆周 $S^1$、圆盘 $D^2$ 和环面 $T^2$ 的基本群，并证明了基本群是拓扑不变量——即同胚映射保持基本群同构。这一章是本书的亮点之一，它将抽象的点集拓扑与直观的几何洞察力完美结合。 2. 覆盖空间理论（Covering Spaces）： 基本群与覆盖空间理论紧密相关。我们定义了覆盖映射，并阐述了提升定理（Path Lifting Property），这一理论工具为计算基本群提供了强有力的计算方法。通过研究 $mathbb{R}$ 如何覆盖 $S^1$，读者将对空间之间的关系有更深刻的理解。 本书特色 严谨的证明与清晰的几何直觉并重： 每一定理的证明都力求完整和逻辑清晰，同时辅以大量的图示和直观的几何解释，帮助读者构建清晰的“空间感”。 丰富的例题与习题： 书中包含数百道精心设计的习题，难度从基础巩固到研究前沿探索不等，是读者检验理解程度和深入思考的绝佳材料。 现代视角： 全书的组织结构反映了当代拓扑学的发展方向，无缝衔接了点集拓扑、几何拓扑和代数拓扑的核心概念。 通过系统学习《拓扑学基础》，读者将不仅掌握区分拓扑空间的关键工具，更重要的是，将学会用一种全新的、更具抽象性和普适性的视角来审视数学中的“空间”这一概念。 --- 目标读者： 数学系高年级本科生、研究生，理论物理、几何分析等相关领域的科研人员。 先修要求： 实分析（微积分的严格基础）、集合论基础知识。

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