Theory of random sets. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Molchanov, Ilya S.

出品人:

页数:488

译者:

出版时间:

价格:2135.00元

装帧:HRD

isbn号码:9781852338923

丛书系列:Probability and its Applications- A Series of the Applied Probability Trust

图书标签:

• 数学
• 随机集
• 集合论
• 概率论
• 数学
• 随机过程
• 测度论
• 拓扑学
• 泛函分析
• 数学基础
• 理论数学

《概率测度与随机过程导论》 内容简介 本书旨在为读者提供一个严谨而直观的概率论基础，并在此基础上深入探讨随机过程的经典理论与现代应用。全书结构清晰，逻辑严密，力求在保证数学严谨性的同时，兼顾读者的理解深度与应用广度。 第一部分：概率论的基石——测度论视角下的概率空间 本书首先从概率论的现代数学基础——勒贝格测度论出发，构建起严谨的概率空间框架。我们认为，只有扎根于测度论的概率论才能充分应对现代统计物理、金融工程以及复杂系统分析中的挑战。 第一章：测度与积分基础 本章回顾了集合代数、$sigma$-代数的基本概念，并详细阐述了测度的构造，特别是外测度与Carathéodory扩张定理。重点在于区分不同类型的测度（如Lebesgue测度、Borel测度），并建立测度空间 $(Omega, mathcal{F}, mu)$ 的概念。 随后，我们引入了可测函数和勒贝格积分。与传统的黎曼积分不同，勒贝格积分的定义方式能够更好地处理极限运算与积分运算的交换问题。我们详细讨论了单调收敛定理（MCT）、法图引理（Fatou's Lemma）以及占优收敛定理（DCT）这三大核心收敛定理，这些定理是后续概率收敛理论的基石。 第二章：概率测度与随机变量 基于测度论的框架，本章正式定义概率测度。我们将概率空间定义为特殊的测度空间 $(Omega, mathcal{F}, P)$，其中 $P(Omega)=1$。这使得概率论成为测度论的一个特例，却赋予了其独特的解释和应用。 随机变量被定义为从概率空间到实数域的可测映射。我们讨论了离散型、连续型随机变量及其概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）。重点解析了联合分布、条件分布的测度论定义，特别是基于 Radon-Nikodym 定理的条件期望的构造，这对于理解随机过程中的条件依赖至关重要。 第三章：独立性与期望 本章深入探讨了事件的独立性概念，并将其推广到随机变量的独立性。使用乘积 $sigma$-代数和乘积测度，我们严格定义了多个随机变量的联合分布及其独立性。 期望（即积分）的性质是概率论的核心。本章详细分析了期望的线性性、单调性，并讨论了关于随机变量函数的期望计算。最后，我们引入了矩的概念，并讨论了矩母函数（MGF）和特征函数（CF）作为刻画分布的强大工具，特别强调了特征函数在证明收敛定理中的关键作用。 第二部分：随机收敛与中心极限定理 概率论的强大之处在于其描述不确定性极限行为的能力。本部分聚焦于描述随机变量序列的各种收敛模式及其相应的极限定律。 第四章：随机变量的收敛模式 本章全面梳理了四种主要的随机收敛模式：依概率收敛 ($p$-convergence)、依分布收敛 ($d$-convergence)、几乎必然收敛 (a.s. convergence) 和 $L^p$ 收敛。我们通过具体的例子和反例，详细阐述了这些收敛模式之间的逻辑关系和相互推导。 第五章：大数定律与中心极限定理 本章是应用概率论的理论核心。首先，我们从严格的测度论角度证明了弱大数定律（WLLN）和强大数定律（SLLN）。这两种定律为我们提供了样本均值趋于总体均值的理论保证。 随后，本章的重头戏——中心极限定理（CLT）的证明与讨论。我们将从 Lindeberg-Feller 条件出发，使用特征函数的方法，详细阐述了中心极限定理的普适性。我们还探讨了 CLT 在不同条件下的变体，例如 Berry-Esseen 不等式，它量化了依分布收敛的速度。 第三部分：随机过程的构造与基础理论 在奠定了概率论的坚实基础后，本书转向随机过程——依赖于时间参数的随机现象的数学描述。 第六章：随机过程的定义与马尔可夫链 随机过程 ${X_t, t in T}$ 被定义为一个参数集 $T$ 上的随机变量族。我们讨论了不同类型的指标集 $T$（离散时间与连续时间）。 本章的核心是离散时间马尔可夫链（Markov Chains）。我们详细定义了转移概率、一步转移矩阵，并深入分析了马尔可夫性。对状态空间进行分类（常返态、瞬态、吸收态）是本章的重点，我们运用极限概率和基本矩阵来计算达到吸收态的时间和到达概率。 第七章：平稳性与遍历性 对于描述长期稳定行为的随机过程，平稳性是一个关键概念。本章定义了宽平稳（WSS）和严平稳（SSS）过程。我们探讨了平稳过程的自协方差函数和谱密度之间的关系（维纳-辛钦定理）。 遍历理论（Ergodic Theory）提供了将时间平均与空间平均等同起来的数学基础。我们介绍了遍历定理，阐述了在什么条件下，长时间的样本平均可以代替对概率空间的平均运算，这在统计推断和时间序列分析中具有重要的实践意义。 第八章：布朗运动与随机微分方程预备 本章引入了连续时间随机过程的经典模型——标准布朗运动（维纳过程）。我们从其定义性质（独立增量、正态增量、连续路径）出发，详细讨论了布朗运动的二次变差、最大值分布以及时间反演不变性。 最后，本章作为通往更高级随机分析（如随机微积分）的桥梁，简要介绍了伊藤积分的直观动机，并提出了随机微分方程（SDE）的基本形式，为后续深入研究如金融随机模型或扩散过程打下基础。 本书特色 测度论的严格性： 确保了所有概率概念都建立在坚实的测度论框架之上。 收敛理论的深度： 详细论述了各种收敛模式及其之间的联系，是理解大数定律和中心极限定理的关键。 理论与应用的结合： 既有严谨的数学推导，也有对马尔可夫链、平稳性等实用工具的详细介绍。 本书适合于数学、物理、工程、经济学等专业的高年级本科生和研究生作为教材或参考书，为读者构建一个全面而深入的随机现象分析工具箱。

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