Reflection Groups and Coxeter Groups (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:James E. Humphreys

出品人:

页数:220

译者:

出版时间:1992-10-30

价格:USD 43.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521436137

丛书系列:Cambridge Studies in Advanced Mathematics

图书标签:

• 数学
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数学前沿探索：几何、代数与对称性的交织 书名：《群论、几何与拓扑：现代数学的基石》 作者：[虚构] 维克多·哈特曼 出版社：[虚构] 普林斯顿大学出版社 出版年份：[虚构] 2024年 --- 内容概述：群论、几何与拓扑的深度融合 本书是一部旨在全面梳理和深入探讨现代数学三大核心分支——群论、几何学与代数拓扑学之间深刻内在联系的专著。它并非对某一特定代数结构（如Reflection Groups或Coxeter Groups）的聚焦，而是着眼于更宏大的图景：如何利用代数的语言，特别是群的结构，去理解和描述空间（几何）的性质，以及这些性质在更高维度（拓扑）上的不变量。 全书结构严谨，逻辑清晰，从基础概念的引入，逐步过渡到前沿研究领域，特别侧重于几何群论、李群理论在微分几何中的应用，以及拓扑学如何通过同调与上同调理论对空间进行分类和刻画。 第一部分：群论的几何视角——基础与拓展 本书首先建立起群论的坚实基础，但不同于传统的抽象代数叙事方式，本部分将群的定义与几何直观紧密结合。 第一章：从对称性到抽象群 本章首先通过欧几里得空间中的刚体运动（旋转、平移）引入群的概念，强调群作为“对称性”的代数表示。随后，深入探讨有限群和无限群的基本结构，包括子群、商群、同态与同构。关键在于引入“作用”（Action）的概念——即群如何作用于一个集合或空间上，为后续的几何应用打下基础。本章详细分析了置换群（Symmetric Groups）的结构，并初步探讨了自由群的概念及其在图论中的联系。 第二章：矩阵群与连续群 本章重点转向具有连续性质的群，即李群的初步介绍。我们详细讨论了经典群：一般线性群 $mathrm{GL}(n, mathbb{R})$、特殊线性群 $mathrm{SL}(n, mathbb{R})$、正交群 $mathrm{O}(n)$ 和特殊正交群 $mathrm{SO}(n)$。这些群作为空间中变换的群，是微分几何和李代数理论的自然入口。我们使用指数映射（Exponential Map）来连接群与它们的切空间，即李代数。本章通过具体的例子，如二维和三维空间的旋转群，展示了矩阵群在描述刚性形变中的核心作用。 第三章：几何群论的开端：度量空间上的群 本章开始强调几何结构对群结构的约束。我们引入了度量空间的概念，并定义了群上的不变度量。重点探讨了生成元集合、字度量（Word Metric）以及群的增长性质（如指数增长）。本章引入了Cayley图（Cayley Graphs）作为群的“几何模型”，详细分析了Cayley图的性质如何反映出群的代数结构（例如，如何通过图的直径来估计群的阶）。我们将群的性质提升到几何对象的性质，为后续讨论更复杂的拓扑空间上的群作用做准备。 第二部分：几何中的群与代数——结构与不变量 第二部分将视角转向几何空间本身，探讨群如何在这些空间上产生结构，以及如何利用群论工具来研究空间的内在性质。 第四章：流形与变换群 本章将微分几何的基础知识与群论结合起来。我们定义了流形、切丛和向量场。核心内容是研究光滑变换群 $G$ 作用于光滑流形 $M$ 之上，形成一个纤维丛结构。我们探讨了轨道空间 $M/G$ 的性质，特别是当 $G$ 作用是自由且适当（proper）时，如何构造商空间。本章深入研究了主丛（Principal Bundles）的概念，其中结构群就是李群，这对于理解规范场论和纤维丛的分类至关重要。 第五章：李群与李代数：对称性的微分分析 本章是连接连续群与分析学的重要桥梁。我们详细推导了李代数的定义，它是李群的“切空间”。本章的核心是关于如何从李代数的表示（Representations of Lie Algebras）来理解李群的结构，特别是半单李群的分类定理（Cartan-Killing Criterion）。我们详细分析了根系统（Root Systems）在理解李代数结构中的决定性作用，这为理解对称性在复杂系统中的表现提供了代数蓝图。 第六章：黎曼几何中的等距群 本章聚焦于具有度量的几何空间——黎曼流形。我们定义了等距变换群（Isometry Group） $mathrm{Isom}(M, g)$，并研究了这些群的性质。重点分析了常曲率空间（如欧几里得空间、球面和双曲空间）的等距群，这些群是经典几何对称性的精确体现。通过对Killing场和Killing向量的应用，我们展示了如何使用微分方程的语言来刻画空间的最大对称性子群。 第三部分：群与拓扑——不变量的搜索 第三部分将代数工具应用于抽象空间，侧重于在形变、拉伸等拓扑等价操作下保持不变的性质。 第七章：拓扑空间上的基本群 本章引入了代数拓扑学的核心工具——基本群 $pi_1(X)$。我们详细解释了路径、同伦的概念，并证明了基本群作为空间中“洞”的代数描述。重点在于如何利用群同态和覆盖空间理论来计算和理解 $pi_1(X)$。我们将前面学到的群论知识，如自由群和商群，应用于对拓扑空间的分类，特别是对二维流形的分类。 第八章：同调理论：更强的不变量 随着复杂性的增加，基本群的计算变得困难。本章引入了链复形（Chain Complexes）、边界算子（Boundary Operators）和同调群 $H_n(X)$。我们展示了同调如何提供比基本群更“稳定”的不变量，因为同调群是阿贝尔群（Abelian Groups）。本章详细讨论了Mayer-Vietoris序列，这是一个强大的计算工具，展示了如何通过分解空间来计算其整体的同调群。我们将群的自同构群与同调群的变化联系起来，探索变换如何影响空间的拓扑特征。 第九章：纤维丛与上同调 本章将李群的应用提升到纤维丛的上同调理论层面。我们介绍了上链复形和上同调群 $H^n(X)$，以及对偶于同调理论的重要性。重点分析了De Rham上同调，即通过微分形式来计算流形的拓扑不变量。我们探讨了Chern类、Pontryagin类等拓扑不变量如何通过特定群（如U(n)）在纤维丛上的作用来生成，这些不变量在现代物理学中具有深远意义。 总结与展望 本书的最终目标是构建一座桥梁：让读者理解，无论是在欧几里得空间中对一组点的精确对称性分析，还是在抽象的黎曼流形上探索等距变换，抑或是通过代数不变量来区分两个复杂的拓扑空间，其核心驱动力都源于对“群”这一基本代数概念的深刻理解和灵活运用。本书为进阶研究人员提供了一个统一的视角，将看似分离的数学领域整合在一个关于对称性、结构与不变性的宏大框架之下。

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《Reflection Groups and Coxeter Groups》这本书的内容给我留下了极为深刻的印象，它以一种极为严谨且富有条理的方式，将反射群和考克斯特群这一重要的数学概念进行了全面的阐释。作者在介绍过程中，始终坚持从基础出发，逐步引导读者深入到更抽象和复杂的理论。我尤其欣赏书中对于考克斯特群的生成元和关系的表示方法，特别是如何通过考克斯特图来直观地理解群的结构，这是一种非常巧妙且有效的方式。书中对考克斯特群的分类，尤其是有限考克斯特群的分类，是如何基于考克斯特图的连通性、节点上的数字以及一些基本性质来确定的，这一部分的讲解非常详尽，并辅以大量的实例，使得抽象的分类过程变得清晰易懂。在对重要定理的证明过程中，作者会细致地分析每一步的逻辑，并且会提示一些容易被忽视的细节，这对于培养读者严谨的数学思维至关重要。此外，书中还穿插了一些关于考克斯特群在代数、几何和组合学中的应用的讨论，这些内容极大地丰富了读者的知识体系，并展示了该理论的广泛应用前景。

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这本书在反射群和考克斯特群的领域内，提供了一个非常全面且深入的学习体验。作者在内容编排上，遵循了从具体到抽象、从简单到复杂的原则，使得读者能够循序渐进地掌握核心概念。我尤其欣赏书中对考克斯特群的“考克斯特图”的细致讲解，以及如何通过图的结构来推断群的性质，这是一种非常直观且强大的方法。书中对有限考克斯特群的分类，特别是如何依据考克斯特图的拓扑和节点属性来完成分类的详细阐述，并提供了丰富的范例，使得抽象的分类过程变得易于理解。在对重要定理的证明过程中，作者会清晰地展示每一步的逻辑推导，并且会提示一些证明中的关键思路和技巧，这对于提升读者的数学研究能力具有显著的帮助。此外，书中还广泛地提及了考克斯特群在表示论、几何学以及组合学等不同数学分支中的应用，这些内容极大地拓展了读者的视野，并激发了对该理论更深层次的探索兴趣。

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这本书的魅力在于它提供了一种全新的视角来理解许多经典的几何和代数问题。在阅读的过程中，我发现作者对于考克斯特群的阐述，不仅仅是将其作为一类特殊的群来介绍，更是将其置于更广阔的数学图景中，展现其与多方面数学分支的深刻联系。例如，书中对考克斯特群与李群、李代数之间的关系的探讨，就为理解这些高级概念提供了坚实的基础。作者并没有回避其中的复杂性，而是通过精心设计的图示和逐步深入的论证，将这些深邃的联系一一揭示。我尤其欣赏书中对于考克斯特群的“图论表示”的介绍，这种将抽象的代数结构转化为直观的图示的方法，极大地降低了理解门槛，也为后续的研究提供了强大的工具。那些由节点和边构成的考克斯特图，每一个都仿佛是一个编码了群结构特性的密码本，而作者则一一为我们解读了这些密码。书中对于考克斯特群的分类问题也进行了详细的阐述，从有限考克斯特群到仿射考克斯特群，再到双曲考克斯特群，作者循序渐进地介绍了它们的性质和分类方法，并提及了它们在不同数学领域中的具体应用，如晶体学、几何学以及表示论等。这本书不仅仅是一本教材，更像是一次数学的探险，带领读者在抽象的代数世界中遨游，发现其中隐藏的美妙结构和深刻的联系。

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这本书为我打开了理解反射群和考克斯特群的大门，并且以一种非常系统和深入的方式进行的。作者在编写时，非常注重逻辑的连贯性和概念的循序渐进。从最基本的反射超平面的概念开始，作者逐步构建了反射群的代数结构，并在此基础上引出了考克斯特群。我发现，书中对于考克斯特群的生成元和关系的表示，特别是利用图形化的方式来表示这些关系，是一种非常有效的方法，它能够直观地展现群的结构。书中关于考克斯特群的分类，特别是有限考克斯特群的分类，是通过考克斯特图的性质来完成的，作者对这个过程的阐述非常详细，并且提供了大量的例子，帮助读者理解抽象的分类原理。在证明一些关键的定理时，作者还会提及一些证明的难点和技巧，这对于提高读者的数学分析能力非常有帮助。此外，这本书还为我们展示了考克斯特群在其他数学领域中的应用，例如在几何学、组合学和表示论中的作用，这些内容扩展了我们的视野，并激发了我们进一步学习的兴趣。整本书的写作风格严谨而不失趣味，使得学习过程充满了探索的乐趣。

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这本书在处理反射群和考克斯特群这一主题时，展现了一种独特的学术风格，它在追求数学严谨性的同时，也兼顾了读者的理解能力。作者并没有一开始就呈现过于抽象的概念，而是从几何的直观出发，逐步引入代数的描述。我特别欣赏书中对于考克斯特群的“考克斯特矩阵”的介绍，以及如何通过这个矩阵来刻画群的性质，这是一种非常简洁而强大的工具。书中对有限考克斯特群的分类，特别是如何利用考克斯特图的性质来确定其类型的过程，讲解得尤为细致，并且提供了大量具体的考克斯特图示例，帮助读者直观地理解分类的依据。在证明定理时，作者往往会提供清晰的思路和详细的步骤，并且会指出一些证明中的关键技术，这对于提高读者的数学功底非常有帮助。此外，书中还广泛地提及了考克斯特群在其他数学分支中的应用，例如在表示论、几何学以及组合学中的作用，这些内容极大地拓展了读者的视野，并激发了进一步研究的兴趣。

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《Reflection Groups and Coxeter Groups》这本书的写作风格给我留下了深刻的印象，它以一种非常学术但又不失生动的方式呈现了反射群和考克斯特群的理论。作者在介绍过程中，非常注重概念的引入和发展，确保读者能够循序渐进地理解。例如，在介绍考克斯特群的生成元和关系时，作者会先从更简单的反射群开始，逐步引入更一般的考克斯特系统的概念，并解释其背后的几何意义。书中对于考克斯特群的分类，特别是有限考克斯特群的分类，是如何通过几何的手段，例如利用考克斯特图的连通性和节点上的数字来确定其类型的，这一部分讲解得尤为细致。我发现，作者在解释每一个定理和命题时，都提供了清晰的证明思路，并且会引用一些前置知识，但不会过于晦涩，使得读者可以更容易地跟上思路。此外，书中还穿插了许多“注记”或“提示”性质的内容，这些内容虽然不是定理证明的主体，但却能极大地帮助读者理解概念的深层含义，或者指出一些容易出错的地方。这种细致的教学方法，使得这本书不仅适合作为研究生课程的教材，也适合数学爱好者进行自学。阅读这本书的过程，就像是在与一位经验丰富的数学家进行一场深入的对话，他不仅告诉你“是什么”，更会告诉你“为什么”和“如何去思考”。

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在阅读《Reflection Groups and Coxeter Groups》的过程中，我深刻体会到作者在数学理论的呈现上所下的功夫。这本书并非简单地罗列公式和定理，而是将整个理论体系构建得如同一座精密的数学建筑。作者在介绍反射群时，从其几何的定义出发，详细阐述了它们与超平面反射的关系，并逐步引入了更一般的考克斯特群。我尤其欣赏书中对考克斯特群的“考克斯特矩阵”的介绍，以及如何通过考克斯特矩阵来确定群的结构，这是一种非常优雅且强大的方法。书中对于考克斯特群的分类，特别是有限考克斯特群的分类，是如何基于考克斯特图的结构来完成的，这一部分的讲解非常透彻，并提供了大量的实例，帮助读者理解分类的逻辑。作者在证明定理时，往往会给出多种证明思路，或者提示一些关键的证明技巧，这对于培养学生的数学思维和解决问题的能力非常有帮助。此外，书中还提到了考克斯特群在组合学、代数几何以及表示论等领域的应用，这些应用性的介绍，能够激发读者进一步探索的兴趣。这本书的排版和设计也十分精良，公式清晰，图示直观，文字流畅，为读者提供了一个愉悦的学习体验。

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初次翻开《Reflection Groups and Coxeter Groups》，我就被其严谨的结构和清晰的逻辑所吸引。作者并非简单地罗列定义和定理，而是巧妙地构建了一个探索性的旅程，引导读者从直观的概念出发，逐步深入到抽象的代数结构。这本书在介绍反射群和考克斯特群时，并没有一开始就陷入冗长的符号推导，而是从几何的直观性入手，例如通过维度不断升高的反射超平面来阐释概念。这种由易到难，由形到数的过渡处理得非常得当，让即使是初次接触这些概念的读者也能建立起初步的理解框架。书中对于基础概念的解释，例如“反射”、“离散群”以及“考克斯特系统”的定义，都力求详尽，并且辅以大量的例子。这些例子并非是孤立的，而是相互关联，层层递进，帮助读者理解不同概念之间的联系以及它们在不同情境下的表现。例如，作者会详细分析二维和三维空间中的一些基本反射群，如正方形、正八面体、正十二面体以及五胞体的对称群，这些具体的例子不仅加深了读者对抽象理论的理解，也展示了反射群和考克斯特群在几何学中的重要应用。这本书的语言风格也非常适合学术著作，虽然内容深入，但叙述清晰，逻辑严密，没有多余的空话和含糊不清的表述。每一个定理的证明都步步为营，每一个论证都考虑周全，这对于需要扎实掌握数学基础的研究者来说，无疑是一笔宝贵的财富。

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《Reflection Groups and Coxeter Groups》这本书的编写深度和广度都令人印象深刻。作者在介绍反射群时，从其几何定义入手，详细阐述了它们与超平面反射的关系，并逐步过渡到更一般的考克斯特群。我非常欣赏书中对于考克斯特群的生成元和关系的表示方法，特别是如何通过考克斯特图来直观地理解群的结构，这种图形化的语言极大地降低了理解的门槛。书中对于有限考克斯特群的分类，特别是如何依据考克斯特图的性质来确定其类型的过程，讲解得非常透彻，并且提供了大量的实例，让读者能够具体地把握分类的逻辑。在证明一些关键定理时，作者会详细分析每一步的论证过程，并且会提示一些证明中的难点和技巧，这对于培养读者的数学分析能力至关重要。此外，书中还广泛地探讨了考克斯特群在代数、几何和组合学等领域的应用，这些内容不仅丰富了读者的知识体系，也展示了该理论的巨大应用潜力。

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这本书最大的价值在于它能够帮助读者构建一个完整的反射群和考克斯特群的知识体系。作者在组织内容时，充分考虑了数学知识的递进关系，从基础的反射群概念，到考克斯特系统的构造，再到各种类型的考克斯特群及其性质，都有着详尽的阐述。我特别喜欢书中对于一些重要定理的几何解释，例如沃林格定理（Waring’s theorem）在考克斯特群中的体现，或者说考克斯特群的几何实现如何与某些多面体的对称性相关联。这些几何上的直观理解，对于抽象代数概念的掌握至关重要。书中还提供了许多练习题，这些练习题的难度适中，并且覆盖了所学内容的关键点，通过解答这些题目，可以有效地巩固所学的知识，并且能够发现自己理解上的不足。作者在编写练习题时，也充分考虑到了对学生理解的促进作用，很多题目都引导读者去思考概念的推广和联系。这本书的语言非常精确，没有含糊不清的表达，每一个数学符号的定义和使用都非常规范，这对于严谨的数学学习来说是必不可少的。对于那些希望深入了解群论、几何学以及相关数学领域的研究者来说，这本书无疑是一本不可多得的参考书，它能够为未来的研究提供坚实的理论基础和丰富的研究思路。

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非常经典的表示论教材，主要讲反射群与抽象Coxeter群，叙述精炼难度适中，可惜网上电子版最后少了两章。

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My dog-eared copy!

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