《俄羅斯數學教材選譯》序
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第1版序言
*第九章 連續映射(一般理論)
§1. 度量空間
1. 定義和實例
2. 度量空間的開子集和閉子集
3. 度量空間的子空間
4. 度量空間的直積
習題
§2. 拓撲空間
1. 基本定義
2. 拓撲空間的子空間
3. 拓撲空間的直積
習題
§3. 緊集
1. 緊集的定義和一般性質
2. 度量緊集
習題
§4. 連通的拓撲空間
習題
§5. 完備度量空間
1. 基本定義和實例
2. 度量空間的完備化
習題
§6. 拓撲空間的連續映射
1. 映射的極限
2. 連續映射
習題
§7. 壓縮映射原理
習題
*第十章 更一般觀點下的微分學(一般理論)
§1. 綫性賦範空間
1. 數學分析中綫性空間的實例
2. 綫性空間中的範數
3. 嚮量空間中的標量積
習題
§2. 綫性算子和多重綫性算子
1. 定義和實例
2. 算子的範數
3. 連續算子空間
習題
§3. 映射的微分
1. 在一點可微的映射
2. 一般的微分法則
3. 某些實例
4. 映射的偏導數
習題
§4. 有限增量定理及其應用實例
1. 有限增量定理
2. 有限增量定理的應用實例
習題
§5. 高階導映射
1. n 階微分的定義
2. 沿嚮量的導數和n 階微分的計算
3. 高階微分的對稱性
4. 附注
習題
§6. 泰勒公式和極值研究
1. 映射的泰勒公式
2. 內部極值研究
3. 實例
習題
§7. 一般的隱函數定理
習題
第十一章 重積分
§1. n 維區間上的黎曼積分
1. 積分的定義
2. 黎曼可積函數的勒貝格準則
3. 達布準則
習題
§2. 集閤上的積分
1. 容許集
2. 集閤上的積分
3. 容許集的測度(體積)
習題
§3. 積分的一般性質
1. 積分是綫性泛函
2. 積分的可加性
3. 積分的估計
習題
§4. 重積分化為纍次積分
1. 富比尼定理
2. 一些推論
習題
§5. 重積分中的變量代換
1. 問題的提齣和變量代換公式的啓發式推導
2. 可測集和光滑映射
3. 一維情況
4. Rn中最簡微分同胚的情況
5. 映射的復閤與變量代換公式
6. 積分的可加性和積分中變量代換公式的最終證明
7. 重積分中變量代換公式的一些推論和推廣
習題
§6. 反常重積分
1. 基本定義
2. 反常積分收斂性的比較檢驗法
3. 反常積分中的變量代換
習題
第十二章 Rn中的麯麵和微分形式
§1. Rn中的麯麵
習題
§2. 麯麵的定嚮
習題
§3. 麯麵的邊界及邊界的定嚮
1. 帶邊麯麵
2. 麯麵定嚮與邊界定嚮的相容性
習題
§4. 歐氏空間中麯麵的麵積
習題
§5. 微分形式的初步知識
1. 微分形式的定義和實例
2. 微分形式的坐標記法
3. 外微分形式
4. 嚮量和微分形式在映射下的轉移
5. 麯麵上的微分形式
習題
第十三章 麯綫積分與麯麵積分
§1. 微分形式的積分
1. 原始問題、啓發性思考和實例
2. 微分形式在定嚮麯麵上的積分的定義
習題
§2. 體形式, 第一類積分與第二類積分
1. 物質麵的質量
2. 麯麵麵積是微分形式的積分
3. 體形式
4.體形式在笛卡兒坐標下的錶達式
5. 第一類積分與第二類積分
習題
§3. 數學分析的基本積分公式
1. 格林公式
2. 高斯–奧斯特洛格拉德斯基公式
3. R3 中的斯托剋斯公式
4. 一般的斯托剋斯公式
習題
第十四章 嚮量分析與場論初步
§1. 嚮量分析的微分運算
1. 標量場與嚮量場
2. R3 中的嚮量場與各種形式
3. 微分算子grad,rot, div 和∇
4. 嚮量分析的一些微分公式
*5. 麯綫坐標下的嚮量運算
習題
§2. 場論的積分公式
1. 用嚮量錶示的經典積分公式
2. div, rot, grad 的物理解釋
3. 後續的某些積分公式
習題
§3. 勢場
1. 嚮量場的勢
2. 勢場的必要條件
3. 嚮量場是勢場的準則
4. 區域的拓撲結構與勢
5. 嚮量勢, 恰當微分形式與閉微分形式
習題
§4. 應用實例
1. 熱傳導方程
2. 連續性方程
3. 連續介質動力學基本方程
4. 波動方程
習題
*第十五章 微分形式在流形上的積分
§1. 綫性代數迴顧
1. 形式代數
2. 斜對稱形式代數
3. 綫性空間的綫性映射和對偶空間的對偶映射
習題
§2. 流形
1. 流形的定義
2. 光滑流形與光滑映射
3. 流形及其邊界的定嚮
4. 單位分解和流形在Rn 中的麯麵形式
習題
§3. 微分形式及其在流形上的積分
1. 流形在一個點的切空間
2. 流形上的微分形式
3. 外微分
4. 微分形式在流形上的積分
5. 斯托剋斯公式
習題
§4. 流形上的閉微分形式和恰當微分形式
1. 龐加萊定理
2. 同調與上同調
習題
第十六章 一緻收斂性、函數項級數與函數族的基本運算
§1. 逐點收斂性與一緻收斂性
1. 逐點收斂性
2. 基本問題的提法
3. 依賴於參數的函數族的收斂性和一緻收斂性
4. 一緻收斂性的柯西準則
習題
§2. 函數項級數的一緻收斂性
1. 級數一緻收斂性的基本定義和判彆準則
2. 級數一緻收斂性的魏爾斯特拉斯檢驗法
3. 阿貝爾–狄利剋雷檢驗法
習題
§3. 極限函數的函數性質
1. 問題的具體提法
2. 兩個極限運算可交換的條件
3. 連續性與極限運算
4. 積分運算與極限運算
5. 微分運算與極限運算
習題
*§4. 連續函數空間的緊子集和稠密子集
1. 阿爾澤拉–阿斯柯利定理
2. 度量空間C(K,Y )
3. 斯通定理
習題
第十七章 含參變量的積分
§1. 含參變量的常義積分
1. 含參變量的積分的概念
2. 含參變量的積分的連續性
3. 含參變量的積分的微分運算
4. 含參變量的積分的積分運算
習題
§2. 含參變量的反常積分
1. 反常積分對參變量的一緻收斂性
2. 反常積分中的極限運算與含參變量的反常積分的連續性
3. 含參變量的反常積分的微分運算
4. 含參變量的反常積分的積分運算
習題
§3. 歐拉積分
1. β函數
2. Γ函數
3. β函數與Γ函數之間的聯係
4. 實例
習題
§4. 函數的捲積和廣義函數的初步知識
1. 物理問題中的捲積(啓發式討論)
2. 捲積的一些一般性質
3. δ 型函數族與魏爾斯特拉斯逼近定理
*4. 分布的初步概念
習題
§5. 含參變量的重積分
1. 含參變量的常義重積分
2. 含參變量的反常重積分
3. 具有變奇異性的反常積分
*4. 高維情形下的捲積、廣義函數和基本解
習題
第十八章 傅裏葉級數與傅裏葉變換
§1. 與傅裏葉級數有關的一些主要的一般概念
1. 正交函數係
2. 傅裏葉係數和傅裏葉級數
*3. 數學分析中的正交函數係的一個重要來源
習題
§2. 傅裏葉三角級數
1. 經典傅裏葉級數收斂性的基本形式
2. 傅裏葉三角級數逐點收斂性的研究
3. 函數的光滑性和傅裏葉係數的下降速度
4. 三角函數係的完備性
習題
§3. 傅裏葉變換
1. 函數的傅裏葉積分錶達式
2. 函數的微分性質和漸近性質與它的傅裏葉變換之間的相互關係
3. 傅裏葉變換的最重要的運算性質
4. 應用實例
習題
第十九章 漸近展開式
§1. 漸近公式和漸近級數
1. 基本定義
2. 漸近級數的一般知識
3. 漸近冪級數
習題
§2. 積分的漸近法(拉普拉斯方法)
1. 拉普拉斯方法的思路
2. 拉普拉斯積分的局部化原理
3. 一些典型積分和它們的漸近式
4. 拉普拉斯積分的漸近式主項
*5. 拉普拉斯積分的漸近展開式
習題
單元測試題
考試大綱
期末考試試題
期中測試題
附錄一初論級數工具
附錄二多重積分中的變量代換(公式推導和初步討論)
附錄三高維幾何學與自變量極多的函數(測度聚集與大數定律)
附錄四多元函數與微分形式及其熱力學解釋
附錄五麯綫坐標係中的場論算子
附錄六現代牛頓{萊布尼茨公式與數學的統一(總結)
參考文獻
基本符號
名詞索引
人名譯名對照錶
譯後記
· · · · · · (收起)