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出版者:American Mathematical Society

作者:Wolfgang Kühnel

出品人:

页数:380

译者:

出版时间:2005-12-13

价格:USD 51.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821839881

丛书系列:Student Mathematical Library

图书标签:

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《微分几何》：探索空间形态与变化之美 《微分几何》是一部深入探究空间曲率、形变以及它们内在规律的著作。它如同一双锐利的眼睛，能够洞察我们所处三维甚至更高维度空间的精妙结构，并以严谨的数学语言描绘出物质世界和抽象概念的几何本质。本书并非仅仅罗列枯燥的公式，而是带领读者踏上一段发现之旅，去理解那些塑造宇宙万物形态的根本法则。 核心概念与工具 本书的核心在于“微分”这一强大工具如何被应用于几何学。通过微积分的思想，我们可以将宏观的几何对象分解为无穷小的部分，进而分析它们的局部性质。这就好比我们不是直接去测量一座山峰的总体积，而是通过研究它在某个点上的坡度、曲率来理解它的形状。 曲线的几何： 书中首先从一维空间中的曲线入手，介绍诸如切线、法线、曲率和挠率等基本概念。曲率描述了曲线弯曲的程度，而挠率则衡量了曲线在三维空间中的扭转程度。通过这些概念，我们可以精确地量化一条曲线的形状，理解它如何在空间中蜿蜒伸展。例如，在工程学中，理解曲线的曲率对于设计高速公路、铁轨或飞行轨迹至关重要，它关系到乘客的舒适度和车辆的稳定性。 曲面的几何： 随后，本书将视角提升至二维曲面。曲面比曲线更加丰富多样，它不仅有“弯曲”的程度，还有“扭曲”的方式。本书将引入曲面的第一基本形式和第二基本形式。第一基本形式用于度量曲面上的长度和面积，它揭示了曲面自身的内在度量性质。而第二基本形式则刻画了曲面嵌入到更高维度空间中的“外在”曲率，例如高斯曲率和平均曲率。高斯曲率是判断曲面局部形状的关键，正高斯曲率意味着曲面局部类似球形，负高斯曲率则类似马鞍形，零高斯曲率则意味着曲面局部平坦（如圆柱面）。平均曲率则在描述曲面的“厚度”或“膨胀”趋势方面发挥作用。 张量分析： 随着研究对象的复杂化，特别是当我们需要处理高维空间或更复杂的几何结构时，张量分析便成为不可或缺的工具。张量是一种能够描述多线性关系和几何量的数学对象，它能够以一种坐标无关的方式来表达几何属性，确保我们对几何性质的理解不受特定坐标系的影响。本书将系统介绍张量的概念、运算以及它们在微分几何中的应用，这对于理解更深层次的几何理论至关重要。 流形理论： 《微分几何》的宏大之处还在于其对“流形”的深入探讨。流形是一种局部上看起来像欧氏空间的拓扑空间。简单来说，即使一个空间整体非常弯曲，例如一个球的表面，但如果我们放大观察其中一小块区域，它在局部看起来就和我们熟悉的平坦的二维平面一样。流形理论将微分几何的思想推广到了任意维度的空间，为我们理解宇宙的本质提供了强大的数学框架。从广义相对论中描述时空的弯曲，到微分拓扑中研究空间的连通性，流形理论都扮演着核心角色。 理论的应用与影响 《微分几何》的理论并非空中楼阁，它在诸多科学和工程领域都有着深远的影响： 物理学： 在现代物理学，尤其是广义相对论中，时空被描述为一个四维的弯曲流形。引力不再被视为一种力，而是物质和能量对时空几何造成的弯曲的表现。天体的运动，例如行星绕恒星的轨道，正是沿着这个弯曲时空的“测地线”（最短路径）运动。微分几何的语言是理解和描述引力、黑洞、引力波等现象的基石。 计算机图形学与计算机视觉： 在计算机科学领域，对三维物体的建模、渲染和分析离不开微分几何的工具。曲面的表示（如NURBS曲面）、变形、曲率计算等都直接来源于微分几何的理论，这使得我们能够创造出逼真生动的虚拟世界，或者让计算机理解和分析现实世界中的图像。 工程领域： 无论是航空航天工程中的飞行器设计，还是汽车工业中的车身造型，抑或是材料科学中的晶体结构分析，都离不开对复杂曲面和空间的精确描述与计算。微分几何提供了这些计算的数学基础，确保设计的精确性和功能的实现。 数学研究： 对于纯粹的数学研究者而言，《微分几何》是通往更高级数学领域，如黎曼几何、拓扑学、微分拓扑等的重要门户。它培养了严谨的逻辑思维和抽象概括能力，是数学家们探索空间、形状和结构的必备工具。 《微分几何》是一部充满挑战却又极其 rewarding 的读物。它要求读者具备一定的微积分和线性代数基础，但一旦掌握了其中的概念和方法，你将能够以全新的视角去审视我们所处的现实世界，理解那些隐藏在表面之下的深刻几何规律。它不仅仅是一门学科，更是一种理解世界、探索未知的美学和哲学。

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坦白说，我花了不少时间才啃完这本书的前半部分，但那段“啃”的过程是极其充实的。这本书的叙述风格是那种非常典型的、注重内在逻辑一致性的数学写作范式，它不会为了迎合初学者而刻意“简化”问题，而是要求读者主动地去思考和挖掘概念之间的内在联系。例如，在讨论纤维丛理论时，作者并没有直接抛出复杂的定义，而是巧妙地通过对向量丛的局部平凡性讨论，逐步引出切丛的概念，这种循序渐进的引导，极大地增强了我们对抽象结构理解的“手感”。书中引用的例子虽然不多，但每一个都恰到好处，如同黑暗中的灯塔，照亮了理论的难点。如果你是一个偏好自学、希望通过严谨的数学推导来建立完整知识体系的读者，这本书的价值是无可替代的，它磨练的不仅仅是你的数学技能，更是你逻辑思辨的韧性。

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这本书的排版和图示设计简直是灾难性的，对于这样一个涉及复杂拓扑结构和空间想象的学科来说，缺乏高质量的视觉辅助是一个致命的弱点。我不得不承认，很多时候，我需要借助外部的资源，比如在线动画或者其他教材中的插图，才能真正理解作者在文字描述中试图构建的那个三维或更高维度的场景。比如说，在讲解测地线偏离方程时，如果能配上一张清晰的、展示附近多条测地线如何因空间曲率而发散或汇聚的图示，学习效率必然会大大提高。现在的版本给人的感觉是，作者只专注于理论的完美无缺，却忽略了知识传递的有效性。因此，对于视觉学习者而言，这本书的使用体验可能相当不友好，它更像是一份只为那些已经具备高度空间想象力的“老手”准备的参考手册，而非面向大众的入门教材。

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这部数学巨著，其内容的广度和深度实在令人叹为观止。我记得初次翻开它时，就被那些精心构建的理论体系深深吸引。它不仅仅是教科书，更像是一幅精美的数学画布，将抽象的几何概念以一种极其直观且严谨的方式呈现出来。作者在讲解流形、张量、联络这些核心概念时，所采用的论证逻辑清晰得如同水晶般透明，即便是初学者，只要肯下功夫，也能沿着作者的思路逐渐领悟到那些深邃的几何直觉。尤其让我印象深刻的是，书中对黎曼几何基础的构建，那部分内容可以说是教科书级别的典范，每一步推导都充满了数学美的韵律感，让人在学习的过程中，体验到的是一种智力上的愉悦，而非枯燥的机械计算。对于任何渴望真正掌握现代几何学精髓的研究者来说，这本书无疑是架设在理解彼岸的一座坚实桥梁。

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对于一个习惯了用简洁、现代语言进行教学的读者来说，这本书中某些章节的语言风格显得略微陈旧和冗长，这无疑增加了阅读的阻力。有些地方的论述，如果能够采用更现代的符号系统和更凝练的表达方式，比如更多地使用函子或范畴论的语言来概括结构，或许能更好地体现出几何学的统一美。我感觉到，作者似乎花费了过多的笔墨去“证明”一些在当代教材中已经被视为基本公理或者自然结果的结构。这固然体现了严谨性，但也使得阅读的节奏时常被打断，需要读者具备极大的耐心去筛选出真正有价值的“新信息”。虽然其理论深度无可置疑，但从提高学习效率的角度来看，它似乎更偏向于学术档案的保存，而非高效的学习工具，购买它需要明确的心理预期：这是一场与数学历史的深度对话，而非一次快速的知识获取之旅。

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我最欣赏这本书的地方在于其对现代数学研究前沿的紧密把握和无畏的探索精神。作者在书中穿插了许多尚未完全解决或者刚刚取得突破的领域的研究视角，这使得这本书的生命力远超一般的经典教材。它不仅仅是在复述十九世纪和二十世纪初的经典成果，更是在引导我们思考“接下来会是什么”。例如，在讨论规范场论与几何的交叉点时，作者的论述既有历史的厚重感，又不失面向未来的洞察力。这种处理方式非常适合那些已经有扎实基础，希望将几何学知识应用于物理学或其他交叉学科的进阶读者。它提供了一个高屋建瓴的视角，让我们能够清晰地看到，那些看似分离的数学分支是如何在更宏大的几何框架下统一起来的。这本书是学术视野的拓展器，而不是简单的知识容器。

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T: QA 641 .K9613 2006

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