具体描述
《微分几何》共3章。第1章讨论了曲线的曲率、挠率、Frenet公式、Bouqtlet公式等局部性质，证明了曲线论基本定理。还讨论了曲线的整体性质：4顶点定理、Minkowski定理、Fenchel定理，以及Faxy—Milnor关于纽结的全曲率不等式。第2章引进了第1基本形式、第2基本形式、Gauss（总）曲率、平均曲率、Weingarten映射、主曲率、曲率线、测地线等重要概念，给出了曲面的基本公式和基本方程、曲面论的基本定理，以及著名的Gauss绝妙定理等曲面的局部性质。第3章详细论述了曲面的整体性质，得到了全脐超曲面定理、球面刚性定理、极小曲面的gernstein定理、著名的Gauss—Bonnet公式及Poincare指标定理。
为了帮助读者熟练地掌握微分几何的内容和方法，书中配备了大量有趣的习题，并在《微分几何学习指导》中给出了详细的解答。
作者简介
目录信息
第1章曲线论
1.1Cr正则曲线、切向量、弧长参数
1.2曲率、挠率
1.3Frenet标架、Frenet公式
1.4Botlquet公式、平面曲线相对曲率
1.5曲线论的基本定理
1.6曲率圆、渐缩线、渐伸线
1.7曲线的整体性质（4顶点定理、Minkowski定理、Fenchel定理）
第2章Rn中k维Cr曲面的局部性质
2.1曲面的参数表示、切向量、法向量、切空间、法空间
2.2旋转面（悬链面、正圆柱面、正圆锥面）、直纹面、可展曲面（柱面、锥面、切线面）
2.3曲面的第1基本形式与第2基本形式
2.4曲面的基本公式、Weingarten映射、共轭曲线网、渐近曲线网
2.5法曲率向量、测地曲率向量、Euler公式、主曲率、曲率线
2.6Gauss曲率（总曲率）KG、平均曲率H
2.7常Gauss曲率的曲面、极小曲面（H=0）
2.8测地曲率、测地线、测地曲率的Liouville公式
2.9曲面的基本方程、曲面论的基本定理、GaUSS绝妙定理
2.10Riemann流形、Levi—Civita联络、向量场的平行移动、测地线
2.11正交活动标架
第3章曲面的整体性质
3.1紧致全脐超曲面、球面的刚性定理
3.2极小曲面的Bernstein定理
3.3GaUSS—Bonnet公式
3.42维紧致定向流形M的Poincare色切向量场指标定理
参考文献
· · · · · · (收起)
读后感
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用户评价
我花了大约半年时间，断断续续地研读了本书的前半部分，最大的体会是作者对“几何的语言”有着近乎宗教般的虔诚。他似乎认为，一旦我们掌握了正确的微分几何语言，任何物理现象的描述都会自然而然地显现出来。书中所体现出的这种数学哲学非常令人钦佩。他没有采用很多现代教材中常见的，从拓扑空间出发逐层递进的软化处理，而是直接将读者“扔进”光滑流形的汪洋大海中，要求你迅速适应其规则。例如，坐标无关性的强调贯穿始终，使得我们必须时刻警惕自己是否还在使用局部坐标系的限制性思维。这种方法的好处是，一旦你适应了，后续的几何直觉会得到极大的解放，你会开始“看到”张量的内在对称性，而不是通过坐标分量去计算。但挑战在于，这种“硬核”的起步方式，使得很多背景不深的读者可能会在入门阶段就选择放弃。我个人认为，本书的受众定位非常精准，它面向的是已经有志于将微分几何作为核心研究工具的数学或理论物理专业人士，而不是那些只是想了解“什么是曲率”的大众读者。这本书是一把精良的钥匙，但它要求使用者已经具备了打开那扇特定大门的先决条件。
评分本书在处理“联络”和“曲率”这两个核心主题时，展现了令人惊叹的深度和条理性。作者非常细致地剖析了仿射联络、协变导数，并优雅地引入了黎曼几何的框架。尤其是关于曲率形式的结构方程的推导，作者使用了微分形式的语言，使得整个过程非常简洁有力，避免了传统坐标系下繁琐的指标运算。我感觉，读完这部分内容，我对“曲率”这个概念的理解从一个初期的“弯曲度”提升到了一个更加深刻的代数-几何混合体层面。然而，有一个地方让我略感遗憾，那就是在介绍完黎曼几何的基础之后，本书似乎戛然而止，没有深入探讨更现代或更深入的领域，比如卡拉比-丘流形，或者更具体的辛几何的应用。这使得这本书虽然在经典黎曼几何部分达到了教科书级别的完美，但对于一个想要全面了解现代几何全景的读者来说，它更像是一个坚实但并非终点的里程碑。它提供了一个极其牢固的地基，但后续的宏伟建筑还需要读者自行去探索。总的来说，它是一部关于“如何构建几何语言”的典范之作，严谨到令人肃然起敬，也深刻到需要反复品味。
评分说实话，我买这本书是冲着它在“现代几何应用”方面的声誉去的，希望能找到一些将微分几何工具应用于拓扑量子场论或者柔性材料力学中的实例。结果是，这本书的侧重点似乎完全放在了纯粹的数学理论构建上，对于任何实际应用领域的探讨都极其克制，甚至可以说是避而不谈。从我翻阅的章节来看，内容高度集中于经典的微分形式、外微分、德拉姆上同调这些纯数学的核心概念。作者的叙事方式非常“内敛”，仿佛一切都是为了服务于内部逻辑的自洽性，读者需要自己去发掘这些工具的潜在威力。我尤其欣赏作者在处理“流形上的积分”这部分时，引入的广义斯托克斯定理的证明过程，那是相当的优美和精妙，每一步都体现了数学家对和谐的追求。但对于我这样的应用导向型读者来说，阅读体验上就稍显枯燥了。我期待的，也许是一个章节能穿插一些关于这些抽象概念如何具体描述时空曲率或者电磁场性质的“小插曲”，哪怕只是一个简短的例子。这本书更像是一座完美的数学晶体结构，晶莹剔透，但缺乏外部环境的“光照”来展示其全貌。它对理论深度有着近乎偏执的追求，以至于牺牲了对现实世界问题的直接触及。
评分这本《微分几何》的书，我拿到手时，第一个感觉就是它的装帧设计非常典雅，那种深蓝色的封皮配上烫金的字体，透露出一种厚重而专业的学术气息。我本身是学应用数学的，对几何学的兴趣一直比较浓厚，尤其是在接触到广义相对论和现代物理学的背景下，对流形、张量分析这些概念充满了好奇。然而，当我翻开第一章时，就被它的深度和严谨性给镇住了。作者在介绍基础拓扑概念时，几乎没有做任何简化，所有定义和定理的推导都极其详尽，仿佛每一个符号的出现都是经过深思熟虑的。我记得有一段关于切空间的讨论，作者花了整整三页的篇幅来澄清什么是“沿着曲线的切向量”与“矢量场”之间的区别，这对于初学者来说，可能需要反复阅读才能真正领会其精髓。这本书的难度确实很高，它不是那种为了迎合大众而降低门槛的教材，更像是一份精心打磨的学术专著，适合那些已经具备扎实线性代数和微积分基础，并渴望深入探索几何内在结构的读者。它要求读者不仅要有数学思维，还要有极大的耐心去咀嚼那些抽象的概念，比如黎曼曲率张量，初看时完全是云里雾里，但随着后续章节的展开，你会逐渐意识到，正是这些看似复杂的数学工具，才为描述宇宙的弯曲形态提供了无可替代的语言。这本书无疑是值得珍藏的，但阅读过程注定是一场漫长而艰辛的攀登。
评分这本书的排版和印刷质量是无可挑剔的，这在学术书籍中常常是一个被忽略但极其重要的细节。纸张的克重恰到好处，墨迹浓郁清晰，即便是那些包含大量希腊字母和上下标的复杂公式，看起来也赏心悦目，极大地减轻了长时间阅读带来的视觉疲劳。我尤其喜欢它在定理和引理之间的区分处理，使用不同的字体和缩进，使得章节结构一目了然。不过，说到内容的可读性，我必须指出，本书的“例题”设置略显不足。在介绍完一个新颖且复杂的结构（比如纤维丛）后，通常会紧接着进入下一个更深层次的定理证明，中间缺少必要的缓冲带——那些能够帮助我们巩固理解的、由浅入深的例子。这使得阅读体验呈现出一种“平台期”后的突然“陡坡”。对于那些依赖具体实例来内化抽象概念的读者来说，这无疑是一个挑战。我不得不经常停下来，查阅其他更偏向“入门”的书籍，试图找到一些更直观的几何图像来支撑我对当前概念的理解。如果作者能在每节末尾增加一些“思考题”或者“几何直觉引导”部分，这本书的教学价值会得到极大的提升，而不仅仅是作为一本参考手册存在。
评分讲解清晰和链接了古典和现代的微分几何之间的联系
评分符号不太习惯
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评分讲解清晰和链接了古典和现代的微分几何之间的联系
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