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出版者:高等教育出版社

作者:陈维桓

出品人:

页数:318

译者:

出版时间:2013-12

价格:39.80元

装帧:

isbn号码:9787040389005

丛书系列:首都师范大学数学教学系列丛书

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《微分几何引论》 本书旨在为读者呈现一个清晰、严谨且富有洞察力的微分几何入门。我们不求包罗万象，而是专注于选取那些最能体现微分几何核心思想和基本工具的数学概念。通过层层递进的讲解，希望读者能逐步建立起对微分几何的直观理解，并掌握运用其解决问题的基本方法。 第一部分：流形的初步探索 我们将从最基础的概念——流形——开始。不同于初等几何中熟悉的欧几里得空间，流形提供了一种更为灵活和普适的框架来描述弯曲的空间。我们将详细介绍拓扑流形的概念，理解局部是欧几里得空间的连续流形是如何“粘合”在一起形成一个整体的。 局部欧几里得性质与坐标图： 什么是局部可以用欧几里得空间描述的空间？我们将引入坐标图、局部坐标系以及不同坐标系之间的变换。这如同在地球表面进行测量，我们使用局部平坦的地图，但需要知道地图之间的对应关系。 光滑结构： 为了进行微积分，我们需要在流形上引入“光滑”的概念。我们将讨论光滑映射和光滑结构，确保流形上能够进行微分运算。这使得我们能够在这个“弯曲”的空间中谈论切线、法线等概念。 开集、闭集与紧集： 在流形上，拓扑概念仍然至关重要。我们将回顾并强调这些基本拓扑性质在流形上的意义，它们为后续定义的严谨性奠定基础。 第二部分：切空间与向量场 一旦我们理解了流形的概念，下一步就是要在流形上引入“切线”的概念，这就是切空间。切空间是理解流形局部结构的关键。 曲线与切向量： 我们将如何定义流形上一点的切向量？通过参数化曲线，我们将直观地理解切向量作为曲线变化率的几何意义。 切空间作为向量空间： 每个流形上的点都对应一个切空间，它是一个向量空间。我们将探讨切空间的维度与流形维度的关系。 向量场： 向量场是将切空间中的向量“光滑地”赋予流形上的每一点。我们将介绍向量场的概念，以及如何对向量场进行求导（协变导数的初步接触）。向量场在描述流体流动、电磁场等方面有着广泛的应用。 李括号： 两个向量场之间的“对易性”——李括号，是微分几何中一个非常重要的概念。它揭示了向量场之间相互作用的几何信息，并与微分算子的性质紧密相关。 第三部分：微分形式与积分 有了切空间的概念，我们便可以进一步发展微分形式理论，这是在流形上进行积分和分析的强大工具。 余切空间与余向量： 余切空间是切空间的对偶空间。我们将介绍余向量以及它们如何“测量”切向量。 微分形式： 我们将定义不同阶数的微分形式，它们是多重线性函数，作用于切向量。特别地，我们将重点介绍1-形式和n-形式（在n维流形上）。 外微分： 外微分算子是微分形式的“导数”。它具有非常优美的性质，尤其是d(dF)=0，这是德拉姆定理的基石。我们将详细解释外微分的定义及其几何意义。 积分： 我们将探讨如何在流形上定义和计算微分形式的积分。这使得我们能够将全局的积分与局部的微分性质联系起来，为斯托克斯定理做准备。 第四部分：曲率与几何性质 在有了切空间和向量场的基础上，我们就可以开始定量地描述空间的“弯曲”程度，即曲率。 联络： 为了在不同点之间“平行地”移动向量，我们需要引入联络的概念。联络允许我们在流形上定义平行移动，这是度量曲率的关键。 曲率张量： 通过联络的非对易性，我们将定义曲率张量。曲率张量捕捉了空间的内在弯曲信息。我们将探讨曲率张量的性质，以及它如何影响向量场的平行移动。 测地线： 在度量空间的意义下，测地线是最短路径。我们将介绍测地线的概念，它们是“直线”在弯曲空间中的推广。测地线与曲率密切相关。 黎曼流形（初步）： 虽然本书不深入探讨完整的黎曼几何，但我们会初步接触度量张量的概念，它允许我们在流形上定义长度和角度，从而进入度量空间的范畴，这是研究曲率的基础。 目标读者： 本书适合数学专业本科高年级学生、研究生，以及对微分几何有兴趣的物理、工程领域的研究者。假定读者已经具备微积分、线性代数以及基本的实变函数或拓扑学知识。 学习方法建议： 在学习过程中，建议读者不仅要理解数学定义和定理，更要注重几何直观的培养。通过具体的例子（如球面、环面等）来检验和理解抽象概念。大量的练习题将有助于巩固所学知识，并培养解决问题的能力。 本书力求以一种“精雕细琢”的方式引导读者步入微分几何的殿堂，希望它能成为您探索弯曲空间奥秘的一扇窗。

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作为一名对理论物理有浓厚兴趣的爱好者，我一直渴望找到一本既能扎实讲解基础，又能深入探讨前沿概念的数学工具书。这本书在内容的选择上显得非常老到和平衡。它没有陷入无休止的、脱离实际应用的纯粹抽象证明泥潭，而是巧妙地将几何直觉与严格的数学结构有机结合起来。每引入一个新的概念，作者都会用非常形象的例子进行剖析，比如对测地线、曲率的阐述，读完后仿佛能亲手触摸到那些弯曲的空间。我尤其欣赏它在章节间逻辑递进的安排，层层深入，毫不跳跃，这种构建知识体系的方式极大地帮助了我的理解。它不像某些教科书那样冷冰冰地陈述事实，而是更像一位经验丰富的导师，带着你一步步揭开深奥理论的面纱，让人感到亲切且充满启发性。

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从阅读的流畅度和整体结构上看，这本书展现出一种近乎完美的平衡。它既没有牺牲深度以迎合广度，也没有因为追求绝对的严谨而牺牲读者的接受度。我可以非常肯定地说，这本书的编辑和作者团队一定在结构上投入了巨大的心血。无论是概念的引入，定理的陈述，还是证明的展开，都保持了一种优雅的节奏感。它读起来就像听一首结构精巧的交响乐，高潮迭起，过渡自然，绝不会让人感到疲惫或迷失方向。这种对阅读体验的精雕细琢，使得即便是长时间的沉浸式阅读，我的注意力也能高度集中，这对于一本严肃的学术书籍来说，是极为难能可贵的成就。

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我对这本书的实用性感到非常惊喜。虽然它看起来是一本理论性极强的著作，但其中穿插的习题和案例分析却极具操作性。这些习题并非简单的计算练习，而是真正引导读者去应用所学概念，去“玩转”几何结构。我尝试着自己推导了几个关于曲率张量的小变分问题，书上提供的解题思路非常清晰且富有启发性，让我对如何运用这些工具解决实际问题有了更直观的认识。对于那些希望将这些知识应用于广义相对论或微分拓扑研究的读者来说，这本书无疑提供了一个坚实可靠的“工具箱”，里面的每一个工具都经过了精心的打磨和测试，随时可以投入使用。

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坦白说，我过去对某些高等数学分支常常感到畏惧，总觉得那些符号和定义是难以逾越的高墙。然而，这本书的叙述风格却有一种独特的穿透力，它将原本晦涩难懂的“语言”翻译成了易于消化的“思想”。作者似乎深谙读者的困惑点，总能在关键时刻给出富有洞察力的注解。比如在讨论黎曼流形时，它不只是给出定义，还会追溯其历史背景和动机，这使得学习过程不再是机械的记忆，而是一段探索知识演变的历史旅程。这种深厚的文化底蕴和人文关怀渗透在字里行间，让学习过程充满了乐趣和启发性。阅读它，我不仅学到了数学知识，更体会到了一种严谨的治学态度和对真理的敬畏之心。

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这本书的装帧和排版实在是令人眼前一亮，纸张的质感非常高级，拿在手里沉甸甸的，翻阅起来心情都非常愉悦。我一直很喜欢那种能让人静下心来阅读的实体书，这本书完全做到了这一点。从目录设计到章节标题的拟定，都能看出编辑在细节上的用心良苦。特别是那些复杂的公式和图示，印刷得非常清晰锐利，即便是初学者也能轻松辨认，这在很多理工科教材中是很难得的。封面设计简约而不失深度，那种留白的处理方式恰到好处地传达出数学的严谨与美感，放在书架上也是一件赏心悦目的陈设。每次翻开它，都仿佛进入了一个由清晰线条和逻辑构建起来的纯净世界，这种阅读体验本身就是一种享受，让我对接下来要学习的知识充满了期待。这种对阅读体验的极致追求，无疑是为这本书增添了极高的价值。

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教材

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书中引用的定义简介而现代，只是编排的顺序上有些不太合理，但是是非常好的供查阅和自学的书籍，书里的重点在介绍现代微分几何的概念，实际上相当于中文版的John Lee的黎曼流形+光滑流形的部分

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书中引用的定义简介而现代，只是编排的顺序上有些不太合理，但是是非常好的供查阅和自学的书籍，书里的重点在介绍现代微分几何的概念，实际上相当于中文版的John Lee的黎曼流形+光滑流形的部分

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国内教材

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chenweiheng 作为国内微分几何教材的写作者为国内普及起了很大的作用，但是国内还是很缺少这个方面的教材