Manifolds and Differential Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Lee, Jeffrey

出品人:

页数:675

译者:

出版时间:2010-1

价格:777.00元

装帧:

isbn号码:9780821848159

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

• 微分几何
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《黎曼几何与拓扑导论》 本书旨在为数学专业高年级本科生和研究生提供一个扎实的黎曼几何与拓扑学基础。我们从流形的连续性拓扑属性出发，逐步引入微分结构，为理解可微流形及其上的几何性质打下坚实基础。 第一部分：拓扑空间与流形基础 本部分首先回顾拓扑空间的基本概念，包括开集、闭集、紧致性、连通性以及度量空间。在此基础上，我们将重点介绍微分流形的概念，包括局部欧几里得坐标系、图册以及可微结构。读者将学习如何判断一个空间是否为流形，并理解浸入、 असतात落、嵌入等基本几何映射。我们将深入探讨流形上的拓扑性质，例如同胚、同伦等，并引入微分同胚的概念，理解不同流形之间的本质区别。 第二部分：向量丛与微分形式 在本部分，我们将介绍向量丛这一重要的几何构造。切丛、余切丛的概念将被详细阐述，并讨论向量丛的归约与同构。接着，我们将引入微分形式，从外微分代数的角度理解其结构和性质。读者将学习外微分算子、楔积以及积分等基本运算，并了解它们在流形上的应用。特别是，我们将详细讲解闭形式与精确形式的概念，以及德拉姆定理的初步思想。 第三部分：黎曼度量与曲率 核心的黎曼几何部分将从定义黎曼度量开始。读者将理解黎曼度量如何在切空间上诱导出内积，从而赋予流形长度、角度和体积的概念。我们将重点研究黎曼度量诱导的连接，例如列维-奇维塔联络，并解释它如何使得我们可以在流形上平行移动向量。梯度、散度和旋度等微分算子将在黎曼几何的框架下被重新审视。 曲率的概念是黎曼几何的灵魂。本部分将深入探讨里奇曲率、标量曲率以及最关键的黎曼曲率张量。我们将通过具体的例子，如欧几里得空间、球面和双曲空间，来直观理解曲率的几何意义。连接的曲率性质，例如曹氏方程，也将被介绍，为进一步的理论研究奠定基础。 第四部分：测地线与积分几何 测地线作为流形上“最短路径”的推广，将在本部分得到深入分析。读者将学习如何利用变分法来定义和研究测地线，并理解测地线的存在性与唯一性定理。我们将探讨测地线的性质，例如指数映射，并理解其在研究流形局部几何结构中的作用。 积分几何是另一重要的研究方向。我们将介绍一些基本的积分几何概念，例如测度与平均。在流形上，我们将探讨如何定义几何量并进行积分，例如曲线的长度、曲面的面积等。这一部分将为读者理解更高级的几何分析问题提供必要的工具。 第五部分：拓扑与几何的联系 本书的最后部分将着重强调拓扑与几何之间的深刻联系。我们将引入一些重要的拓扑不变量，并探讨它们如何与流形的几何性质相互关联。例如，我们将讨论同调论的初步概念，并介绍陈类、西蒙斯类等几何不变量，它们深刻地揭示了流形内在的拓扑结构。 学习目标： 掌握微分流形的基本概念、拓扑性质和微分结构。 理解向量丛、微分形式及其在流形上的应用。 熟练掌握黎曼度量的定义、性质以及曲率的概念。 理解测地线的定义、性质以及它们在流形几何中的作用。 初步接触积分几何的概念，并理解几何量在流形上的积分。 认识到拓扑与几何之间的内在联系，并了解一些重要的几何拓扑不变量。 本书的内容力求严谨且富有启发性，辅以丰富的例子和练习，旨在培养读者独立思考和解决几何问题的能力。我们希望本书能成为您深入探索微分几何与拓扑学世界的坚实起点。

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这本书的排版和印刷质量值得称赞，纸张的质感很好，符号的渲染清晰锐利，这在处理大量希腊字母和复杂的上下标时至关重要，减少了阅读疲劳。但在内容组织上，我发现了一个很有趣的现象：它将经典微分几何的某些部分处理得极为细致，仿佛在极力证明其美学价值，比如对测地线流的长时间行为分析，那部分写得简直像诗歌。但奇怪的是，对于现代应用（比如理论物理学中的某些关键模型）的连接点却处理得异常简略，仿佛这些“应用”只是数学家餐桌上可有可无的点缀。这种偏重于纯粹数学结构构建的倾向，使得这本书的受众范围被进一步圈定。如果你是为了解决实际问题或者想快速应用这些工具，这本书可能会让你感到力不从心，因为它更关注的是“为什么它是这样定义的”，而不是“我该如何用它来计算那个力场”。它的叙事重心明显倾向于内在的逻辑一致性，而非外在的解释力，这无疑是一把双刃剑，成就了其深度，但也限制了其广度。

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这本书，天哪，简直是数学的“香槟”——细腻、复杂，需要细细品味。我一开始被它那沉稳的深蓝色封面吸引，感觉像是捧着一部古老的、装帧精美的典籍。翻开后，首先映入眼帘的是大量篇幅的拓扑学基础回顾，看得我心里咯噔一下，心想：“这绝对不是一本能让人轻松翻阅的消遣读物。”作者似乎对读者的背景知识有着极高的期望，一上来就默认你已经掌握了基础的集合论和一般拓扑空间的概念，然后毫不留情地将我们拽入了纤维丛和联络的深水区。阅读体验非常“硬核”，每一个定义和定理都像一座精心雕琢的艺术品，逻辑链条严密到令人发指，但同时，那种需要反复对照图示和注解才能勉强跟上的过程，也让我体验到了“智力拉伸”的痛苦与快感。书中对于黎曼度量的引入和分析，更像是一场与高等微积分的“终极对决”，涉及到的计算复杂度和抽象程度，足以让许多准备跨界学习的人望而却步。可以说，这本书的价值在于它毫不妥协的深度和严谨性，它不是为你铺路的，而是为你设置了一座需要攀登才能到达的知识高塔。

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要评价这本书，就必须提到它的“年代感”，并非指内容过时，而是指那种经典数学著作特有的、沉稳的、不迎合潮流的论述风格。作者似乎在试图重构整个微分几何的知识体系，而不是简单地罗列和应用现有的定理。书中对基础概念的追溯非常彻底，让你不得不重新审视那些看似理所当然的几何直觉。但这种彻底性也导致了结构上的松散，章节之间的衔接有时需要读者自己去搭建隐形的桥梁。我注意到，许多需要用到线性代数或泛函分析工具的地方，作者只是轻描淡写地提了一句“利用标准的线性代数工具可得”，然后直接跳到结论，这对于需要一步步验证的读者来说，无疑是增加了额外的“自学任务”。总体而言，这是一部需要投入大量时间、并愿意沉浸在纯粹抽象世界中的读者的“圣经”。它不会手把手地教你，它只是为你敞开了一扇通往极高维度思维殿堂的大门，门后的风景如何，全凭你的努力和悟性了。

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读完这本书，我的感受就像是经历了一场漫长而曲折的欧式公路旅行。沿途的风景是壮丽的——那些关于曲率的优雅描述，以及在各种奇异空间中穿梭的想象力——但导航系统简直糟透了。作者似乎沉迷于构建一个完美无瑕的、自洽的理论体系，却忘记了偶尔停下来给迷路的人指指方向。我花费了大量时间在理解那些看似无关紧要的引理和注记上，因为它们常常是理解后续关键定理的“钥匙”，但作者的处理方式是将其深埋在冗长的证明之中。举个例子，书中关于示性类（Characteristic Classes）的部分，概念的引入和推导过程跳跃性极大，初次接触的人很容易在同调群和上同调群的交织中迷失方向。更令人沮丧的是，全书几乎没有提供任何实际的、可操作的例子来锚定这些高度抽象的结构。它更像是一份为同行准备的、极度精炼的备忘录，而不是一本面向学生的教学手册。想真正掌握它，你可能需要再找两本配图精美、讲解详尽的“辅助读物”来搭配使用，否则，你手上的这本书只会静静地躺在书架上，散发着它那不容置疑的学术权威感。

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我对这本书的整体感觉是：它充满了纯粹的、几乎是禁欲主义的美感。文字非常简洁，几乎没有一句废话，这在数学著作中是难能可贵的优点。每一个章节的过渡都力求平滑，试图将复杂的几何直觉转化为严谨的代数语言。我特别欣赏作者处理“演化”和“形变”的方式，尤其是在讨论李群和李代数时，那种将运动嵌入到空间结构本身的设计思想，确实令人拍案叫绝。然而，这种简洁也带来了高昂的阅读成本。作者似乎坚信，只要给出了正确的公式和定义，读者就应该能够自行“发现”其背后的物理意义或几何直觉。这种“全靠自觉”的教学风格，使得本书更像是对已经有一定基础的研究人员的强化训练，而非入门者的领航灯。书中的习题部分也印证了这一点——它们与其说是练习，不如说是对现有知识体系的微小拓展或变种，要求读者必须能够熟练地在不同的数学框架间灵活切换，这对于还在努力构建稳固概念框架的读者来说，无疑是一种巨大的挑战。

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这本书还是不错的，内容很丰富，尤其关于fiber bundle 和 Ehresmann connection的讲解很详细，可以让读者一开始就能以较高的观点去理解曲率。缺点是typo有点多。

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