Differential Geometry and Symmetric Spaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Sigurdur Helgason

出品人:

页数:487

译者:

出版时间:2001-1-16

价格:USD 54.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821827352

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 微分几何
• 微分几何7
• Math
• 微分几何
• 对称空间
• 黎曼几何
• 流形
• 拓扑学
• 几何学
• 数学
• 高等数学
• 空间形式
• 李群

《微分几何与对称空间》是一本为数学专业学生和研究人员量身打造的深度探讨两大核心数学领域的专著。本书以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，全面介绍了微分几何和对称空间这两个相互关联且极具影响力的数学分支。 在微分几何部分，本书首先从最基础的概念出发，系统地阐述了流形的拓扑性质，包括可定向性、同胚、同伦等，为后续几何研究奠定坚实基础。随后，深入探讨了嵌入的概念，讲解了如何将流形嵌入到欧几里得空间中，并引入了切空间、余切空间以及向量场等关键工具。书中详细阐述了黎曼度量，这是微分几何的核心，它赋予了流形长度、角度和体积的概念。在此基础上，本书将逐步引向曲率的概念，包括高斯曲率、平均曲率以及里奇曲率和数量曲率。通过曲率张量的引入及其性质的讨论，读者将深刻理解流形的局部和全局几何特性。 书中还详细介绍了联络的概念，特别是列维-奇维塔联络，以及它在平行移动、测地线和曲率计算中的作用。外微分的引入，使得作者能够以简洁优雅的方式处理微分形式，并阐述了德拉姆定理等深刻的拓扑-微分联系。共变导数和协变外微分的概念，进一步强化了流形上张量场和微分形式的分析工具，为理解各种微分算子（如拉普拉斯算子）打下基础。本书也关注了极小子流形、超曲面理论等重要课题，并探讨了它们在物理学和几何学中的应用。 在对称空间部分，本书将微分几何的工具和思想巧妙地应用于研究具有高度对称性的几何对象。对称空间是黎曼流形的一个重要子类，它们在代数、几何和物理学中扮演着核心角色。本书首先引入了李群和李代数的基本概念，它们是理解对称性的代数框架。接着，将重点放在黎曼对称空间，定义了其关键性质，即其自同构群在任意一点的固定子群对该点是连通的。 本书详细阐述了对称空间的分解定理，特别是既约黎曼对称空间的分类，这为理解对称空间的结构提供了强大的分析工具。书中引入了根系、Weyl群等代数结构，并探讨了它们在对称空间的研究中的重要性。例如，如何利用根系来理解对称空间的几何特性，以及如何利用Weyl群来研究对称空间的自同构群。 此外，本书还深入探讨了对称空间的测地线结构，以及它们如何在对称性下保持不变。对于紧致对称空间，书中会讨论其拓扑性质，以及它们与球体的联系。对于非紧致对称空间，本书会介绍它们的一些重要例子，如双曲空间、仿射对称空间等，并探讨其几何特性。 本书的另一大亮点在于，它清晰地展示了微分几何和对称空间之间的深层联系。对称空间是黎曼流形中最特殊、最重要的一类，其丰富的结构使得我们可以运用更强大的代数和分析工具来研究它们。反过来，微分几何的语言和方法也为我们理解和描述对称空间的几何特性提供了必要的框架。 本书的写作风格严谨且富有启发性，每章都配有丰富的例题和习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并鼓励他们进行更深入的探索。书中避免了使用过于现代或晦涩的记号，力求以一种清晰、直观的方式传达复杂的概念。对于初学者而言，本书提供了坚实的基础；对于有经验的研究者而言，本书则可以作为一本宝贵的参考资料，深入了解对称空间的最新进展和深刻见解。 总而言之，《微分几何与对称空间》是一部内容详实、逻辑严谨、视角独特的数学专著，它将带领读者穿越流形世界的奇妙景观，领略对称空间所蕴含的优雅结构与深刻奥秘。本书是几何学、代数学以及理论物理学领域研究者的必备读物。

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这本书的封面设计非常引人注目，那种深邃的蓝色调，配上精致的几何图形和古朴的衬线字体，一下子就抓住了我的眼球。我当时在书店里随便翻阅，但仅仅是看了几页的目录和前言，就感觉自己被一种宏大的数学图景所吸引。作者的叙述风格非常清晰流畅，像是带着你在一个充满未知的迷宫中慢慢探索，每一步都踏实而富有启发性。虽然书名听起来相当“硬核”，但它在介绍基本概念时，并没有直接抛出复杂的公式，而是先从直观的几何图像和物理学的直觉出发，让人能够先建立起一个大致的理解框架。尤其是关于流形和张量场的介绍部分，作者似乎有一种魔力，能把那些抽象的概念变得生动起来。比如，在解释测地线时，他引用了爱因斯坦场方程中的一些启发性例子，这极大地激发了我继续阅读下去的兴趣。这本书的排版也十分考究，图表的质量极高，那些复杂的微分形式和李群的表示图都清晰可见，这对需要反复对照图形来理解抽象概念的学习者来说，简直是福音。整体来看，它不仅仅是一本教材，更像是一部精心雕琢的数学艺术品，让人在阅读过程中既感受到挑战，也体会到数学美学的极致。

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这本书的语言风格极其考究，透露着一种老派数学家特有的沉稳和精确性。它几乎不使用任何花哨的比喻或轻松的口吻，完全是基于严格的逻辑推演。这种风格可能不适合所有读者，特别是那些习惯于现代数学教材中那种对话式、引导式教学的年轻一代。对我个人而言，我更享受这种直面本质的阅读体验。作者似乎坚信，数学的严谨性本身就是其最大的美感所在。在处理诸如布线（connections）和曲率的微分形式表示时，作者的处理方式极其优雅，完全遵循了外微分的框架，这使得后期的计算和理论推导变得异常清晰。我可以清楚地看到，每一步变换背后的几何意义是什么。虽然书中不乏篇幅较长的引理和推论的证明，但我发现，这些冗长的论证反而构筑了一种坚不可摧的知识地基，让人在后续应用这些理论时信心倍增。我用了很长时间才适应这种近乎诗歌般精确的数学语言，但一旦适应了，就会发现它有着无与伦比的效率和美感。

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我非常欣赏作者在构建理论体系时的那种宏大视角。这本书的独特之处在于，它不仅仅是罗列微分几何的工具箱，而是致力于展示不同数学分支是如何在“对称性”这个核心概念下交汇融合的。作者似乎总是在强调，我们正在研究的几何对象，其性质往往由其内部的对称性所决定。例如，在讲解李群的作用时，他没有停留在纯粹的代数描述上，而是立刻将其联系到保持某些几何结构不变的变换上，比如等距变换。这种跨领域的联结方式，让原本看似孤立的知识点串联成了一个紧密的网络。我发现，这本书对于那些已经有一定数学基础，想要从更深层次理解几何和代数关系的研究者来说，价值尤高。它不像一些入门教材那样追求面面俱到，而是将精力集中在最有洞察力的部分，进行深挖。读这本书，就像是站在高处俯瞰整个数学大陆，能看到不同山脉之间的隐藏通道和关联。我尤其喜欢其中对于“齐性空间”的阐述，它用一种非常优美的数学语言，揭示了“局部像欧几里得空间，整体结构复杂”的几何实体的内在秩序。

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说实话，这本书的难度曲线对我来说有点陡峭，尤其是在涉及到黎曼几何的核心部分时。我花了相当长的时间才勉强跟上作者的思路。第一次读到关于曲率张量的定义时，我简直被那些层层嵌套的指标和导数搞得晕头转向。作者的行文风格非常严谨，每一个定理的证明都详尽得像是手工推导，几乎没有跳跃性的步骤，这对追求基础扎实的读者来说是优点，但对于希望快速掌握核心思想的初学者来说，可能会感到有些冗长和吃力。我不得不反复查阅背景知识，比如线性代数和拓扑学的相关内容。不过，一旦我熬过了最开始的几章，后续的内容，特别是关于对称空间的部分，就开始展现出它的魅力了。作者将群论的抽象概念与几何空间的具体性质巧妙地结合起来，那种“对称即美”的感觉在数学语言中被完美地体现出来。这本书的习题设计也十分有深度，它们不是那种简单的套用公式就能解决的，很多都需要读者进行相当程度的思考和重构。老实说，我还没有完全消化这本书的全部内容，但它已经在我心中竖立起一座难以逾越的知识丰碑。

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我必须承认，这本书的内容组织上有着非常明确的取舍。它显然不是一本面面俱到的“百科全书”式的微分几何教材。它将大量的篇幅集中在了“对称空间”这一主题上，并以此为主线贯穿始终。这意味着，对于一些更侧重于微分拓扑或经典微分几何应用（比如经典力学中的接触结构）的内容，这本书只是点到为止，或者干脆略过。但正是这种聚焦，使得作者能够对对称空间这一特定领域进行极其深入和透彻的探讨。在处理李群的表示论和其对应的对称黎曼流形之间的关系时，简直是教科书级别的精彩论述。作者没有回避复杂的结构定理，而是将其作为核心内容来剖析，并且提供了非常清晰的逻辑路径去理解它们。对于那些希望深入研究表示论在几何学中应用的读者来说，这本书的价值是无可替代的。它提供了一个坚实的起点，让你能够自信地迈入更高深的代数几何和数学物理的前沿领域，因为它教会你如何思考“不变性”的本质。

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李群的结构和李代数结构被指数映射连接 李代数原点的直线满射到李群的单参数子群 子代数并不决定对应的子群是闭还是开 ，对称空间和半单李代数关联 半单李代数的结构中心结果是复半单李代数有一个紧的实形式 流形有可传递的李变换群流形等价于陪集空间，拓扑群加入流形结构成为分析群，连通李群和分析群等价 黎曼全局对称空间引起对 等距群的李代数和其对合自同构偶对 分解为 紧 非紧（引起球和双曲三角学 ）和欧三种形式。非紧；Iwasawa 分解半单连通李群分解为极大紧子群 阿贝群 幂零群

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第三章开始比较难读。

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李群的结构和李代数结构被指数映射连接 李代数原点的直线满射到李群的单参数子群 子代数并不决定对应的子群是闭还是开 ，对称空间和半单李代数关联 半单李代数的结构中心结果是复半单李代数有一个紧的实形式 流形有可传递的李变换群流形等价于陪集空间，拓扑群加入流形结构成为分析群，连通李群和分析群等价 黎曼全局对称空间引起对 等距群的李代数和其对合自同构偶对 分解为 紧 非紧（引起球和双曲三角学 ）和欧三种形式。非紧；Iwasawa 分解半单连通李群分解为极大紧子群 阿贝群 幂零群

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第三章开始比较难读。