第一章 集合及命題
第二章 可算性及形式語言
第三章 排列、組合及離散機率
第四章 關係與函數
第五章 圖形與平面圖形
第六章 樹與切集
第七章 有限態機器
第八章 程序分析
第九章 離散數值函數及生成函數
第十章 遞迴關係式與遞迴程序
第十一章 群與環
第十二章 布爾(Boole)代數
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与其他几本我手边的教材相比,这本《离散数学》的逻辑代数和命题演算部分,简直是一股清流。它没有把逻辑简化成简单的“是或否”的机械操作,而是深入挖掘了蕴涵、等价这些连接词背后的“意义”和“操作性”。作者对真值表的处理非常细致,特别是处理包含多个变量的复合命题时,他提供了一种非常清晰的、自上而下的简化路径,而不是纯粹的暴力枚举。更让我眼前一亮的是,书中对谓词逻辑的引入,它有效地打破了命题逻辑在处理量词时的局限性。我记得有一个例子,讨论的是“所有的人都会犯错”这样的全称命题,如何转化为一个可以被计算和验证的形式。这本书的行文风格透露出一种对数学纯粹性的尊重,它不会为了迎合读者而牺牲严谨性,这使得学习过程充满挑战,但也让人感觉自己真正是在“思考数学”,而不是在“记忆数学”。读完这部分,我感觉自己看世界的方式都多了一层逻辑滤镜,看新闻报道或者广告宣传时,会下意识地去分析其论证是否有效。
评分关于组合数学那一章,我必须说,这本书的排版和图示简直是神来之笔。通常,排列组合的题目光看文字描述就容易混淆“可重复”与“不可重复”、“有序”与“无序”的区别。然而,这本书在讲解“隔板法”和“插空法”的时候,配上了非常清晰的、步骤分解的示意图,那几张图直接让我醍醐灌顶,仿佛那些抽象的数字和公式突然获得了立体感。作者在处理“容斥原理”时,虽然理论阐述很扎实,但更绝妙的是,他挑选的例子都非常贴近生活,比如分配任务或者分配物品,这些具体的场景让复杂的容斥公式不再是空中楼阁。我花了很长时间研究了书中关于生成函数的部分,虽然它的代数推导略显繁复,但作者巧妙地将生成函数描述成一个“编码器”,可以把一个序列的递推关系“压缩”成一个有理函数,这种视角极大地提升了对该工具的理解深度。总的来说,这部分内容是全书中最具“实用美感”的部分。
评分这本《离散数学》初翻的时候,着实让我有点摸不着头脑,它不像我过去读过的那些科普读物那样,一上来就用大白话把所有概念都掰开了揉碎了。相反,它似乎更倾向于建立一种严谨的、几乎是建筑学般的逻辑框架。书中的图论部分,尤其是关于连通性和欧拉路径的章节,简直像是在解一个精巧的迷宫。作者对于定理的阐述,不是简单地给出结论,而是像一位技艺高超的工匠,一步步地展示工具的使用方法和材料的特性。我记得有一次,为了理解“鸽巢原理”在组合计数中的灵活应用,我反复对照了书上的两个例子,一个是关于至少有几个人同月生日,另一个是关于集合的划分。这两者的表述方式虽然天差地别,但底层的数学结构却被作者描绘得惊人地一致,这种发现“隐藏的同一性”的过程,带来的满足感是无与伦比的。不过,对于初学者来说,这种抽象性可能是一道门槛,需要读者有耐心去适应其严密的推导节奏,不能指望它像听评书一样,听着听着就明白了,它要求你必须停下来,动笔去演算,去感受那些符号间的张力。
评分全书的收尾部分,关于图论的高级应用和初步的代数结构介绍,展现了作者广阔的视野。它并没有草草收场,而是将前面学到的所有基础工具——逻辑、集合、计数——整合起来,去探索更宏大、更抽象的结构。特别是关于图的染色问题,书中不仅给出了基本的四色定理的背景介绍,还详细讨论了如何利用图的度序列来判断一个序列是否能构成一个简单图。这种从具体实例回溯到抽象结构的构建过程,对于想要深入研究算法或信息论的人来说,价值巨大。这本书的语言风格在后期变得更加沉稳,仿佛一位经验丰富的导师,在引领你走向更深层次的学术殿堂。它不像某些教材那样,在最后几章就变得敷衍,而是保持了极高的教学水准,确保读者在合上书本时,不仅掌握了离散数学的知识点,更重要的是,培养了一种结构化、系统化的数学思维模式。
评分我花了整整一个周末才啃完关于关系与函数的那一部分,说实话,过程比我预想的要曲折得多。这本书的叙事方式极其内敛,它很少使用花哨的比喻,更多的是依赖于精确的定义和证明链条。当我读到“等价关系”和“偏序关系”的对比时,我深刻体会到数学语言的强大和微妙。偏序关系中那个“反对称性”的要求,虽然看似一个小小的约束,却彻底改变了集合间元素的排列秩序,从那种完全无序的自由状态,过渡到了一种有着清晰层级的结构。我尝试着将书中的抽象定义套用到我熟悉的领域,比如软件工程中的依赖关系管理,发现虽然现实中的例子千变万化,但底层逻辑的骨架是完全由这些离散数学的公理所支撑的。这本书的魅力就在于,它揭示了看似纷繁复杂的现象背后,那几条简洁有力的基本法则。唯一的缺点可能在于,有些例题的难度跨度有点大,前一页还在做基础练习,下一页就直接跳到了需要好几层嵌套推理的证明题,让人不得不重新审视自己对前置知识的掌握程度。
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