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出版者:Springer

作者:Werner H. Greub

出品人:

页数:493

译者:

出版时间:1981-10-16

价格:USD 84.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387901107

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

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《抽象代数：从群论到环与域》 作者： [虚构作者姓名，例如：约翰·史密斯] 出版社： [虚构出版社名称，例如：普林斯顿大学出版社] 页数： 约 650 页 目标读者： 数学系研究生、高年级本科生、对纯代数有深入兴趣的研究人员。 --- 内容简介 《抽象代数：从群论到环与域》是一部全面、深入且严格的代数教材，旨在为读者提供扎实的现代代数基础。本书的叙事结构遵循了经典代数理论的自然发展轨迹，从最基础的群结构出发，逐步过渡到更复杂的环、域以及伽罗瓦理论的精妙应用。本书的特点在于其严谨的证明、丰富的例子以及精心挑选的习题，旨在培养读者进行精确抽象思维的能力。 本书的编写哲学在于，代数结构并非孤立存在，而是相互关联的整体。因此，我们强调结构之间的联系、同构的意义以及如何利用特定结构的性质来解决更广泛的数学问题。 --- 第一部分：群论基础 (Foundations of Group Theory) 本部分构建了群论的全部核心框架。我们从集合论的预备知识开始，迅速引入群、子群、陪集和拉格朗日定理，这是群论的基石。 1. 群的定义与基本性质： 详细探讨了群的公理、二面体群 ($D_n$)、对称群 ($S_n$) 等关键实例。我们特别关注有限群的结构，拉格朗日定理被用作第一个强大的限制工具。 2. 同态与同构： 引入群同态、同构的概念，并深入分析了核（Kernel）和像（Image）在群结构保持中的作用。第一同构定理被详尽阐述和应用，它揭示了商群的本质构造。 3. 正规子群与商群： 正规性条件的引入是理解群分解的关键。我们详细分析了如何构造商群，并探讨了商群在处理群周期性和模运算中的重要性。 4. 群的作用 (Group Actions)： 这一章是连接群论与其他数学领域的桥梁。我们定义了群作用，并利用轨道-稳定子定理来计算计数问题。Sylow 定理作为有限群结构分析的巅峰，被完整、严谨地证明，并用于分类特定阶数的群（如 $p$-群的中心性质）。 5. 直积与半直积： 探讨了如何从较小的群构造更大的群，区分了直积（内部和外部）和半直积的概念，后者展示了非交换群的构造灵活性。 6. 可解群与幂零群： 介绍了导群（Derived Subgroup）和中心列（Central Series）。可解群的结构理论被用于理解 $S_n$（当 $n geq 5$ 时非可解性）以及线性群的部分结构。幂零群则作为一类具有“非常良性”中心结构的群进行了探讨。 --- 第二部分：环与模 (Rings and Modules) 从群的加法与乘法的统一结构——环——开始，本部分将抽象代数的视野扩展到代数结构的多线性方面。 1. 环的构造与基本概念： 定义了环、交换环、单位环，并讨论了零因子、整环和域。重点分析了多项式环 $mathbb{Z}[x]$ 和 $mathbb{Q}[x]$ 的性质。 2. 同态、理想与商环： 再次强调第一同构定理在环论中的对应物。理想（Ideals）被确立为商环构造的决定性因素。我们区分了主理想、生成理想以及最大理想和素理想的特性。 3. 唯一因子分解整环 (UFD) 与主理想整环 (PID)： 深入研究了因子分解的唯一性。通过展示 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$ 是 PID（进而也是 UFD），以及著名的 $mathbb{Z}[i]$（高斯整数环）是 UFD，我们探究了何时因子分解会失效（例如，在 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ 中）。 4. 欧几里得整环 (Euclidean Domains)： 定义了“除法算法”的抽象概念，并证明了欧几里得整环蕴含 PID，PID 蕴含 UFD 的经典层级结构。 5. 域的构造： 探讨了如何从任意环构造最小的域（分数域或分式域），特别是从整环 $R$ 构造 $Q(R)$ 的过程。 6. 模导论 (Introduction to Modules)： 将环视为 $mathbb{Z}$-模的推广，本书对模进行了系统的介绍。定义了子模、商模和模同态。特别关注了自由模的概念，并引入了模的基（Basis）在有限生成模中的复杂性。 7. 有限生成阿贝尔群的结构定理： 利用模理论的工具，本书给出了有限生成阿贝尔群的完整分类——该定理是结构定理在特定情况下的体现，展示了抽象理论的强大应用力。 --- 第三部分：域论与伽罗瓦理论 (Field Theory and Galois Theory) 第三部分将代数结构的应用推向高潮，聚焦于多项式方程的根域结构，并最终导向伽罗瓦理论这一代数皇冠上的明珠。 1. 域的扩张 (Field Extensions)： 定义了域扩张 $[mathbb{K}:mathbb{F}]$ 的次数。讨论了代数扩张与超越扩张。所有代数扩张都有限次是本章的核心结论之一。 2. 代数闭包与分离扩张： 引入了代数闭包的概念，并详细分析了特征对扩张性质的影响（如可分性）。我们区分了可分扩张和正特征域中的完美域。 3. 正规扩张与伽罗瓦扩张： 正规扩张的定义是确保多项式在扩张域中完全分解的关键。我们定义了伽罗瓦扩张，并明确了其充要条件。 4. 伽罗瓦群： 这是本书的核心部分之一。我们定义了伽罗瓦群 $ ext{Gal}(mathbb{L}/mathbb{K})$，并证明了基本定理 (Fundamental Theorem of Galois Theory)。该定理建立了域扩张塔结构与子群结构之间完美的对偶性，用代数工具完全刻画了域扩张的性质。 5. 伽罗瓦理论的应用： 利用基本定理，本书系统地解决了若干经典问题： 可解性的判定： 证明了五次及以上一般多项式方程不可用根式求解（基于 $S_5$ 的非可解性）。 高斯求圆问题： 证明了正 $n$ 边形尺规作图可行性的充要条件与二次域扩张的链条。 有限域 (Finite Fields)： 完整分类了所有有限域的结构，证明了它们都存在于 $mathbb{F}_q$ 的形式中，并且具有独特的构造。 --- 附录：线性代数的补充视角 虽然本书侧重于抽象代数，但附录中提供了一个关于向量空间和线性变换的简洁回顾，目的是将“模论”中的概念与读者熟悉的线性代数联系起来，特别是作为域上的模的特殊情况，强调了特征对结构定理的根本性影响。 --- 本书特色 深度与广度兼顾： 覆盖了从基础群论到现代伽罗瓦理论的完整本科/研究生入门课程内容，同时引入了模论作为统一框架。 严谨的证明风格： 所有关键定理均提供详细、逻辑清晰的证明，避免了“跳步”或依赖于未证结论。 丰富的几何直觉： 尽管是纯代数著作，但通过对实例（如对称群、欧几里得环）的深入分析，帮助读者建立抽象概念的几何或算术直觉。 精选习题集： 每章末尾包含大量的练习题，从基础巩固到高级探索性问题，适合自学和课堂练习使用。 《抽象代数：从群论到环与域》为渴望掌握现代代数核心理论的读者提供了一份无可替代的、经得起时间考验的参考指南。

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我是一名正在攻读代数几何博士学位的学生，线性代数是我研究中必不可少的语言。在这本书《Linear Algebra (Graduate Texts in Mathematics)》中，我惊喜地发现，它与我所研究的领域有着非常紧密的联系。书中关于“张量”的介绍，特别是张量代数和张量积的讨论，对我理解代数簇上的向量丛和切空间有着直接的帮助。它不仅仅是理论上的阐述，更重要的是，它将抽象的数学概念与代数几何中的几何直观联系了起来。例如，书中对线性映射的核和像的深入分析，以及它们与子空间之间的关系，为理解代数簇上的同态映射打下了坚实的基础。我特别欣赏书中对于“模”的介绍，它将线性代数从基于域的向量空间推广到了基于环的模，这使得它能够应用于更广泛的代数对象，例如代数簇中的坐标环。书中关于“自由模”和“射影模”的讨论，对我理解代数几何中的一些基本构造，如自由代数和射影代数，至关重要。此外，书中对“张量代数”的详细阐述，为我理解代数簇上的张量丛和相关构造提供了清晰的理论框架。这本书的深度和广度都远远超出了我之前接触过的任何一本线性代数教材，它不仅仅是学习线性代数，更是学习一种处理数学问题的“哲学”。

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作为一名曾经学习过线性代数，但多年未曾深入接触的数学爱好者，我最近重新拾起这本书《Linear Algebra (Graduate Texts in Mathematics)》，完全是被它所展现出的数学之美所折服。它不同于我印象中那种枯燥的计算和公式堆砌，而是以一种更加哲学化的视角，去探索线性代数背后的深刻含义。书中关于“向量空间的几何直观”的阐述，让我看到了抽象概念与现实世界的联系，例如，向量空间中的子空间可以被看作是低维度的“平面”或“线”，这为我理解许多几何问题提供了新的视角。我特别喜欢书中对“线性变换”的讨论，它不仅仅是将一个向量映射到另一个向量，更重要的是，它揭示了这些变换在几何上的意义，例如旋转、伸缩、剪切等。书中对这些变换的矩阵表示以及它们性质的分析，让我对矩阵有了更深的认识。它不仅仅是理论上的推导，更重要的是，它在一定程度上暗示了这些理论在计算机图形学和图像处理等领域的应用。此外，书中对“行列式”和“特征值”的深入讨论，也为我理解线性系统的稳定性以及数据的内在结构提供了理论框架。它不仅仅是理论上的推导，更重要的是，它在一定程度上暗示了这些理论在信号分析和系统辨识中的应用。这本书的深度和广度都远远超出了我之前接触过的任何一本休闲读物，它不仅仅是学习线性代数，更是学习一种“发现数学之美的方法”。

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我是一名在统计学领域工作的博士后研究员，数据分析和模型构建是我的日常工作。虽然我的专业是统计学，但线性代数却是支撑起整个统计学大厦的基石。这本书《Linear Algebra (Graduate Texts in Mathematics)》以其严谨的理论体系和对数学工具的深入挖掘，为我提供了一个重新审视和深化理解线性代数的机会。书中关于“矩阵的迹”、“行列式”和“秩”的讨论，虽然是基本概念，但书中对其性质和几何意义的细致阐述，让我对它们在统计模型中的作用有了更深刻的认识。例如，矩阵的秩与模型的可识别性、自由度的关系，以及迹在协方差矩阵中的应用，都在这本书中得到了很好的体现。我尤其欣赏书中对“主成分分析”的理论基础的介绍，虽然它不是一本专门讲PCA的书，但书中关于“特征值分解”和“奇异值分解”的详尽讨论，为理解PCA提供了坚实的数学支撑。它不仅仅是理论上的推导，更重要的是，它在一定程度上暗示了这些理论在数据降维和特征提取中的应用。此外，书中对“矩阵的范数”和“矩阵的条件数”的讨论，对于理解数值计算的稳定性和数据敏感性至关重要。这本书的深度和广度都远远超出了我之前接触过的任何一本统计学相关的线性代数书籍，它不仅仅是学习线性代数，更是学习一种处理复杂数学问题的“方法论”。

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我是一名在量子计算领域工作的研究人员，线性代数是我日常研究不可或缺的工具。这本书《Linear Algebra (Graduate Texts in Mathematics)》以其严谨的理论体系和对抽象数学概念的深刻挖掘，为我提供了理解量子计算理论基础的绝佳平台。书中关于“向量空间”、“线性算子”以及“内积空间”的讨论，为我理解量子比特的叠加态、量子门的酉变换以及量子态的演化过程提供了坚实的理论基础。我特别欣赏书中对“希尔伯特空间”的介绍，它将线性代数的概念推广到了无限维空间，这对于理解量子力学的数学形式至关重要。书中对“张量积”的详细阐述，为我理解多量子比特系统的状态表示和量子纠缠的数学描述提供了必要的工具。它不仅仅是理论上的推导，更重要的是，它在一定程度上暗示了这些理论在量子算法设计和量子信息处理中的应用。例如，理解量子比特之间的纠缠，就需要深入理解张量积的概念。此外，书中对“算子代数”的介绍，也为我理解量子操作符和它们的性质提供了理论框架。它不仅仅是理论上的推导，更重要的是，它在一定程度上暗示了这些理论在量子测量和量子纠错中的应用。这本书的深度和广度都远远超出了我之前接触过的任何一本量子计算相关的线性代数书籍，它不仅仅是学习线性代数，更是学习一种“量子世界的数学语言”。

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我是一名博士生，研究方向是数值分析，而线性代数自然是我每日必须面对的核心工具。市面上关于线性代数There are many books on linear algebra available in the market. 的教材层出不穷，但大多数都过于侧重于理论证明，或者过于偏向于具体的算法实现，而这本书《Linear Algebra (Graduate Texts in Mathematics)》则在我看来，找到了一个非常完美的平衡点。它在保证理论严谨性的同时，也巧妙地融入了许多对于理解算法和数值方法至关重要的概念。例如，书中对矩阵的分解（如LU分解、QR分解、SVD）的介绍，不仅仅是给出了数学上的定义，更重要的是，它在一定程度上暗示了这些分解在实际计算中的效率和稳定性。虽然它没有直接给出代码实现，但书中对这些分解的性质和应用的阐述，让我能够自然而然地联想到如何在数值计算中利用它们。我尤其欣赏书中关于“谱理论”的讨论，特征值和特征向量的几何意义以及它们与矩阵对角化之间的联系，对于理解许多数值算法（如PCA、图像压缩）至关重要。书中对这些概念的推导过程细致入微，让我对矩阵的“内在属性”有了更深的认识。此外，它还涉及了一些更高级的主题，例如线性算子在内积空间上的性质，这对于理解一些更复杂的数值方法，比如共轭梯度法，非常有帮助。这本书不愧是“Graduate Texts in Mathematics”系列的一员，它提供了一种既深入又实用的视角来理解线性代数。它已经成为我工作台上的常客，每当我遇到一个棘手的数值问题，我都会翻阅它，总能从中找到启示。

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作为一名本科高年级学生，我一直觉得在学习线性代数时，似乎总缺少一些“终极”的归属感。我学过一些矩阵运算，也理解了向量空间的基本概念，但总觉得这些知识点之间联系不够紧密，缺乏一个能够将它们统一起来的宏观视角。直到我接触到《Linear Algebra (Graduate Texts in Mathematics)》，我才真正体会到线性代数那深邃而统一的魅力。这本书从一开始就展现出一种“大家风范”，它不是简单地介绍“是什么”，而是深入探讨“为什么”。它将向量空间置于一个更广泛的代数结构中进行考察，例如群、环、域等，这让我看到了线性代数在整个数学体系中的位置。书中关于“模”的概念，虽然比向量空间更加抽象，但却揭示了线性代数在更普遍的代数对象上的推广可能性，这极大地拓展了我的数学视野。我特别喜欢书中关于“张量积”的介绍，它为理解多线性映射和高维数据结构提供了理论基础，这对于我未来可能涉及的某些交叉学科研究非常有启发。证明过程的严谨性和逻辑性也是这本书的一大亮点，它不像某些入门教材那样为了简化而牺牲严谨性，而是坚持了数学的“纯粹性”。我常常需要花费数小时来消化一个定理的证明，但当理解之后，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。这本书不仅仅是一本教科书，更像是一本“思想的启蒙录”，它教会了我如何用一种更深刻、更抽象的方式去思考数学问题。

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我是一名软件工程师，平时工作涉及大量的数据处理和算法实现，而线性代数是我实现这些功能的核心知识。这本书《Linear Algebra (Graduate Texts in Mathematics)》为我提供了一个重新审视和深化理解线性代数的机会，它以一种非常严谨和系统的方式，将抽象的数学概念与实际应用场景联系起来。书中关于“向量空间”、“基”、“维数”的讨论，虽然在我日常工作中经常会接触到，但书中对其背后数学原理的深入挖掘，让我对这些概念有了更深刻的理解。例如，理解向量空间的基的概念，对于理解数据表示和特征提取至关重要。我特别欣赏书中对“矩阵运算”的细致阐述，特别是矩阵的乘法、求逆和转置，这些操作在机器学习、图像处理和信号处理等领域有着广泛的应用。书中不仅仅是给出了数学上的定义，更重要的是，它在一定程度上暗示了这些操作在实际计算中的效率和复杂性。例如，理解矩阵乘法的复杂度，对于优化算法性能至关重要。此外，书中对“线性方程组的求解”的深入讨论，也为我理解各种优化算法和求解器提供了理论基础。它不仅仅是理论上的推导，更重要的是，它在一定程度上暗示了这些理论在实际工程问题中的应用。这本书的深度和广度都远远超出了我之前接触过的任何一本工程类线性代数书籍，它不仅仅是学习线性代数，更是学习一种“工程问题的数学解决方案”。

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作为一名在数学物理领域工作的研究者，我经常需要处理各种复杂的线性代数问题，而《Linear Algebra (Graduate Texts in Mathematics)》这本书，在我看来，是这个领域中不可多得的经典之作。它将线性代数与群论、表示论等数学物理中至关重要的概念巧妙地结合起来，为我提供了深入理解这些概念的理论基础。书中关于“表示论”的介绍，特别是群在向量空间上的作用以及不变子空间的概念，对于理解物理系统中的对称性至关重要。它不仅仅是理论上的推导，更重要的是，它在一定程度上暗示了这些理论在物理模型中的应用。例如，书中对有限群表示的讨论，与量子力学中能级简并性的解释有着直接的联系。我特别欣赏书中对“李代数”和“李群”的介绍，它们是描述连续对称性的基本工具，而线性代数正是理解这些概念的基石。书中对“张量”的深入讨论，也为我理解物理学中的张量分析，如广义相对论中的度规张量和曲率张量，提供了必要的数学背景。证明过程的严谨性和逻辑性也是这本书的一大亮点，它不是简单地给出结果，而是引导读者一步一步地理解定理的来源和意义。这本书不仅仅是一本教科书，更像是一本“思想的指南”，它教会了我如何用一种更深刻、更抽象的方式去思考数学物理问题。

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我最近有幸拜读了这本厚重的《Linear Algebra (Graduate Texts in Mathematics)》，老实说，最初拿到这本书时，我被它压实的纸张和精炼的排版所折服，这显然是一本为严肃学术研究者准备的“工具箱”。我是一名对数学怀揣着永不枯竭热情的在读研究生，数学分析和抽象代数是我的主修领域，而线性代数，作为连接这两个分支的重要桥梁，一直是我渴望深入探索的课题。这本书的译者，一位在代数领域享有盛誉的学者，其名头本身就足以让我充满期待。我翻开第一章，就被其严谨的逻辑和对基本概念一丝不苟的定义所吸引。它没有像许多本科教材那样，上来就给你一堆计算技巧和应用，而是从向量空间的公理化定义出发，循序渐进地构建起整个理论框架。这种“由宏观到微观”的讲解方式，对于我这样已经具备一定数学基础的读者来说，显得尤为珍贵。它迫使你放下“先学会怎么做”的心态，转而思考“为什么是这样”。例如，书中对于线性无关、基、维数等概念的阐述，不是简单地给出定义和性质，而是通过对这些概念背后含义的深度挖掘，让你理解它们在数学结构中的核心地位。我特别喜欢书中关于“同构”的讨论，它揭示了不同线性代数结构之间形式上的统一性，这让我对抽象数学的优雅之处有了更深的体会。读这本书的过程中，我常常会停下来，在脑海中勾勒出向量空间以及其子空间之间的关系图景，仿佛在构建一个精密的数学宇宙。书中的证明也都非常详尽，虽然有时需要反复阅读才能完全理解其精妙之处，但这种“啃硬骨头”的过程，正是提升我数学思维能力的关键。我毫不犹豫地将其列为我学术生涯中最具影响力的几本书之一。

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作为一名正在攻读计算科学博士学位的学生，我发现线性代数是我在算法分析和数值模拟中不可或缺的工具。这本书《Linear Algebra (Graduate Texts in Mathematics)》为我提供了一个非常深入且全面的视角来理解线性代数的理论基础，以及这些理论如何支撑起各种计算方法。书中关于“向量空间”、“线性映射”以及“同态”的严谨定义和深入探讨，为我理解各种算法中的数学模型提供了清晰的框架。我特别欣赏书中对“矩阵的分解”（如LU、QR、Cholesky、SVD）的详细阐述，这些分解在数值计算中扮演着至关重要的角色，例如在求解线性方程组、最小二乘问题以及特征值问题时。书中不仅仅是给出了数学上的证明，更重要的是，它在一定程度上暗示了这些分解在实际计算中的效率和稳定性。例如，QR分解在数值稳定性方面的优势，在书中得到了很好的论证。此外，书中对“谱理论”（特征值和特征向量）的深入讨论，对于理解许多迭代算法的收敛性分析至关重要。它不仅仅是理论上的推导，更重要的是，它在一定程度上暗示了这些理论在动态系统模拟和优化问题中的应用。这本书的深度和广度都远远超出了我之前接触过的任何一本计算科学相关的线性代数书籍，它不仅仅是学习线性代数，更是学习一种“科学计算的语言”。

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the best linear algebra book except for that by Bourbaki. it has really everything(including homology and gradations,etc. commutative diagrams used throughout) strikingly, it is damn redable(hoffman n kunze used strange English but covered less contens) .

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