Advanced Calculus for Applications (2nd Edition) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Prentice Hall

作者:Francis B. Hildebrand

出品人:

页数:733

译者:

出版时间:1976-04-10

价格:USD 73.33

装帧:Hardcover

isbn号码:9780130111890

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面向应用的高等微积分（第二版） 简介 高等微积分，作为数学的基石之一，是理解和解决现代科学、工程及经济学等领域复杂问题的关键工具。本书“面向应用的高等微积分（第二版）”旨在为读者提供一个全面而深入的微积分知识体系，并尤其强调这些理论如何在实际问题的建模与求解中发挥作用。本书不仅涵盖了经典微积分的核心概念，更侧重于它们的延展和在当代科学技术中的实际应用，力求使读者在掌握严谨数学理论的同时，也能培养出敏锐的应用意识和解决实际问题的能力。 第一部分：基础回顾与多变量微积分的奠基 本书的开篇从对单变量微积分的必要回顾开始，这为后续更复杂的概念打下坚实基础。我们复习了极限、连续性、导数和积分等基本概念，并简要探讨了它们在物理学（如速度、加速度、功）和几何学（如曲线的斜率、面积）中的初步应用。 紧接着，本书将视角拓展至多变量微积分。我们详细介绍了多变量函数、偏导数、梯度、方向导数等核心概念。这些工具对于描述和分析在多个变量影响下变化的现象至关重要，例如天气预报中的气压变化、经济学中的生产函数、以及物理学中的势能面。我们深入探讨了泰勒展开式在多变量函数中的应用，它能帮助我们理解局部行为，并为数值方法提供基础。 链式法则在多变量函数中的推广，是理解复合函数变化率的关键，它在物理学中用于描述能量和动量的转化，在工程学中用于分析系统的耦合效应。然后，我们转向多重积分，包括二重积分和三重积分。通过引入坐标变换（如极坐标、柱坐标和球坐标），我们能够简化复杂区域的积分计算，这在计算体积、质量分布、以及电磁场中的通量等问题时至关重要。 第二部分：向量微积分与场论 本书的第二部分将重点放在向量微积分，这是连接微积分与物理学中场论（如电场、磁场、引力场）的桥梁。我们介绍了向量场和标量场，以及它们的基本性质。 格林定理、斯托克斯定理和散度定理是向量微积分的核心定理，它们建立了线积分、面积分和体积分之间的深刻联系。这些定理不仅是理论上的里程碑，更在物理学的各种应用中扮演着核心角色： 格林定理： 它将一个二维平面区域上的线积分与该区域边界上的线积分联系起来，常用于计算平面区域的面积，以及在流体力学中分析保守力场。 斯托克斯定理： 它将曲面上的面积分与曲面边界上的线积分联系起来，是理解旋度的核心，在电磁学中，它描述了磁场强度与电流密度的关系（安培环路定理的推广），以及在流体力学中分析流体的涡旋运动。 散度定理： 它将一个三维区域上的体积分与该区域边界上的面积分联系起来，是理解散度的核心，在物理学中，它描述了通量与源项的关系。例如，高斯定律（电场）和散度定理直接相关，描述了电荷分布如何产生电场；在流体力学中，它用于描述流体的连续性方程。 我们详细阐述了这些定理的证明思路和几何直观，并提供了丰富的应用示例，包括计算保守场做的功，分析流体流动的散度和旋度，以及在电磁学中推导和解释各种基本定律。 第三部分：微分方程在应用中的地位 微分方程是描述自然界和工程领域中动态系统演化的数学语言。本书的第三部分将重点放在常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的求解方法及其在实际问题中的应用。 在常微分方程方面，我们复习了线性与非线性方程的解法，包括一阶方程（如分离变量法、积分因子法），二阶线性方程（如常系数线性方程、欧拉方程），以及更高阶方程。我们特别关注了方程的初值问题和边值问题，它们分别对应于系统在初始时刻的状态和在边界上的约束。 我们将重点放在求解方法的理论基础和实际操作，例如： 级数解法： 用于求解不能用初等函数表示解的微分方程，在量子力学和工程建模中广泛应用。 数值方法： 如欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等，当解析解难以获得或不可能获得时，这些方法提供了近似求解的有效途径，在计算机模拟中不可或缺。 稳定性分析： 对于许多动态系统，理解其长期行为（是趋于稳定还是发散）至关重要，这通过分析常微分方程的相图和特征值来实现。 接着，本书引入偏微分方程（PDE）。PDE描述的是随时间和空间变化的量，在描述波的传播、热量扩散、流体运动、以及电磁场分布等问题时至关重要。我们介绍了最基本的PDE，如一维波动方程、一维热传导方程和拉普拉斯方程。 对于这些PDE，我们介绍了经典的求解方法： 分离变量法： 用于求解一些齐次线性PDE，特别是在具有简单几何形状（如矩形、圆形）的区域上。 傅里叶级数与傅里叶变换： 它们是处理波动方程和热传导方程的强大工具，能够将复杂问题分解为一系列简单的正弦和余弦函数的叠加，便于分析。 拉普拉斯变换： 在求解初值问题时，拉普拉斯变换可以有效地将PDE转化为常微分方程，简化求解过程。 数值方法： 如有限差分法和有限元法，当解析解难以获得时，这些数值技术被广泛应用于计算和模拟PDE的解，是现代科学工程计算的核心。 我们通过详细的案例分析，展示了如何利用这些数学工具来建立和求解实际问题模型，例如，分析乐器弦的振动模式（波动方程），模拟冰块融化过程中的温度分布（热传导方程），以及计算静电场的分布（拉普拉斯方程）。 第四部分：特殊函数与积分变换 在许多应用领域，我们会遇到一些在标准初等函数之外出现的特殊函数，例如贝塞尔函数、勒让德多项式、伽马函数等。本书的第四部分将深入介绍这些特殊函数，阐述它们的定义、性质、级数展开以及它们在求解特定PDE（如柱坐标或球坐标下的波动方程和热传导方程）中的重要作用。 此外，本书还专门开辟章节讨论积分变换，特别是傅里叶变换和拉普拉斯变换。这些变换能够将复杂的积分或微分问题转化为代数问题，大大简化求解过程。 傅里叶变换： 将函数从时域或空域转换到频域，有助于分析信号的频率成分、滤波以及解一些PDE。 拉普拉斯变换： 主要用于求解线性常系数微分方程的初值问题，以及分析控制系统和电路。 我们不仅会介绍这些变换的定义和性质，更会展示它们在信号处理、控制理论、量子力学以及图像处理等领域的实际应用。 第五部分：变分法与最优化 本书的最后一部分将触及变分法和最优化理论。变分法是研究寻找使得某个积分（泛函）取极值的函数或曲线的方法。这在物理学中至关重要，例如，费马原理（光线传播路径是光程最短的路径）就是变分法的体现，牛顿的最小作用量原理也是变分法的应用。 我们将介绍欧拉-拉格朗日方程，这是变分法中的核心工具，用于推导物理学中的基本方程，如力学中的牛顿定律和电磁学中的麦克斯韦方程组。 在最优化方面，本书将介绍如何利用微分学的知识来寻找函数的最大值和最小值，以及如何处理约束条件下的最优化问题。这在工程设计、经济学中的资源分配、机器学习中的模型参数优化等领域有着广泛的应用。 总结 “面向应用的高等微积分（第二版）”是一部旨在连接抽象数学理论与实际问题之间的桥梁。本书强调的是数学工具的实用性，通过丰富的实例和深入的讲解，帮助读者理解如何将微积分的强大力量应用于解决现实世界的挑战。无论您是物理、工程、计算机科学、经济学还是其他相关领域的学生或从业者，本书都将为您提供坚实的数学基础和解决复杂问题的有效方法。本书的编写风格力求严谨而不失清晰，理论推导与应用展示并重，旨在培养读者独立分析和解决问题的能力。

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我花了整整一个学期的时间来啃这本书，坦白说，过程是痛苦与惊喜交织。它的习题部分是这本书真正的“试金石”，绝非那些只会重复概念定义的简单练习。很多题目要求你不仅仅是运用定理，而是要对定理的条件和边界情况进行深入的思考和证明。记得有一次，我卡在一个关于勒贝格积分收敛性的证明题上整整三天，书后的解答也只是给出了一个简略的框架，迫使我不得不回溯到前面关于测度空间定义的细节去重新梳理逻辑链条。这种强迫式的、深入骨髓的学习体验，虽然让人筋疲力尽，但一旦攻克下来，那种成就感是无可替代的。它真正培养的是一种“数学家的思维方式”——质疑假设，探究极限，并用无可辩驳的逻辑来构建自己的论证。这本书的排版也略显老派，大量的德语和拉丁语的术语引用，虽然增添了一丝学术的厚重感，但对于习惯了现代电子排版的读者来说，阅读起来可能需要更多的专注力去适应。它不是一本用来快速翻阅的工具书，而是一本需要你坐下来，泡上一壶好茶，慢慢品味的学术经典。

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作为一名偏向应用数学的研究生，我购买这本书的初衷是希望能在偏微分方程的理论基础部分找到更坚实的支撑。这本书在泛函分析与偏微分方程的交汇点处理得非常巧妙。它没有直接跳入复杂的Sobolev空间，而是先花了大量的篇幅巩固了抽象拓扑空间上的收敛性理论，这使得后续引入 $L^p$ 空间及其对偶空间时，概念的过渡显得水到渠成。作者在处理分布（Distributions）理论时，采用了非常清晰的逐层递进的方式，从测试函数空间开始，逐步定义和分析了弱解的概念，这一点远胜于我之前参考的几本侧重纯理论的教材。唯一的遗憾是，它在现代数值方法与理论分析的结合点上着墨不多，对于需要立刻将理论转化为高效算法的读者来说，可能还需要额外补充最新的数值分析文献。总的来说，它提供了理论的“骨架”，但“血肉”——即现代应用的前沿技术——则需要读者自己去填充和拓展。这是一部优秀的理论基石著作，而非应用手册。

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这本《高级微积分及其应用》（第二版）的封面设计得相当朴实，几乎可以说是低调到了极致，但翻开书页后，那种扑面而来的严谨感和知识的深度，立刻让人明白，这绝不是一本可以轻松应对的教材。它的内容组织非常有层次，从最基础的拓扑概念开始，逐步深入到流形、测度和积分理论的构建，每一步都搭建得极为扎实。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采取的策略——他们不会急于展示最终的华丽应用，而是花费大量篇幅去解释为什么需要这些工具，以及它们在数学结构中的位置。例如，在讨论变分法的部分，作者通过一系列精心设计的例子，将欧拉-拉格朗日方程的推导过程展示得清晰而富有逻辑，绝非那种公式堆砌式的讲解。对于那些真正想领会数学分析的精髓，而非仅仅满足于应试通过的读者来说，这本书无疑提供了一个高质量的知识殿堂。不过，也正因为这种深度，对于初次接触高级分析的学生来说，可能需要极大的毅力和辅以其他辅助材料才能完全消化吸收其中的精髓。这本书更像是为那些已经对基础微积分了如指掌，渴望迈入更广阔分析世界的“探险家”准备的地图。

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这本书的行文风格，怎么说呢，就像一位经验丰富但略显固执的资深教授在给你讲课。他极度自信于自己的逻辑推导，很少使用花哨的类比或者生动的日常例子来软化抽象的概念。相反，他更倾向于用简洁、精确、甚至略显冷峻的数学语言来描绘整个理论蓝图。这种风格极大地提高了数学表达的准确性，避免了因过度解释而引入歧义，这对于追求绝对精确的读者是福音。然而，对于那些需要大量视觉辅助或直观感受才能理解高维空间几何特性的学习者来说，这本书的图形化内容相对匮乏。我记得，关于黎曼几何的初步介绍部分，全靠文字和符号的堆砌，如果没有预先在微分几何的课程中见过相关的可视化图示，读者很容易在脑海中形成一个模糊甚至错误的图像。因此，我的建议是，如果你的学习偏好是视觉驱动型的，请务必准备好一张高质量的辅助图谱，否则这段精彩的理论阐述可能会成为你阅读过程中的一处“知识盲区”。

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从版本更迭的角度来看，第二版相较于第一版做了不少有益的调整。最明显的变化体现在对现代数学术语的统一和对一些历史遗留问题的修正上。例如，在涉及集合论基础的部分，第二版更加明确地采纳了 ZFC 公理系统的标准框架，使得关于良序集和选择公理的讨论更加符合当前数学界的主流认知。此外，一些经典的定理证明步骤被精简和优化了，使得整体的篇幅得到了控制，虽然这并不意味着内容变少了，但逻辑上的流畅度得到了显著提升。我对作者在附录中加入的“进一步阅读推荐”部分印象深刻，那份书单极具洞察力，涵盖了从基础拓扑到更深层次的代数几何所需的桥梁书籍，显示出作者对整个数学学科体系的广博视野。这本书的持久价值在于其对核心分析概念的百科全书式的覆盖，它不仅仅是一门课程的教材，更像是一份可以伴随研究生涯的、随时可以查阅和校对的参考手册。它的价值，是随着你数学阅历的增长而不断显现的。

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